(完整版)数理方程总结完整终极版

1、g哈密尔顿算子,读作deli? -?-I?拉普拉斯算子:gradu u22uu22xy三类偏微分方程波动方程：鲁二"琴弦的振动i杆，膜：液体，气悻等的振动i电磁场的振苗拉普杭斯历程：v，o空间的静电场分布：描磁场分布；桎定温度场分布*蜘与&方程：热传那中的温度分布;流体的旷散、粘性液体的流动两种特殊函数贝褰尔/*”4疗+（，-忖“二。g物让德。-凸W + <«+!）/-6 B 四种方法：分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法定解问题：初始条件.边界条件.其他波动方程的初始条u |t o(x)(x)波动方程的边界条件：=0= 0x-a工一口弹性支承端：在x=

2、a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。定解问题的分类和检验：(1)初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。? 解的存在性：定解问题是 否有解；? 解的唯一性：是否只有一 解；? 解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相B.热府皆方稗的边界条件(”给定温度在辿畀1：的值可尸/ S 给虫区域v的辿界 第 先边界塞什(2)融弊状态.巴。哥二类边界条件 一裔，口)热交换状态牛蚀冷却定律；单位时间内从物体箫过边界匕单佗面租彼 到周围介旗的.蟆量跟物体H血和外面的温差成正比电优(

3、iJMk 7 ¥心山 加人交换系被;即钏同介加的强度*aw吐 l =三第三类边界条件应的微小变动。分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分一有界弦的门由振尚1求两端固定的岐自由振动的规律春心期则/0)=加上£： = 4叫m 。v0父，A令 卅(茶 *(耳)丁的帝入方曜二附加,但=口讨匕“例*1分 ,边A1x) + AA(jf>=0带入边界条件a丁"卜。,¥(nri口x(o)®ofc x(n = o尹"萨；HC/

4、t ».说,“ '七Ctff tl。11仃,m=#1=3*1.CT/ r>e * Y E) + EH 磔-0,r. +小门门Q Ek 7 4 = 、(w= L2.工)巾.了3二 F 一AJr|- if fin-t (n - 1,1,*- MO ” . rtJT& , . Iflff .&式JEj J g (工 Ml jj 毋51力7. (FJ I j-Zj,?,。外隔”.人 月/”1. ra.嗑i(f _fhui f)sin(k = L 2,3," )siff * ix. .= A d) = i. ,1'U*= >)4HE剧有】f

5、iHM-含灯持足常歙并盘分方程在定条件卜的求豺同盟荷卜什|有：，仁使井棒.有非军解的需数设-l (Hfr币翕:和特征伯朴I对应埼平零耕知情就河诳：L 厂打工C0 内.，)一</"4抄正X+E=0A=B=QT=fl+&i： rfi上- n v(*)-#* 芭，：=3 ,口x n。=步为事嘿数13 2f/M + Hf jffjl .»ixij;(n = 1.3,1 )其工=如疝7T (n=1.2J,-")方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题事

6、明挑 £> 立. f“(V)=Uj"4.凡r>0必工二做时电9®匚0 i A, £ J df,他禹麦仙 阑内m耳丫/") T+以:if) 广切:丁 ="卓替初S和特衽函费4 “1”？芯阖屏sis早#求男 T 曲班r-rfiosf + D：«i /工,Is a -6 G1a , 打初 r,.门皿 ,“落味jfi配 u1",七/ 士工A Ju 二£ r + Dtl 期n -jHiu x jh'I (Haitsr卞 f JjF -1Gl13 J确W范敌 f = -f-& L, =-

7、W-Tgm-jcdrf %i,加皿；分离变量流程图"打油刑况M卜-附=m-/*必=。r+/fjr=o丁=江城的联蚓k庄手I：=MM式卦一丁，"1r_一、ftL 吊=mmt_« = £ P力离变就修可班求解凤;有芹次边界杂件的用衣假就分方和常用本征方程齐次边界条件X” X 0X(0) X(l) 02-,k/l,k1,2LXk sin kxX'' X 0X'' X 0X'' X 0X(0)X'(l)0X'(0)X(l) 02, (k1)/l,k 0,1,22, (k ；)/l,k 0,1,2Xk

8、 sin kxK cos kXX '(0) X'(l) 0k /l,kXk cos kX0,1,2L非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。/firJ衣甘 j.三丁一4 t-tt + F【xJL 沙 祗一 吁用_“。/）二口.t > II加其口抑-卅-F了 -rri'r；RI。】=下jr t =鱼tV=U. 0<t<LM X-1 f LR宜i三2 MMii -a«d2 j.五II齐次边界条件的处现 rV"“ t r u h-r =浦一r - / (A. ), ZV flv

9、.钝底h，)-知()<1*4时上*加二卡jO*'L0'S =十仃上。&h！tV力g+匕Ip）SJi：（41明仲卜产丁。卜*：*p；Rlp）"电+犷厂口-%卜。”卜1t .足祀1f silt 时. ,O UH B3L k加 iff *rr 掌"/7没：卜仃.卜_小小+切心配电" =取"=叼门"殖0/"+即卜irgr -h,- wjr) n1 (xj *i + wL fr)如也门-此口上贝仃卜g(此fOH+”g,0)5rr=帆#k 0 JF< I W (JTtF)="式"jG

10、63;4&g6-v. dT.押 tr AMTT *-r + /U.O + cr -;白. ck'th' vf仙。jr。蛇工。卜鹏城>=取x)-JFfjjOO,=W；t)ir-=r =-+ f <1I M 占，,唧用aH 7|,门黑网（1）-4-呵刘J和忆知无关 cjrtr t /aj u. H'fQ)=%,IF(/) - i.应用分离变特法求解定解同胞的旧骚行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界

11、域内波动方程，等1,、，、u (x at)(x at)21 x at2a x at()d一维波动方程的达朗贝尔公式尸廿仁匚0】M* «Jfx,0)= tfjf.TK- -：-炉彳Hh出工(T + WJ +短fhh,u)- y,Lr + y;( v) - ghi+期，A嘲义工)，必金i/f(x)-/2 U) *CT."l+«.ex a cfJJ =C£Li - /； f 汗 + ti!)-八 * a - as)I 片 FTC j1 ,EffM )呵jf * af)+ 2nL四金 ) * a8工川一 £婀(拜J一N =:叫工徐川卜仪工.源)卜;JW

12、。鼠百一维波功方程的达朗做尔公式解的性质：1.只有初始位移时，u(x,t)(x at) (xat)(x at)代表以速度a沿x轴正向传播的波。(x at)u(x,t)x at代表以速度 假使初a沿x轴负向传播的波。2.只有初始速度时:始速度在区间上是常数u(x,t)，、1，、1(x at) 1(x at)u(x，t) 2 (x at)(xat)2aat2a x atat Od恒等于 0()d2.对定解条件做相应的积分变3积分变换法求解问题的步骤1. ?对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程4,对解的变换式换，导出新方程的定解条件 3.对常微分方程，求原定解条件下解的变换式 相应的逆变

13、换，得到原定解问题的解二积分变换法1 w制变推值若八6在(3+00)的任点一个区间内耨足技里丸菜 条用且|八公|的存隹，喇H：/叱匚加“r卜在*”的间断点处，睥立叫积分收欣2代氏变樵法拉普拉斯变换的定义门内=i河圮-讷/o)-1 ”产炉印拉普世斯变换的性丽微分性/加I"卬六"'/lOH/t ':广叫*网傅立叶二怏的定国£rfra"j必偏域分为程公 常微分方程艮度咂用21dH当模性口 U打法又刖带怔线法拉普拉斯方程的格林函数法:拉普拉斯方程边值问题的提法:2报普拉斯方程的格林雨I色由第二格公式”网，TL哈雨况廿廿J- -L-V 4r g明均

14、为珊曲函敏，心£一厂JI王KlV-ftK%)T当4w婚叫 一塌 11 (it 加.工讷Ar 11出典和函敷的和分表近式1 加I为相和Mi数，且谪=1 14 * F -伙用11 FT1(1(*"产* JC*TF、小V口内W+，总与£W:4才公fCH丫为调和函缴.。满足！ -11叫r:, r：uw.心*】=口"/ 1 1fT-t)r.'r4 汽FL格林函数便依敕于国城，和边界条件无关，对于某些特殊区域，格林函数可以用初等方怯求Uh不忡：厂一。“ ASu |1第一边值问题（狄氏问题）uf 2第二边值问题（牛曼问题）3内问题与外问题4调和函数:具有二阶偏

15、导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数2v -(u v)dV u dSVS n-格林公式及其结论v u vdVV(u2u)dV(u v)dSS n n1调和函数的积分表达式1.拉普拉斯方程的基本解u(M 0)111 u4-S(u-(r)dS(x ln1 rxo)2 (y yo)2 (z zo)2ln_1(x Xo)2(yyo)2三维二维和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域 边界上的值和边界上的法向导数来表示。v(u2u)dV(u vu )dSS n n2牛曼内问题有解的必要条件取。平-dS 0S n均值公式女/us k 0uM)14 a2kaudS4拉普拉定，牛曼问题的解除了

16、相差程解的唯一性问题；狄氏问题的解唯 常数外也是唯一确定的。纯点源产生的场（不计初始条件和边界条三格林函数作以点处点电背电量品，点电荷密度哙曲1即 gq 处点电位fVXif）- -Jtr）%“，.-Mt点电持电盘曾点电朝密度MkrJ件的影响G（M，M0）自由空间的格林函数G（M,Mo） 4rMMo此耳0部-rj门- F：3r rg(解帆)fgM)M)f吗0 4 rMM0JI/ jRc|5(r-rj |i针或冷-P：即外喇十再" v-uf.w j-门处 讥此-j-l-5也印； ti 4*3u|u(M)0对泊松问题2一，、u(M) F (M),u(M )G(M,Mo)F(Mo)dVou|

17、f(M)u(M)(Mo)(Mou|1GTMF.OM"dVo4 rMM01 F(M0)dM04M rMu(M) F M ,内 0典M必(Mo)dSo3f(Mo)dSo nu(M )0,f (M )u(M)对拉普拉斯问题区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷， 这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。半空间的格林函数111格林函数的性质:1、驯做)而，菰k麻汴M= M0 一点外处处满足拉普拉斯方程。M趋于M0时,2、在边界上3、在区域内，下面的不等式成立格林函数0 G(

18、M,M0)4、在区域内，格林函数具有对称性G(M1,M2) G(M2,M1)四分之一空间的格林函数11111G(M ,Mo)4 rMM 0MM1 rMM 2MM37二宗呈近悔 x2y xyx2 n2 y 0, xHn1”)率瓯y陟1 n)(2)21Hn (x) ：x expj(x -“力仇触散成善时IETH当为正投敢时Hjll） l>'二贝塞尔方程的求解H阶贝奈东方程同E盘实数或凝敷A2y"+ xyr + （a,: -n'=0幅设A10|£令：丁 二 ?国.十町工十三一寸一一口产、+“）上£ kLTHr+& T）+dm一叫|一0 -1

19、H 斗,巾*1 尸-rr' -2 鼻 Z，鼻#尸一） 口.4/ 31- 0 7（r= H卜+ 1丫一"二k=Qfr+AV 广卜，+小：=。C ±n C-n ffj =od） = tfj - a,. . = 0一% g* iCd-Fit）心电"工包图行面第一加塞尔函数当"为止整数时r（jH-rtt + J）-（h + rn）!小心4心厂 以rwU门4押】N2 ）时ir?它以Ji 2 j，-1I小片第一曼地案除函敦I制不为虻敷时+ 14第景方程的通邮仃和上.住）纨性无关1 - 4。力* R7 1工）4 -cixm-f fj - -ck以工卜坐且吧幺色 硼修二类贝奈尔函电（华曼语鞋， *血”开y1出卜+加丁力2制为格热时.贝麻尔方脚的修制*也1上“心"网=上