第十二章 达朗贝尔原理

1、1用静力学的方法研究动力学问题动静法动静法12-1 质点系的达朗贝尔原理12-2 惯性力系的简化12-4 定轴转动刚体的动约束力 12-3 动静法的应用 212-1-1 惯性力与质点的达朗贝尔原理12-1-2 质点系的达朗贝尔原理312-1-1 惯性力与质点的达朗贝尔原理静力学静力学动力学动力学平衡平衡不平衡不平衡惯性力平衡平衡约束力主动力约束力主动力达朗贝尔原理(动静法)：( (形式上的平衡形式上的平衡) )用静力学的方法研究动力学问题惯性力是假想的力，一般用虚线表示。412-1-1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1. 质点达朗贝尔原理NmFFa由N0mFFa即Im Fa引入惯性力NI0FFF质

2、点的达朗贝尔原理则即作用于质点的主动力，约束力与惯性力构成平衡力系。Im FaFNFmam5 已知 ,当BC绳断瞬时,求AB绳张力。,G给小球加惯性力, 受力如图。T cosFGTI0FGF由IFTFIFGGCBAaTF6eNI0 1 2 .iiiinFFF、1. 一般形式对 有:imeNI0OOiOiOiMMFMFMFeRNI0iiiFFFF则NN00iOi，FMF注意到eIeI0 0iiOiOiFFMFMF质点系达朗贝尔原理故即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。(内约束力)12-1-2 质点系的达朗贝尔原理全部外力包括外主动力与外约束力全部外力包括外主动力与外约束力7运用达朗贝尔

3、原理关键:合理简化,正确施加惯性力分布ia12-2-1 惯性力系的主矢和主矩12-2-2 刚体惯性力系的简化 81.主矢:IRIiiiCmm FFaa对固定点O与质点系运动形式无关2.主矩:eIMFMFOiO eddOOtLMF 且与质点系的分布及运动形式相关IIddLMMFOOOit 故IddCCtLM 同理12-2-1 惯性力系的主矢和主矩eIeI0 0iiOiOiFFMFMF91. 平移:ICFCCaC选质心C为简化中心结论结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。CRmaFI(a)主矢:(b)主矩:00ICCM,L

4、12-2-2 刚体惯性力系的简化102.定轴转动: (1)选转轴O为简化中心CRO,mCRaFI(a)主矢:(b)主矩:OOJMInCnRmaFICanCaCROnRIFRIFOMI OCaC2 OCanC12-2-2 刚体惯性力系的简化）（OOJL 11 (2)选质心C为简化中心CRO(a)主矢:(b)主矩:CanCaCROnRIFRIFCMI OCaC2 OCanC,mCRaFInCnRmaFICJMIC）（CCJL 12-2-2 刚体惯性力系的简化12CROnRIFRIFOMICROnRIFRIFCMI二者为什么是等价的？OOMMI)(F2|OC|mJCOCFMMRCOII)(F,mCC

5、aFI OCaC)(2|OC|mJCOJOJ12-2-2 刚体惯性力系的简化133.平面运动C CaC选质心C为简化中心CCmaFI(a)主矢:(b)主矩:CJMIC）（CCJL ICFICM12-2-2 刚体惯性力系的简化14(a) CRO 给图示(a)，(b)，(c)中三个均质圆轮(图为其质量对称面)分别加惯性力(已知m,R, )。 , 图(a)圆轮定轴转动，向转轴O简化:CanCaRIFnRIFOMI2I23mRJMOOmRmaFCRI2ImRmaFnCnR12-2-2 刚体惯性力系的简化15图(b)圆轮作平面运动，向质心C简化:CrR(b)CanCanRIFICMRIF2I21mrJM

6、CCmrmaFCRI22IrRrmmaFnCnR12-2-2 刚体惯性力系的简化16(c)ClCanCa圆轮平移， ,向质心C简化，惯性力如图。 0CCnRIFRIFmlmaFCRI2ImlmaFnCnR12-2-2 刚体惯性力系的简化17llOBA给指定物体加惯性力。 (已知 )Rrlm、1)均质杆AB课堂练习nRIFRIFCMI2I121mlJMCCmlmaFCRI2ImlmaFnCnR(选均质杆AB的质心C为简化中心)12-2-2 刚体惯性力系的简化18lC1rrCv常数O2)均质轮CCaenaCRIFnReIF0ICCJM21IOCmFnReCrCRvmF1I2(选均质轮的质心C为简化

7、中心)Crneeaaaaaa12-2-2 刚体惯性力系的简化杆匀速转动1912-3-1 动静法的特点12-3-2 典型问题20 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力，以及惯性力惯性力。 运动分析运动分析：主要是标出刚体质心加速度，刚体角速度和角加速度；建立运动学补充方程；选择简化中心简化中心后再加惯性力。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点： 列平衡方程求解。列平衡方程求解。选取适当的矩心和投影轴。 注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。ORMFI , IOOCRJMmaFII

8、 , 12-3-1 动静法的特点21 动静法数学上与动量定理与动量矩定理微分式等价，且应用更为方便。常与动能定理结合，求解复杂动力学问题。 对系统加上惯性力和全部外力后，可完全应用静力学方法与技巧。(如不必考虑选矩心的条件等)(如矩心与投影轴选取 ) 12-3-1 动静法的特点22llODBAC 图示T字形均质杆在水平面水平面内绕定轴O转动， 已知 、 ， ，质量均为m。试求图示瞬时: O处约束力及主动力偶矩M 。lABOD 1.研究T字形均质杆MOyFOxF2.作受力分析图，简化中心为质心C2I247mlJMCCmllmFR23432I22I23432mllmFnRICMRIFnRIF12-

9、3-2 典型问题232212172323mlM,mlF,mlFOyOx联立求解得：3.列平衡方程求解llODBACMOyFOxFCMIRIFnRIF , 0 xF0IROxFF , 0yF0InROyFF00IIOCFMM,MRCO12-3-2 典型问题简化中心也可选在O点，即把惯性力加在O点。24类似问题:1a3a12 稳态问题(外力、加速度不变)可直接加惯性力求解。 题型特点:12-3-2 典型问题251.取杆OA为研究对象20laaCnC ,均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。 求该瞬时，杆的角加速度及O处约束力。2.作受力分析图，简化中心为O点FOyFOxPOA CCaICM2I3l

10、gPJMOOlgPamFCR2I0InCnRamFRIF12-3-2 典型问题26PFFlgOyOx41, 0,23:解得FOyFOxPOA CCaOMIRIF3.列平衡方程求解 , 0 xF0OxF , 0yF0IPFFROy020IlPMMCO，12-3-2 典型问题27作业作业：P99 1; P100 312-3-2 典型问题28 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力，以及惯性力惯性力。 运动分析运动分析：主要是标出刚体质心加速度，刚体角速度和角加速度；建立运动学补充方程；选择简化中心简化中心后再加惯性力。应用动静法求动力学问题的步

11、骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点： 列平衡方程求解。列平衡方程求解。选取适当的矩心和投影轴。 注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。ORMFI , IOOCRJMmaFII , 12-3-2 动静法的特点29 2.质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。1. 取系统为研究对象2.作受力分析图OxFOyFP1a2aOMI2IF1IF2211 , rara12-3-2 典型问题JJMamFamFOOI222I111I ,

12、, 30JJMamFamFOOI222I111I , , 3.列平衡方程求解0 , 0)(I22I11I2211OOMrFrFgrmgrmMF将补充方程代入上式得：gJrmrmrmrm222211221102221112211JramramgrmgrmOxFOyFP1a2aOMI2IF1IF12-3-2 典型问题31GrmrGrMa121I21 , 0 : )(对2121 , 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止， 问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OOGrrgGmrGrrFMbR2222I2I21 , 0 : )(对12-3-2 典型问题32 3.均质杆长

13、l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及支座A的约束力。 1.选杆AB为研究对象 2.作受力分析图， 选A点为简化中心： 2ImlmaFCR 0InCnRmaFRAFnRAFnCaCaRIFnRIFAMI32ImlJMAA12-3-2 典型问题33(3) 02 , 0(2) 0 , 0(1) 0 , 0I0I0I0AAnAnRAnARAM/lcosmgMFsinmgFFFcosmgFF。 sin , cos4 , cos23 000mgFmgFlgnRARA3.列平衡方程联立求解得：12-3-2 典型问题RAFnRAFnCaCaRIFnRIF

14、AMI思考思考 如何求杆AB水平时的角速度、角加速度 及支座A的约束力？34coslg230 , 23g , 000此时时cosl,t用动量矩定理用动量矩定理+ +质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：选AB为研究对象，作受力分析和运动分析2lcosmgJA由得：由质心运动定理：nRAnCRACFsinmgmacosmgFma000 004 , cosmgFsinmgFRAnRARAFnRAFnCaCa0243220la,cosglanCC其中：解得：12-3-2 典型问题35初瞬时，0v0na 可直接加惯性力求解题型特点:绳断瞬时, 求A端约束力BA类似问题BA拆去支座A 求B端约

15、束力初瞬时问题12-3-2 典型问题36 4.均质圆柱体重为G，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始纯滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。(1).用动能定理求轮心C的加速度。G12-3-2 典型问题初始位置：T1=0；任意位置：222224322121CCvgGRgGvgGTCvRvC37 所有力的功：sinGSW12由动能定理 得1212WTTsingSvsinGSvgGCC34 04322对 t 求导数，则：sinRgsingaC32 , 32(2) 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶

16、MIC，作出受力分析图。CIFG12-3-2 典型问题Ca38sinGRsinRgRgGJMsinGagGFCCCC33221, 322II 0323 , 0)(032 , 0032 , 0RsinGcosGSRsinGsinRGMM ,sinsinGG FF , cossinG FFOOOyyOxxF列平衡方程：ScosG MO,sinG FOx23,sinG FOy)321 (2解得：GCIFCMIOyFOxFOM12-3-2 典型问题Ca3912-3-2 典型问题题型特点: 非稳态问题，运动中受力与加速度变化。可先由动能定理求出速度和加速度，再加惯性力求解。4012-3-2 典型问题 2

17、.均质折杆质量为2m，初始静止。求转过900时 杆的角加速度以及O处的约束力。lOBAllOBAl41作业作业：P100 4,5,6思考思考：P102 12,1312-3-2 典型问题42 3. 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为G和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的约束力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？12-3-2 典型问题43方法方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解OOOORgQJM2I21列平衡方程：(3) 0 sin0

18、(2) 0cos0(1) 0 , 0)(ITTOyyTOxxOOFQ , FFF , FFMMRFMF1、取轮O为研究对象，虚加惯性力偶4个12-3-2 典型问题OOOyFQOxFOMIMTF44AAAARgGMagGF2II21 , 取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIC如图示。RIF2、12-3-2 典型问题AGAMIAAIFFNFTFAa列平衡方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(ITIIGFFFFMRFRFRGMAATACFC运动学关系： )7(6) OAAARaRa4个OAAa45将MIA，FIA，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：。

19、)3()3( , )3()(22RGQsinQRMGFgRGQRsinPMTO代入(2)、(3)、(5)式，得： )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(RGQGRMG FQRGQQRMGFRGQQRMGFNOyOx46方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象)sin( sinPRMPRMWF)sin()3(4 , 2212PRMCRPQgWTTOF得由222222221)3(4 22121221)( RPQgRgPvgPRgQTCTOAAO常量gRPQPRMO2)3()sin(2 两边对t求导数

20、： )sin(2)3(412OOOPRMRPQg12-3-2 典型问题 )( AORRvAvAO解得：47(2) 用动量矩定理求绳子拉力 (定轴转动微分方程) 取轮O为研究对象，由动量矩定理得RFMRgQTO22RPQQRMPFT)3()sin3(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 , cos0 , TOyyCyTOxxCxFQFFMaFFFMaQRPQQRMPFRPQQRMPFOyOx sin)3()sin3( , cos)3()sin3(12-3-2 典型问题OOOyFQOxFMTF48(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研

21、究对象， 根据刚体平面运动微分方程)( 22OAAAAFRRgPJRPQPRMPF)3()sin(方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。TFOxFOyFF12-3-2 典型问题APAFNFTFAaC49 4.图(a)所示均质轮与均质杆铰结于轮心C。已知R, l=2R，质量均为m，由静止铅垂位置倒落，试求90时,铰O处约束力。 a图RlCOC12-3-2 典型问题50RlCOC图(b)运动中轮C平移，至图(b)任意位置时，0 , 0CC)cos1 ()cos22()2(312

22、121222mgRRRmgRmmvC)cos1 (892Rg(a)mgmgCv式(a)对t求导，得Rgsin169 WTT0由 ,2 RvC而代入上式，得12-3-2 典型问题51OC1C图 (c)OC1C 999 b1684nCCg ,ag , agR研究整体，加惯性力,受力如图(c)1CJOyFOxF1nCma1CmanCmaCma90时，加速度如右图且1199168n2CC aRg , aRg(C1为杆质心) (c)1nCa1CanCaCamgmg150 , 32yOyCCFF2mgmamamg1270 , 8nnxOxCCFFmamamg由12-3-2 典型问题52(2)若将圆轮换成均质杆，均质正方形板等，有何不同? (1)本题若用动能定理求出 ，但不求出 ，能否由动静法得解?题型特点: 非稳态问题，运动中受力与加速度变化。可先由动能定理求出速度和加速度，再加惯性力求解。OCOC12-3-2 典型问题53 为何值时，O端受合力最大? C=0。0C22211 1222 3CmvmR(22 cos )+(1cos )mgRRmgR9 sin16gR式(1)对t求导:vTTW由2 CvR，而29(1cos )(1)8gR故RlCOmgmgCv12-3-2 典型