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1、0),(. 1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形例例验证方程验证方程0122 yx在点在点)1 , 0(

2、的某邻的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的隐函数的隐函数)(xfy ，并求这函数的一阶和二阶导，并求这函数的一阶和二阶导数在数在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyx

3、xy ,13y . 1022 xdxyd解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 那那么么,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函

4、数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .解解令令,4),(222zzyxzyxF 那那么么,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以0),( zyxF为例，为例， 主要方法有：主要方法有：公式法一阶偏导的基础上求）公式法一阶偏导的基础上求）222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 类似地可求得类似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次0 x

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