南邮 数理方程1 定解问题

1、数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications数 学 物 理 方 法B（数理方程）主讲：周澜主讲：周澜 邮箱邮箱 : 答疑：周一晚上答疑：周一晚上 18:30-20:00，教，教2-426南京邮电大学南京邮电大学 、 理学院、应用物理系理学院、应用物理系数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications数理方程这门学科的由来数理方程这门学科的由来: 20世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。现在，物

2、理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在现在，物理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在生命科学、环境科学、生命科学、环境科学、化学化工化学化工、信息科学信息科学等领域也出现了很大程度上的交等领域也出现了很大程度上的交叉互融。叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石物理学已经成为自然科学发展的重要基石。 随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于物理场物理场及相关物理量及相关物理量的描述，引进了数学中的的描述，引进了数学中的偏微分方程偏微分方程。对于原子描述，引进了。对于原子描述，引进了球函数球函数的概念

3、，的概念，对于半导体器件的开发，引进了粒子对于半导体器件的开发，引进了粒子“扩散和输运扩散和输运”的概念，很多数学理论和方的概念，很多数学理论和方法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。数学物理方法数学物理方法就这样应运而生了。就这样应运而生了。数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications线性微分积分方程线性微分积分方程 线性积分方程线性积分方程波动方程波动方程 (双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程) 恒定场方程恒定场方程(椭圆型偏微分方

4、程椭圆型偏微分方程)输运方程输运方程 (抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程)非线性方程非线性方程 线性方程线性方程 数理方程数理方程数理方程分类数理方程分类 物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理，物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理， 数学的严谨数学的严谨推理和周密分析方法也应为物理所借鉴推理和周密分析方法也应为物理所借鉴.线性偏微分方程线性偏微分方程数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 课程的内容课程的内容三种方程、三种方程、 三种求解方法、三种求解方法、 一个特殊函数一个特殊函数分离变量法、分离变量法、行波法、行

5、波法、格林函数法格林函数法波动方程、波动方程、热传导方程、热传导方程、拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数贝赛尔函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。描述某种物理现象的数学微分方程。数理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationsRefrences：1.数学物理方法数学物理方法(第三版第三版)，梁昆淼，梁昆淼 编编2.矢量分析与场论矢量分析与场论(第三版第三版)，谢树艺，谢树艺3.数学物理方程的数学物理方程的MATLAB解法与可视化解法与可视化 彭芳麟彭芳麟4.微分方程微分方程5.高等数学高等数学数理方程

6、Nanjing University of Posts and Telecommunications1.1、概述、概述共性共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究某个物理量某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说，。简单地说，就是用数学物理方程表达物理规律。就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一这种物理规律反映的是同一类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。 个性个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就：但

7、同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是“恒定恒定表面浓度扩散表面浓度扩散”；另一种是；另一种是 “限定源扩散限定源扩散”。泛定方程泛定方程：数学上描述同一类物理现象共性的方程称为泛定方程。：数学上描述同一类物理现象共性的方程称为泛定方程。 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications初始条件初始条件：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的特特定历史定历史，也就

8、是早先某个所谓的，也就是早先某个所谓的初始状态初始状态，也即初始条件。，也即初始条件。定解问题定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件定解条件。把在给定的。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题定解问题。边界条件边界条件：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影响，而周围环境影

9、响总是通过边界传递给研究对象的，因此响，而周围环境影响总是通过边界传递给研究对象的，因此周围环境的周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，影响体现于边界所处的物理状况，这就是边界条件这就是边界条件。数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.21.2、数学物理方程的导出、数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（物理问题的物理问题的数学建模数学建模）(1) (1) 首先确定所研究的物理量首先确定所研究的物理量(,)uxyzt(2) (2) 根据物理规律分析微元和相

10、邻部分的相互作用根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用( (抓住主要抓住主要影响，忽略次要影响影响，忽略次要影响) )，这种相互作用在一个短时间段里如何，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量影响物理量u(3) (3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数学物理方程。学物理方程。数学物理方程的导出步骤为：数学物理方程的导出步骤为：数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications一、波动方程一、波动方程(弦振动方程弦振动方程)问题问题1 1：均匀弦的微小横振动：均匀弦的微

11、小横振动 ( , )u x t设有一条均匀柔软的细弦，长为设有一条均匀柔软的细弦，长为l l，平衡位置与平衡位置与x x轴的正半轴重合，且轴的正半轴重合，且一端与原点重合一端与原点重合, , 当弦受垂直与当弦受垂直与x x轴轴的外力作用后，在平衡位置附近作的外力作用后，在平衡位置附近作微小横振动微小横振动。研究对象研究对象：弦线上某点在弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。时刻沿纵向的位移。( , )u x t简化假设：简化假设：(2)弦上各点振幅极小，弦上各点振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向弦是柔软的，弦上的任

12、意一点的张力沿弦的切线方向。数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications10弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟数理方程

13、Nanjing University of Posts and Telecommunications建立方程建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和铅垂方向 MM 在不受外力的情况下的运动情况。 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：横向：coscosTT纵向：纵向：数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunicationscos1cos1故：故：横向：横向：coscosTT微小振动假设，可知在振动过程中弦上微小振动假设，可知在振动过程中弦上MM点与点与MM 点处切线的

14、倾角都很小，即点处切线的倾角都很小，即 ，从而由，从而由24cos12!4! 0,0 gds M M ds x T y xdx x T TT数理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationssinsinTTgdsma纵向：纵向：小弧段在小弧段在t t时刻沿时刻沿u u方向的加速度近似为方向的加速度近似为 ， 则由牛顿第二定律，有则由牛顿第二定律，有22,u x tdst小弧段的质量 gds M M ds x T y xdx x T 22,sinsinu x tTTgdsdst2,tansintan,1tanu x tx又因为当又因为当

15、时，有时，有0,0数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2,sintan,1.u xdx txu x tdsdxdxx gds M M ds x T y xdx x T 22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt带入原方程中得：带入原方程中得：22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx其中：其中：sinsinTTgdsma数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2222( , )

16、( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一维波动方程一维波动方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自由项自由项22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力作用：忽略重力作用：数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications如果在振动过程中，弦上还另受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F（x，t），coscos0TT22,sinsinu x tFdsTTgdsdst重复上面的推导，可得有外力作用时弦的振动方程22222,(

17、 , )u x tu x taf x ttx其中 表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。1( , ),f x tF x t数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 波动方程波动方程 一维形式一维形式 二维形式二维形式 三维形式三维形式2222222222()uuuuaufaftxyz 22222,( , )u x tu x taf x ttx2222222, , , ,( , , )u x y tu x y tu x y taf x y ttxy222222222222,uuuuxyzxyz 拉普拉斯算子数理方程Nanjin

18、g University of Posts and Telecommunications问题问题2 2：传输线方程：传输线方程( , ); ( , )v x t i x t 对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况），电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。 xR xL xG xC iii vvv R: 每一单位回路的串联电阻；L: 每一单位回路的串联电感；C: 每单位长度的分路电容；G: 每单位长度的分路电导。数理方程Nanjing University of P

19、osts and TelecommunicationsxR xL xG xC iii vvv 根据基尔霍夫第二定律，在长度为 的传输线中，电压降应等于导线电阻 上的电压降和两线之间电感 上的感生电动势之和：xR xL x()ivvvR x iL xt (1)viRiLxt 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即()viiiC xG x vt xR xL xG xC iii vvv (2)ivCGvxt 由此可得合并（1）、（2）式可得：(1)viRiLxt 数

20、理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications0,0.ivCGvxtviLRixt从这个方程组消去v (或i), 即可得到i (或v)所满足的方程。2222()(3)iiiLCRCGLGRixtti 满足的微分方程：v 满足的微分方程：2222()(4)vvvLCRCGLGRvxtt方程（3）（4）称为传输线方程.课后作业，推导传输线方程课后作业，推导传输线方程数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计，也就是说可令

21、 G=R=0 , 此时方程（3 ）与（4）可简化为：22221iitLCx22221vvtLCx这两个方程称为高频传输线方程。若令 ， 这两个方程与一维波动方程完全相同。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。21aLC数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications问题问题3 3：电磁波波动方程：电磁波波动方程tDJHtBE0 B DMaxwell Equations结构方程结构方程HBED2221HHtk kE EH HJE 2

22、221EEt数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications222222221()HHHHtxyz 磁场的三维波动方程磁场的三维波动方程222222221()EEEEtxyz电场的三维波动方程电场的三维波动方程数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications二、输运方程二、输运方程热传导方程热传导方程热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。所要研究的物理量：温度 ),(tzyxu在物体中任取一个闭曲面S,它所包围的区域记作V。假设在时刻t区

23、域V内点 处的温度为 , 为曲面元素 的外法向 。( , , )M x y z( , , , )u x y z tSn热场MSSVn根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：tSnukQdddtSnukddtSukdd数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxu流入的热量导致V内的温度发生变化 热场热场MSSVn数理方程Na

24、njing University of Posts and TelecommunicationsVtzyxutzyxucQVd),(),(122温度发生变化需要的热量为：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc21QQ 2121dddd2ttVttVtVtuctVuk2ukutc22au热传导方程热传导方程fuatu22如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications0)(22222 yuxuatu二维热传导方程 0)(222 xuatu维热传导方程 0)(2222222 zuyu

25、xuatu三维热传导方程 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, , 半导体材料中半导体材料中的杂质扩散等物理过程时的杂质扩散等物理过程时, , 若用若用 u u 表示所扩散物质的浓度表示所扩散物质的浓度, , 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. . 所以热所以热传导方程也叫传导方程也叫扩散方程扩散方程. .数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三、恒定场方程三、恒定场方程所谓的恒定场就是场量所谓的恒定场就是场量不随时间变化不随时间变化，而只与

26、空间变量有关系，而只与空间变量有关系(u(u(x,y,zx,y,z)。 问题问题1 1：静电场：静电场tBE静电场表明电场强度静电场表明电场强度E与时间无关，那么麦克斯韦方程组与时间无关，那么麦克斯韦方程组tDJH0 B DDE0 E2泊松方程泊松方程 02 E拉普拉斯方程拉普拉斯方程 u2泊松方程泊松方程 02 u拉普拉斯方程拉普拉斯方程 根据静电场中电场根据静电场中电场E与电位与电位u的关系：的关系：Eu 根据矢量运算：根据矢量运算：2()EEE 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三类基本方程在直角坐标系中的表示三类

27、基本方程在直角坐标系中的表示一、一、 波动方程波动方程22222222222()uuuuauatxyz二、热传导方程二、热传导方程222222222()uuuuauatxyz三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程22222220=0uuuuxyz即数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.3、定解条件、定解条件定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件衔接条件衔接条件1 1、初始条件：、初始条件：说明某一具体物理现象初始状态的条件。说明某一具体物理现象初始状态的条件。 对对输运方程输运方程( (扩散、热传导扩散、热传导) )

28、，初始状态是指所研究的物理量，初始状态是指所研究的物理量 的的初始分布初始分布(比如初始浓度分布、初始温度分布比如初始浓度分布、初始温度分布)，因此初始条件为：，因此初始条件为：u),();,(0zyxtzyxut 对对波动方程波动方程 (弦、杆、传输线和电磁波弦、杆、传输线和电磁波)，不仅需要给出初始，不仅需要给出初始“位位移移”，还要给出初始，还要给出初始“速度速度”。 ),();,(0zyxtzyxut00( , , ; )|( , , )tttuu x y z tx y zt 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即境和历史，即个性个

29、性。数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。恒定场方程（拉普拉斯方程）没有初始条件数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunicationsl例：例： 一根长为一根长为 ，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动，如图所示。此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。如图所示。此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。

30、0),(0tttxulxlxllhlxxlhtxut2/ )(/2(2/0 )/2(),(0初始速度和初始位移分别为初始速度和初始位移分别为:0 xlx 2lx hxu注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始条件，只含边界条件注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始条件，只含边界条件条件！条件！数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2 2、边界条件、边界条件边界条件：边界条件：研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定“环境环境”，而周围，而周围 环境的影响常体现为边界上的物理状况。

31、（可分环境的影响常体现为边界上的物理状况。（可分为为三类三类）：）：第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet (Dirichlet 问题）问题）：直接规定了所研究的物理量在：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值边界上的数值 );,();,(0001),(),(000tzyxftzyxuzyxzyx(2) (2) 细杆导热问题边界条件：杆的一端点细杆导热问题边界条件：杆的一端点 ax 的温度的温度 u按已知的规律按已知的规律 )(tf变化，则该变化，则该 端点的边界条件为端点的边界条件为 ：)(),(tftxuax(1) (1) 弦振动问题的边界条件：弦的两端弦振动问题的边界条件：弦的

32、两端0 x和和lx 则边界条件分别为：则边界条件分别为：00 xu0 lxu固定固定数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(3) (3) 恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面 0 xlx ，边界上的物理状况为边界上的物理状况为00),(Ntxux0),(Ntxulx和和 第二类边界条件（第二类边界条件（NeumannNeumann问题）问题）: : 规定了所研究的物理规定了所研究的物理量在边界外法线方向上导数的数值量在边界外法线方向上导数的数值 0002000( , , ) (,)

33、( , , ; )(,; )nx y zxyzu x y z tufxyz tn数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications纵振动的杆问题：杆的某个端点纵振动的杆问题：杆的某个端点 受有沿端点外法线方向的外力受有沿端点外法线方向的外力 ax ( ),f t根据胡根据胡 克定律，该端点的张应力与外力的关系为克定律，该端点的张应力与外力的关系为 : YStfutfSYuaxnaxn/ )( )(2) 细杆导热问题：若杆的某个端点细杆导热问题：若杆的某个端点 ax 有热流有热流 )(tf沿该端点沿该端点外法线方向外法线方向流出流出，根据

34、热传导定律，则边界条件为：，根据热传导定律，则边界条件为： ( ) ( )/nnx ax akuf tuf tk 若热流若热流f(t)是是流入流入，则边界条件为，则边界条件为: ( ) ( )/nnx ax akuf tuf tk若端点绝热，则若端点绝热，则 ：0axnu自自由由端端不不受受力力 0lxxu数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications第三类边界条件：第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上在边界上 的数值。的数值。);,()(0003),(),

35、(000tzyxfHuuzyxzyxnH为常系数。为常系数。 (1) (1) 细杆导热问题：细杆导热问题： 杆的某端点杆的某端点 ax 自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量，单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的交换热量，单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量热量 跟物体表面和外面的温差跟物体表面和外面的温差 成正比。成正比。lx 端，外法端，外法 向向n n就是就是x x方向，而在方向，而在 0 x端，外法向端，外法向n 就是就是-x方向，方向，则自由冷却条件分别表示为：则自由冷却条件分别表示为： d ddQuk

36、S tn H H为杆端与周围介质的热交换系数为杆端与周围介质的热交换系数, ,对杆的两端都是自由冷却，那么在对杆的两端都是自由冷却，那么在 x au() ()nnx ax akuH uuHu0 (), () xxx lxuHuuHu 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications)(0kTxuulx (2) 弦的振动（端点弹性连结）lxuk 弹性力lxxuT 张力设弹性支承原来的位置为u=0，则 表示弹性支承 的应变。根据胡克定律，此时弦在x=a处沿位移方向的张力 应与弹力相等。|x aux auTx数理方程Nanjing Univ

37、ersity of Posts and Telecommunications 初始条件初始条件和和边界条件边界条件统称为统称为定解条件定解条件。把某个偏微分方。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题定解问题。(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。定解问题的适

38、定性定解问题的适定性 :解的存在性：定解问题是否有解；解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications3 3、定解问题泛定方程、定解问题泛定方程+ +定解条件定解条件0|0lxxuu20,0ttxxua uxl t0)( |c-x| , 2|c-x| , 0| , 0|00kuuttt定解问题定解问题长为长为 的细弦两端固定，开始时弦上各点处于

39、平衡位置，的细弦两端固定，开始时弦上各点处于平衡位置，在在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作用lcx k 定解问题的适定性定解问题的适定性：解的：解的存在性存在性、解的、解的唯一性唯一性和解的和解的稳定性稳定性；若若 一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications例例1：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型： 0| |a ),(22221222222byxayxnuubyxyxfyuxu

40、 t),z,y,f(x| ),( 0000Mtzyxu第一类边界条件t),z,y,f(x|nt)z,y,u(x, 0000M第二类边界条件恒定场问题（恒定温度场，恒定电磁场，恒定浓度场）恒定场问题（恒定温度场，恒定电磁场，恒定浓度场）数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications222()0,ttxxyyua uuxyR例例2、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的

41、定解问题。出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。0|( )tuf r 0|( )ttuv r 22|0 xyRu 数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(a) 0| , 0|0lxxuu (第一类边界条件第一类边界条件) (b)因为当沿杆长方向有热量流动时由因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier热传导定律（即热流强度热传导定律（即热流强度 ）有）有 qku lxxxukqxukq,)(00| , 00lxxxxuu0q（c）显然，此时有）显然，此时有0| , 00lxxxuu,t),z,yf(xHuuMn00

42、0 | 0可看为第三类边界条件可看为第三类边界条件 l例例3 3、考虑长为、考虑长为 的均匀杆的导热问题，写出以下三种情况下的边界条件的均匀杆的导热问题，写出以下三种情况下的边界条件 （a）杆的两端温度保持零度；）杆的两端温度保持零度； （b）杆的两端均绝热；）杆的两端均绝热；(c) 杆的一端为恒温零度，另一端绝热；杆的一端为恒温零度，另一端绝热；nnqqx解：设杆的温度为解：设杆的温度为 ),(txu数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications ),( )0 ,(0| 0 (t)|a ),(222212222222yxyxunu

43、tuubyxyxfyuxuatubyxayx例例4、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：例例5、有一长为、有一长为 的均匀细杆，侧面与外界无热交换，杆内有强度的均匀细杆，侧面与外界无热交换，杆内有强度随时间变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度及初始温随时间变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度，且杆的一端保持度，且杆的一端保持 零度，另一端绝热，写出定解问题。零度，另一端绝热，写出定解问题。l2( , )txxua uf x t0|0 xu |0nx lxx luu 0|( )tuF x数理方程Nanjing Universit

44、y of Posts and Telecommunications(4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数常系数和和变系变系数数微分方程；微分方程；(5) 按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程线性微分方程(均为一次均为一次)和和 非线性微分方程非线性微分方程（超过一次）（超过一次）；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶一阶、二阶二阶 和和高阶高阶微分方程微分方程；数理方程Nanjing University of Posts and Tele