隐函数的导数对数求导法ppt课件

1、 四、隐函数的导数四、隐函数的导数 对数求导法对数求导法 由参数方程所确定函数的导数由参数方程所确定函数的导数0 隐函数的导数隐函数的导数0 对数求导法由参数对数求导法由参数0 方程所确定函数的导数方程所确定函数的导数1、隐函数的导数、隐函数的导数 P78定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函函数数该该区区间间内内确确定定了了一一个个隐隐在在那那么么就就说说方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相应应地地总总有有满满足足这这方方程程间间内内的的任任意意值值时时取取某某区区当当中中设设在在方方程程.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐

2、函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2)2)设设 y=y(x) y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) ey =xe

3、f(y) 确定确定, f , f 二阶可导二阶可导, f , f 1, 1, 求求 y y. .解解 方程两边对方程两边对x x求导求导: ey y: ey y = e f(y) + x e f(y) f = e f(y) + x e f(y) f (y) y(y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )()(1 yfxyyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx 3) 函数函数y=y(x)由方程由方程0)sin(222 xyeyxx所确定所确定, dxdyxyyxyyxeyx2)cos(2)cos(222222 求求y 解：解：02)22

4、()cos(222 yxyeyyxyxx例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 y

5、yyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy2、对数求导法、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xx

6、xexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()

7、()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 3、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 P79.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导

8、导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( t

9、tayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即2) 设设 ),1(,)(3tefyxfx 其中其中f 可导可导, 且且., 0)0(0 tdxdyf求求3)0()0(3)()1(30330 fftfefedxdytttt解：解：3) 求求 对数螺线对数螺线 e 在点在点)2/,(),(2/ e处的切线的直角坐标方程。处的切线的直角坐标方程。.2/ eyx解：解： sinsin,coscoseyex曲线在点曲线在点处的切线的斜率为处的切线的斜率为1sincoscossin2/)2/,(2/ eeeeye因而，所求切线方程为因

10、而，所求切线方程为),0(2 xey 即即)2/,(2/ e点点的直角的直角 坐标为坐标为)2/,(2/ e), 0(2/ e例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 20200