南京工业大学线性代数第六章

1、第六章、二次型第六章、二次型二次型就是二次齐次多项式二次型就是二次齐次多项式, ,它的研究起源它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中准形式的问题。不仅在几何中, ,而且在数学的其而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中二次型问题。在本章中, ,我们将利用矩阵工具讨我们将利用矩阵工具讨论论二次型的化简二次型的化简、惯性定理惯性定理及及正定二次型正定二次型等基等基本理论。本理论。第一节第一节 二次型二次型定义定义1 n个变量个变量x1，x2，xn

2、的二次齐次多项式的二次齐次多项式nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),(222223232222nna xa x xa x x称为一个称为一个n元二次型元二次型，简称，简称二次型二次型。 2nn na x(6.1)当所有系数当所有系数aij为复数时为复数时,称称f 为为复二次型复二次型；当所有系数当所有系数aij为实数时为实数时,称称f 为为实二次型实二次型。 取取 (,1,2, )jiijaaiji jn，则有，则有 2ijijijijjijia x xa x xa x x从而从而(6.1)式可写成式可写成12,1(,)nnijiji jf xxxa

3、x x 12121211111313nnaax xx xa x xax 21212222232322nnaax xx xx xaa x 31312323333233nnax xx xxxaaxa 2312132nnnnnnnnnx xx xaaxaxax 11111221()nnx a xa xa x12(,)nf xxx即即22112222()nnx a xa xax 1122()nnnnnnxaxaxax 11 1122121 12222121 122( ,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xfx xxa xa xa x1112112122221212(,)nnnnn

4、nnnaaaxaaaxfxxxaaax 令令11121121222212nnnnnnnaaaxaaaxAXaaax 则用矩阵将二次型则用矩阵将二次型(6.1)可写成可写成12(,)nf xxxX AX （6. 2）6. 2）其中矩阵其中矩阵A为为实对称矩阵实对称矩阵。 由于矩阵由于矩阵A的主对角线元素的主对角线元素aii是二次型是二次型f 中平中平方项方项xi2的系数，其余元素的系数，其余元素aij=aji(i j)正是中交叉正是中交叉项项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在间存在一一对应的关系一一对应的关系。 我们称对称阵我们称对称阵A为二次

5、型为二次型f 的矩阵的矩阵,称矩阵称矩阵A的的秩为秩为二次型二次型 f 的的秩秩。例例1 将二次型将二次型 212311213(,)42f x xxxx xx x 表示为矩阵形式表示为矩阵形式,并写出并写出 f 的矩阵和的矩阵和 f 的秩。的秩。 解解: 212311213(,)42f xxxxx xx x 112323121(,)200100 xxxxxx 因此，因此，f 的矩阵为的矩阵为 121200100A 由于矩阵由于矩阵A的秩为的秩为2，从而二次型，从而二次型 f 的秩为的秩为2。 定义定义2 设变量设变量x1,x2,.,xn能用变量能用变量y1,y2,.,yn线性线性地表示地表示,

6、即存在常数即存在常数cij (i,j=1,2,n),使使 11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy (6.3) 成立。则称此关系式为由变量成立。则称此关系式为由变量 x1,x2,.,xn到变量到变量 y1,y2,.,yn的一个线性变换，或简称的一个线性变换，或简称线性变换线性变换。 设设 nnnnijyyyYxxxXcC2121,)(则则(6.3)可以写成以下矩阵形式可以写成以下矩阵形式XCY （6 6. . 4 4）当当|C|0时时,称称X=CY为为可逆可逆(或或非退化非退化)线性变换线性变换.显然显然,可逆线性变换是一一对应的可

7、逆线性变换是一一对应的 1(6.5)XCYYCX 在处理许多问题时在处理许多问题时, 常常希望通过变量的线常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换进行可逆线性变换 X=CY, 则则 ()()()fX AXCY A CYY C AC Y 记记 ACCB,上式为上式为 fY B Y 因为因为A是对称矩阵是对称矩阵, 所以所以 BACCCACACCB)(即即B也是对称矩阵也是对称矩阵, 从而从而 BYYf是一个关于变量是一个关于变量 nyyy,21的的n元二次型元二次型,于是得到下面的定理于是得到下面的定理 后后,仍然是一

8、个二次型仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为且新的二次型的矩阵为C AC。定理定理1二次型二次型 AXXf经可逆线性变换经可逆线性变换 CYX 之 定义定义3 对于两个对于两个n阶矩阵阶矩阵 A、B，若存在，若存在n阶可逆阶可逆矩阵矩阵C ，使，使 ，则称矩阵，则称矩阵 A与与B合同合同。ACCB矩阵的合同关系与相似关系类似矩阵的合同关系与相似关系类似, 也是一种也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。性。由由定理定理1可知可知, 经过可逆线性变换后经过可逆线性变换后, 新旧二新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的次型的矩阵彼此合同

9、，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。第二节第二节 化二次型为标准形化二次型为标准形定义定义1 只含平方项而不含交叉项的二次型只含平方项而不含交叉项的二次型:2221122nnk yk yk y 称为标准形式的二次型称为标准形式的二次型,简称为简称为标准形标准形。 显然显然,标准形是最简单的一种二次型。下面标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交正交变换法和配方法变换法和配方法。 一、正交变换法一、正交变换法定理定理1 任意一个任意一个n元二次型元二次型 AXXxxx

10、fn),(21(A实对称实对称)总可以经过正交变换总可以经过正交变换X=QY (Q为正交矩阵为正交矩阵)化为标准形化为标准形 2222211nnyyyf(6.6) 其中其中 1, 2,., n是矩阵是矩阵A的全部特征值。的全部特征值。式式(6.6)称为称为二次型在正交变换下的标准形二次型在正交变换下的标准形。 证：证：因为矩阵因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交是实对称阵，一定存在正交矩阵矩阵Q，使得，使得 121nQ AQQ AQ 其中其中 1, 2,., n是矩阵是矩阵A的全部特征值。作正的全部特征值。作正交变换交变换X=QY，则，则 12(,)nf xxxX AX ()Y Q AQ YYY

11、2211nnyy在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到的化简时，经常用到定理定理1，通常称为，通常称为主轴定理主轴定理。可以证明可以证明, 正交变换保持线段的长度不变正交变换保持线段的长度不变, 所所以用正交变换化二次型为标准形以用正交变换化二次型为标准形, 具有保持几何具有保持几何形状形状不变的优点不变的优点, 因此正交变换法无论在理论上因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。还是在实际应用中都十分重要。 例例1 用正交变换化下面的二次型为标准形：用正交变换化下面的二次型为标准形：323121321222),(xxxxxx

12、xxxf并判断二次曲面并判断二次曲面 1),(321xxxf的类型。的类型。 解解: 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 011101110A在第五章在第五章3例例1中中, 我们已求得我们已求得A的特征值为的特征值为 2, 1321并求出使并求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵相似于对角矩阵的正交矩阵 11126311126321063Q 根据定理根据定理1, 作正交变换作正交变换X=QY，就可以使二次型，就可以使二次型化为标准形化为标准形 222123123(,)2f xxxyyy 二次曲面二次曲面 1),(321xxxf, 经正交变换经正交变换 QYX 化为标准形化为标准形 2223122112yy

13、y 因此二次曲面因此二次曲面 f =1表示表示旋转双曲面旋转双曲面。二、配方法二、配方法 用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形,通常计算通常计算量比较大。如果不要求作正交变换量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作而只要求作一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准形可用一种简便的方法形可用一种简便的方法配方法配方法。下面我们用。下面我们用具体例子来说明这种方法。具体例子来说明这种方法。 例例2 用可逆线性变换化下列二次型为标准形，用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。并用矩阵形式写出所用线性变换。 2

14、221231231 21 3(1)( , , )242f x x xxxxxxxx123121323(2)(,)3f x xxx xx xx x解解 （1）因为）因为 f中的中的 21x系数不为零，故把含系数不为零，故把含 1x的项集中起来，配方可得的项集中起来，配方可得 2322132213212)2( 2),(xxxxxxxxxf22221232323(2)(2)2xxxxxxx2221232233(2)242xxxxx xx上式右端除第一项外已不再含上式右端除第一项外已不再含x1，继续配方可得，继续配方可得 2212312323( ,)(2)2()f x xxxxxxx令令3332232

15、112xyxxyxxxy即即3332232112yxyyxyyyx用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为321321100110121yyyxxx令令321yyyY321xxxX100110121C则则|C|=10，故，故X=CY为可逆线性变换，且将二为可逆线性变换，且将二次型次型f 化为标准形化为标准形 22122fyy(2) 因为二次型因为二次型f 中没有平方项，无法像中没有平方项，无法像(1)那样那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有出现平方项。由于含有x1x2交叉项，故令交叉项，故令33212211yxyyxyyx即即 321

16、321100011011yyyxxx代入可得代入可得3231222132142),(yyyyyyxxxf再用再用(1)中的配方法，先对含中的配方法，先对含y1的项配完全方，然的项配完全方，然后对含后对含y2 的项配完全平方，得到的项配完全平方，得到 2332222313214)(),(yyyyyyxxxf232322313)2()(yyyyy令令 333223112yzyyzyyz即即333223112zyzzyzzy综合以上综合以上两个两个可逆线性变换，得可逆线性变换，得CZzzz321100311111321321321100210101100011011100011011zzzyyyxx

17、xX所以，在可逆线性变换所以，在可逆线性变换X=CZ下，下，f 化为标准形化为标准形 2322213213),(zzzxxxf一般地，任何一个二次型，要么某个平方一般地，任何一个二次型，要么某个平方项项x2的系数不为的系数不为0，要么某个交叉项，要么某个交叉项xixj (i j)的的系数不为系数不为0，所以一次或多次使用例，所以一次或多次使用例2中中(1)、(2)的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理即有下面的定理:定理定理2 任何一个二次型都可以经过可逆线性变任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。换化为标准形。 第三节第三

18、节 惯性定理惯性定理 任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二次型的标准形也可能不相同，即二次型得到的二次型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是的标准形是不唯一不唯一的。的。2221231231213(,)242fxxxxxxx xx x 经可逆线性变换：经可逆线性变换：112233121011001xyxyxy 化为标准形化为标准形22122fyy 另一方面另一方面221231213( ,)2()()f x x xxxxx 作可逆线性变换作可逆线性变换11221

19、333zxxzxxzx 即即112233011111001xzxzxz 则原二次型则原二次型f 又可化为标准形又可化为标准形 22122fzz 比较比较 f 的二个标准形，可以发现的二个标准形，可以发现 f 的标准形的标准形虽然不唯一，但是虽然不唯一，但是 f 的不同标准形中不但系数的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的它就是下面的惯性定理惯性定理。 定理定理1 (惯性定理惯性定理) 对于秩为对于秩为r 的的n元二次型元二次型 fX AX

20、不论用什么可逆线性变换，把不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，化为标准形，其中正平方项的个数其中正平方项的个数p和负平方项的个数和负平方项的个数q都是都是唯一确定的，且唯一确定的，且p+q=r .定义定义1 在二次型在二次型f (x1,x2,., xn)=XAX的标准形中，的标准形中，正平方项的个数正平方项的个数p称为二次型称为二次型 f 的的正惯性指数正惯性指数，负平方项的个数负平方项的个数q=r-p称为二次型称为二次型 f 的的负惯性指负惯性指数数，它们的差，它们的差p-q称为二次型称为二次型 f 的的符号差符号差。 推论推论1 对于任何二次型对于任何二次型 12(,)nf xxxX

21、 AX 都存在可逆线性变换都存在可逆线性变换X=CY，使，使222211(6.15)ppp qfyyyy 其中其中p、q分别为分别为f 的正、负惯性指数。的正、负惯性指数。 （6.15）式右端称为二次型）式右端称为二次型f 的的规范形规范形，显然，显然，它是唯一的。它是唯一的。 由惯性定理可得下面的推论由惯性定理可得下面的推论:第四节第四节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵定义定义1 实二次型实二次型f (x1, x2 ,. , xn)=XAX，如果对，如果对任意的非零向量任意的非零向量X = (x1, x2, . , xn) , 都有都有 f (x1, x2, . , xn)0 (或

22、或 f (x1, x2, . , xn)0（或（或A0）例如实二次型例如实二次型 222123123(,)23f xxxxxx 显然为正定二次型，而显然为正定二次型，而 222123123(,)25g x xxxxx 和和2212312(,)2h xxxxx 就不是正定二次型，因为就不是正定二次型，因为 (0,0,1)50g (0,0,1)0h 根据根据定义定义1，可得以下两个结论：，可得以下两个结论：(结论结论1) 标准形实二次型标准形实二次型 222121122(,)nnnf xxxk xk xk x 正定的充要条件是正定的充要条件是 0(1,2, )ikin(结论结论2) 实二次型实二次

23、型 12(,)nf xxxX AX 经可逆线性交换后其正定性不变。经可逆线性交换后其正定性不变。证证 （结论（结论1） 充分性充分性 12,0nk kk 120nX( x ,x ,x ) 对对于于任任意意，必必有有222121122(,)0nnnf x xxk xk xk x f 为正定二次型。为正定二次型。 必要性必要性 f 为正定二次型。为正定二次型。 (0,0,1,0,0)i 对对非非零零向向量量有有：(0,0,1,0,0)0(1,2, )ifkin证证: （结论（结论2） 设为设为 f 正定二次型正定二次型, 在经过可逆线性变换在经过可逆线性变换X=CY后，变为：后，变为： 12(,)

24、nf x xx即即 f 变为变为 g，下面证明，下面证明 g 为正定二次型。为正定二次型。 ()X AXY C AC YY BY 12(,)ng yyy 对于任意非零向量对于任意非零向量 12(,)0nYyyy 由于由于C可逆，从而对应的可逆，从而对应的X=CY是非零向量。是非零向量。 反证反证, 若若X=0, 则则CY=0 , 从而从而 C-1CY=Y=0 , 矛盾矛盾! 1212(,)(,)nng yyyY BYX AXf xxx 又由于：又由于： 且且f 是正定二次型，所以：是正定二次型，所以： 1212(,)(,)0nng yyyf xxx12(,).ng yyy即即是是正正定定的的根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个定的几个等价条件等价条件。 定理定理1 对于对于n元实二次型元实二次型 12(,)nf xxxX AX 以下命题等价。以下命题等价。 (1) f 是正定二次型（或是正定二次型（或A是正定矩阵）；是正定矩阵）； (2) f 的正惯性指数的正惯性指数p=n, （或（或A合同单位矩阵合同单位矩阵E)(3) A的的n个个 1, 2, , n特征值全大于零。特征