第6章可压缩高速流动基础

1、 主讲教师：北京航空航天大学流体力学研究所 郭郭 昊昊电话：电话：0100108233959282339592（O O）手机手机:-mailE-mail：办公室：新主楼办公室：新主楼C1114C1114房间房间6.1.1 6.1.1 热力学热力学的物系的物系热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态的热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态的物质体系物质体系（一）既无物质交换又无能量交往的，称为（一）既无物质交换又无能量交往的，称为隔绝体系隔绝体系 （二）无物质交换，但有能量交换的，称为（二）无物质交换，但有能量交换的，称为

2、封闭体系封闭体系（三）有物质交换，也有能量交换的，称为（三）有物质交换，也有能量交换的，称为开口体系开口体系高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封闭体系。经高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封闭体系。经典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系。但在分析时典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系。但在分析时我们也常用开口体系（控制体）。我们也常用开口体系（控制体）。6.1.2 6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律力学第一定律1 1、完全气体假设与状态方程、完全气体假设与状态方程完全气体：气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分

3、子完全气体：气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分子间不存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气间不存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气可被假设为完全气体。可被假设为完全气体。状态方程：任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在状态方程：任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在一定的关系，称为状态方程。对于完全气体的状态方程为一定的关系，称为状态方程。对于完全气体的状态方程为：其中其中 R 称为气体常数，空气的称为气体常数，空气的 R = = 287.053 N.m/(/(kg.K) )。RTp在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数在热力学中，常常引入另外一个代表

4、热含量的参数 h（焓）（焓）由于由于 表示单位质量流体所具有的压能，表示单位质量流体所具有的压能，故故焓焓 h 表示单位质量流体所具有的内能和压能之和表示单位质量流体所具有的内能和压能之和。 phep2 2、内能、焓、内能、焓气体内能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能气体内能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能与分子之间存在引力而形成的位能之和。对于完全气体而言，与分子之间存在引力而形成的位能之和。对于完全气体而言，分子之间无引力，单位质量气体的内能分子之间无引力，单位质量气体的内能 e 仅仅决定于分子仅仅决定于分子间的热运动，是温度的函数。间的热运动，是温度的函数。3.3.

5、 热力学第一定律热力学第一定律 热力学第一定律热力学第一定律是一条是一条能量守恒定律能量守恒定律。对一个封闭物。对一个封闭物系来说，经过一步无限微小的可逆过程，由外界给物系的系来说，经过一步无限微小的可逆过程，由外界给物系的热量热量 dQ 必必等于物系的内能增量等于物系的内能增量 dU和和该物系对外界膨胀该物系对外界膨胀所作的所作的功功 pdV 这这二者之和二者之和( (这里这里V是体积是体积) )，即：，即：这这是是静止物系的热力学第一定律静止物系的热力学第一定律的公式。上式两端同除以的公式。上式两端同除以物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方程物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方

6、程 ：其中，密度的倒数是单位质量的体积其中，密度的倒数是单位质量的体积, ,即比容即比容 表示外界传给单位质量流体的表示外界传给单位质量流体的热量热量dq等于单位质量流等于单位质量流体体内能增量内能增量与压强所做的单位质量流体的与压强所做的单位质量流体的膨胀功膨胀功。pdVdUdQ1dqdepd1v一一个物系的压强、密度、温度都是个物系的压强、密度、温度都是点函数点函数，彼此之间存，彼此之间存在一定的函数关系，但和变化过程无关，代表一个在一定的函数关系，但和变化过程无关，代表一个热力热力学状态学状态。 p, T, , e，h代表热力学状态参数，两个热力学参数可以代表热力学状态参数，两个热力学参

7、数可以确定一个热力状态，如果取自变量为确定一个热力状态，如果取自变量为T, ，则其它状态变，则其它状态变量关系量关系为为 对于对于焓的微分量焓的微分量是是 表示气体焓的增量等于表示气体焓的增量等于内能增量内能增量、气体膨胀功气体膨胀功与与压强差所压强差所做的功做的功之和之和。 从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：( ,T) ( ,T) /ppeehep 11()dhdepddpdpdhdq1 对于对于一个一个流动物质系统流动物质系统而言，其能量方程变为而言，其能量方程变为与静止物系的能量方程相比，流动物系的能量方程多了两与静止物系的能量方程相比，

8、流动物系的能量方程多了两项，其中一项，其中一项项 是是流体质点在流动过程中所特有的一流体质点在流动过程中所特有的一份功，表示流体微团在体积不变的情况下，由于压强变化份功，表示流体微团在体积不变的情况下，由于压强变化引起的功（流体质点克服压差所做的功）；另一项是流体引起的功（流体质点克服压差所做的功）；另一项是流体微团的宏观动能变化量。微团的宏观动能变化量。即即1()dqdepddpVdV2222()22VuvwVdVdddp 如果如果把流动物系的能量方程用焓表示，有把流动物系的能量方程用焓表示，有 式式中中， 是是外热；具体的来源可以是通过传导进来的外热；具体的来源可以是通过传导进来的热、热辐

9、射，也可以通过是燃烧之类的化学变化所产热、热辐射，也可以通过是燃烧之类的化学变化所产生的热。生的热。dqdhVdVdq4 4、热力学过程、热力学过程 （1 1）可逆与不可逆过程）可逆与不可逆过程 在在热力学中，如果将变化过程一步一步倒回去，物系的热力学中，如果将变化过程一步一步倒回去，物系的一切热力学参数都回到初始状态，且外界状态也都复旧，这一切热力学参数都回到初始状态，且外界状态也都复旧，这样的过程则是可逆过程，否则是不可逆过程。（如高温向低样的过程则是可逆过程，否则是不可逆过程。（如高温向低温传热，机械功通过摩擦生热都是不可逆过程）可逆过程也温传热，机械功通过摩擦生热都是不可逆过程）可逆过

10、程也称为准静态过程，或连续的平衡态过程。称为准静态过程，或连续的平衡态过程。（2 2）绝热过程）绝热过程 与与外界完全没有热量交换，即外界完全没有热量交换，即 ，称为绝热过程。称为绝热过程。0dq （3 3）等容过程、等压过程、等温过程、绝热过程）等容过程、等压过程、等温过程、绝热过程 在热力学中，在热力学中，内能内能u(e)是是状态的函数，而状态的函数，而q不是状态不是状态函数。因为其中的压力膨胀功不仅决定于过程的起点和函数。因为其中的压力膨胀功不仅决定于过程的起点和终点，与变化过程有关。在终点，与变化过程有关。在p-1/ 图上，整个变化过程做图上，整个变化过程做功可表示为功可表示为由由1

11、1点到点到2 2点不同的曲线代表不同的热力学过程，这些不点不同的曲线代表不同的热力学过程，这些不同的过程膨胀功是不同的。同的过程膨胀功是不同的。211()pWpd1 1）等容过程）等容过程 如果在变化过程中，单位质量气体的容积保如果在变化过程中，单位质量气体的容积保持不变，这样的过程称为等容过程。此时气体的膨胀功为持不变，这样的过程称为等容过程。此时气体的膨胀功为零。零。外界加入的热量全部用来增加介质的内能。外界加入的热量全部用来增加介质的内能。 比热比热定义：单位质量介质温定义：单位质量介质温 度每升高一度所需要的热量度每升高一度所需要的热量。 比热（比热容）数值的大小与具体热力学过程有关。

12、比热（比热容）数值的大小与具体热力学过程有关。在在等容过程中，比热称为等容过程中，比热称为等容比热等容比热，用，用Cv表示。由此得到表示。由此得到0pWvdqdeC dTvdqdeC dT0TveC dTvdqCdT2 2）等压过程）等压过程 如果在变化过程中，气体的压强保持不变，如果在变化过程中，气体的压强保持不变，这样的过程称为等压过程。此时气体的膨胀功不等于零。这样的过程称为等压过程。此时气体的膨胀功不等于零。外外界加入的热量一部分用来增加介质的内能，另一部分用于气界加入的热量一部分用来增加介质的内能，另一部分用于气体的膨胀功。体的膨胀功。在等压过程中，单位质量介质的温度每升高一在等压过

13、程中，单位质量介质的温度每升高一度，所需要的热量，称为度，所需要的热量，称为定压比热定压比热，用，用Cp表示。表示。1()()ppdqdepdd edhC dT0TphC dTppdqCdT21()ppWd21()veC TT 定压比热与定容比热的比值，称为气体的定压比热与定容比热的比值，称为气体的比热比比热比。即。即 在空气动力学中，在温度小于在空气动力学中，在温度小于300C300Co o，压强不高的情况，压强不高的情况下，一般下，一般Cp，Cv， 等于常数。等于常数。 对于水，对于水，pvCC1004.7/pCNm kg K717.6/vCNm kg K/ C1.4pvC4180.0/p

14、CNm kg K由于由于由完全气体状态方程，可由完全气体状态方程，可得（得（梅耶公式梅耶公式）()ppd edhC dT()vppC dTdC dTpRT()pdRdT()(C)vvppC dTdR dTC dTpvCCR1pCR11vCR3 3）等温过程）等温过程 在变化过程中，气体的温度保持不变，在变化过程中，气体的温度保持不变，这样的过程称为等温过程。在等温过程中，内能不变，这样的过程称为等温过程。在等温过程中，内能不变，热量与膨胀功相等热量与膨胀功相等。单位质量气体所做的功为。单位质量气体所做的功为2211121211( )( )ln0pq WpdRT dRTe4 4）绝热过程）绝热过

15、程 在热力学变化过程中，与外界完全没有热量在热力学变化过程中，与外界完全没有热量交换。由能量方程得到交换。由能量方程得到 由由理想气体的状态方程，理想气体的状态方程，有有 这就是（静止气体）在绝热过程中，压强与密度的关系。这就是（静止气体）在绝热过程中，压强与密度的关系。0dq 1()0depd1()0vC dTpd11()pddpRdT11(C)()0vvR pdCdp11()0pvC pdCdp1()01ddpppC 在绝热过程在绝热过程中，单位质量气体所做的功为中，单位质量气体所做的功为 内能内能的变化为的变化为222121212121111()()()1 ()()1pvppWpdCdR

16、TTC TT 21()veC TT 例题：有例题：有1.5kg的空气由的空气由1 1个大气压、个大气压、21的的起点，经绝起点，经绝热压缩后，压强达到热压缩后，压强达到4.084.08个大气压个大气压。求：。求：（1 1）起点气体的体积；）起点气体的体积；（2 2）终点气体的体积；）终点气体的体积；（3 3）终点温度；）终点温度；（4 4）外界对介质所做的功；）外界对介质所做的功；（5 5）加入的热量；）加入的热量；（6 6）内能的变化。）内能的变化。解：解：1 1）起点的体积：起点的体积：2 2）终点气体的体积：）终点气体的体积：pRT31111013251.2/ m287 (273.152

17、1)pkgRT31mVmpC12pC11pC2121pp12211pp111.4322114.081.23.276/ m1.0pkgp3221.50.4583.276mVm3 3）终点温度）终点温度4 4）外界对介质所做的功）外界对介质所做的功5 5）加入的）加入的热量；热量；6 6）内能的变化）内能的变化 绝热压缩过程，外界对气体所做的功全部变绝热压缩过程，外界对气体所做的功全部变成气体的内能。成气体的内能。pRT2224.08 101325439.69287 3.276pTKR22212121111()()()114.08 1013251013251.8156589

18、1.4 13.2761.2ppppWpdCdWNm 0Q 21()1.5 716 (439.69294.15)156310vUmC TTNm6.1.3 6.1.3 热力学第二定律，熵热力学第二定律，熵 对于对于绝热过程，正的功和内能的减小量相等。就热绝热过程，正的功和内能的减小量相等。就热力学第一定律而言，所有类型的能量都是同等有效的，由力学第一定律而言，所有类型的能量都是同等有效的，由此建立了能量平衡关系。但实际上，不同类能量彼此是有此建立了能量平衡关系。但实际上，不同类能量彼此是有区别的，功是力乘距离，表示系统之间的相互作用；而内区别的，功是力乘距离，表示系统之间的相互作用；而内能是状态的

19、函数，状态的变化由功来确定；而热又是功和能是状态的函数，状态的变化由功来确定；而热又是功和内能来确定。内能来确定。在在热力学第一定律中，并没有提及热功的不等价性。实际热力学第一定律中，并没有提及热功的不等价性。实际上，不同类能量的转化是有方向性，并不能可逆转换。比如：上，不同类能量的转化是有方向性，并不能可逆转换。比如：1 1）热总是从高温物体流向低温物体，反向不成立；）热总是从高温物体流向低温物体，反向不成立；2 2）两种气体混合后不会自发分离出来）两种气体混合后不会自发分离出来；3 3）摩擦机械功可以转化成热，但热不能）摩擦机械功可以转化成热，但热不能100%100%转化成功；转化成功；4

20、 4）不可能制造出一种连续运行的机器，使该机器只从单一热源）不可能制造出一种连续运行的机器，使该机器只从单一热源中吸取热量，并将其转换成等量的功。中吸取热量，并将其转换成等量的功。 为了为了指明能量转化的不等价性，热力学第二定律规定指明能量转化的不等价性，热力学第二定律规定了能量转化的方向性。即，如果某一方向的变化过程可了能量转化的方向性。即，如果某一方向的变化过程可以实现，而逆方向的变化过程或者不能实现或者只能在以实现，而逆方向的变化过程或者不能实现或者只能在特定条件下实现。热力学第二定律的表示方法很多，譬特定条件下实现。热力学第二定律的表示方法很多，譬如如 ：（1 1）克劳修斯说法）克劳修

21、斯说法 不可能制造出一种循环工作热机，将不可能制造出一种循环工作热机，将热量从温度较低的物体传至温度较高的物体热量从温度较低的物体传至温度较高的物体。（2 2）开尔文）开尔文- -普朗克说法普朗克说法 不可能制造出一种循环工作不可能制造出一种循环工作热机，从单一热源中取出热量并使之全部变为有用功而热机，从单一热源中取出热量并使之全部变为有用功而不产生任何其它作用。不产生任何其它作用。以下通过引入熵状态参数，在不可逆过程中的变化以下通过引入熵状态参数，在不可逆过程中的变化来描述热力学第二定律。来描述热力学第二定律。熵是一个热能可利用部分熵是一个热能可利用部分的指标。的指标。其定义如下：其定义如下

22、：单位质量气体的单位质量气体的熵熵定义为定义为其中其中，dq与与dq/ /T是不同的两个量。是不同的两个量。dq是与积分路径是与积分路径有关的；而有关的；而dq/ /T是一个与积分路径无关的量，可以是一个与积分路径无关的量，可以表示成某一函数的全微分表示成某一函数的全微分。熵增量的表达还可写为熵增量的表达还可写为dqdsT(1/)11()(C lnln)vvdqdepddTdsCR ddTRTTT111lnlnlnvppdsRdRdc dTT 在研究热力学过程中，最有意义的是熵的增量，即从状在研究热力学过程中，最有意义的是熵的增量，即从状态态1 1到状态到状态2 2的熵增。即的熵增。即如果如果

23、利用利用比热关系比热关系和和状态方程状态方程得到得到2221211211lnlnvTdqsssdsCRTT ,pvRCCpRT22211211lnvpdqsdsCTp 热力学第二定律指出热力学第二定律指出： 对于对于孤立系统而言，在绝热变化过程中，如果过程孤立系统而言，在绝热变化过程中，如果过程是可逆，则熵值保持不变，是可逆，则熵值保持不变， s=0 ，称为等熵过程；如果，称为等熵过程；如果过程不可逆，熵值必增加，过程不可逆，熵值必增加， s0。 因此因此，热力学第二定律也称为熵增原理。引入熵的概，热力学第二定律也称为熵增原理。引入熵的概念，就提供了判断过程是否可逆的标准和衡量不可逆程念，就提

24、供了判断过程是否可逆的标准和衡量不可逆程度的尺度度的尺度。 在在高速气体的流动过程中，不可逆是因气体的粘性摩高速气体的流动过程中，不可逆是因气体的粘性摩擦、激波的出现以及因温度梯度存在而引起的热传导。擦、激波的出现以及因温度梯度存在而引起的热传导。一般在绕流场的绝大部分区域速度梯度和温度梯度都不大，一般在绕流场的绝大部分区域速度梯度和温度梯度都不大，流场可近似视为绝热可逆的，熵值不变，称为流场可近似视为绝热可逆的，熵值不变，称为等熵流等熵流动动。一一条流线熵值不变叫做沿流线等熵，在全流场中熵值不变，条流线熵值不变叫做沿流线等熵，在全流场中熵值不变，称为均熵流场。在等熵流动中，有称为均熵流场。在

25、等熵流动中，有称为等熵关系，称为等熵关系， 为等熵指数。在边界层及其后的尾迹区，为等熵指数。在边界层及其后的尾迹区，激波传过的流动，气体的粘性和热传导不能忽视区，流动是激波传过的流动，气体的粘性和热传导不能忽视区，流动是熵增不可逆过程，等熵关系式不能用。熵增不可逆过程，等熵关系式不能用。CTp12Cp111CT6.1.4 6.1.4 粘性流体运动的能量方程粘性流体运动的能量方程1 1、热力学第一定理、热力学第一定理能量方程能量方程是热力学第一定理在运动流体中的表现形式。热是热力学第一定理在运动流体中的表现形式。热力学第一定理表示：单位时间内作用于系统上所有力对系力学第一定理表示：单位时间内作用

26、于系统上所有力对系统所做的功与单位时间内输入系统的热量之和等于系统总统所做的功与单位时间内输入系统的热量之和等于系统总能量的变化率。能量的变化率。即即其中，其中，Q为单位时间输入系统的总热量，包括热辐射和热为单位时间输入系统的总热量，包括热辐射和热传导；传导；W为单位时间作用于系统上所有力对系统所做的功为单位时间作用于系统上所有力对系统所做的功。作用力包括表面力和体积力。作用力包括表面力和体积力。dEQWdt2 2、能量方程推导、能量方程推导 在粘性流体空间中，任取一个微分平行六面体的流体在粘性流体空间中，任取一个微分平行六面体的流体微团作为系统，六面体为控制体，则该系统单位时间内总微团作为系

27、统，六面体为控制体，则该系统单位时间内总能量的变化率应等于单位时间作用于系统上所有作用力的能量的变化率应等于单位时间作用于系统上所有作用力的功与外界传给系统的热量之和。功与外界传给系统的热量之和。用用e表示表示单位质量流体所具有的内能，那么单位质量流体所单位质量流体所具有的内能，那么单位质量流体所具有的总能量（内能具有的总能量（内能+ +动能）为动能）为 单位时间内，微元流体系统总能量的变化率为单位时间内，微元流体系统总能量的变化率为22Ve22dEdVedxdydzdtdt作用于系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和系作用于系统上的力包括：通过控制面作用于系统上的表面力和系统上的质

28、量力。单位时间内，所有作用力对系统所做的功如下。统上的质量力。单位时间内，所有作用力对系统所做的功如下。 质量力功率：质量力功率：x方向表面力的功率：方向表面力的功率：1()WXuYvZwdxdydzf Vdxdydz 2 xxxxxxxyxyxyxzxzxzxuWudxu dydzxuudyu dxdzyuudzu dxdyz2yxxxzxxuuuWdxdydzxyz同理可得，同理可得，y和和z方向的功率为方向的功率为22xyyyzyyyzxzzzzvvvWdxdydzxyzwwwWdxdydzxyz总功率为总功率为 2222xyzWWWWV dxdydz yxxxzxxyyyzyyzxzz

29、zuuuVxyzvvvxyzwwwxyz单位时间内，外界传给系统的总热量单位时间内，外界传给系统的总热量Q包括热辐包括热辐射和热传导。令射和热传导。令q表示单位时间因热辐射传给单表示单位时间因热辐射传给单位质量流体的热量，总的辐射热量为位质量流体的热量，总的辐射热量为RQqdxdydz由由Fourier定理可得，通过控制面传给系统的热量。对定理可得，通过控制面传给系统的热量。对于于x方向，单位时间通过控制面传入系统的热量为方向，单位时间通过控制面传入系统的热量为 kxkxkxkxkxqQqqdxdydzxqdxdydzxTkdxdydzxxTkdxdydzxx 同理可得，同理可得，y和和z方向

30、的热传导量。方向的热传导量。单位单位时间内，总的热传导量为时间内，总的热传导量为kykzTQkdxdydzyyTQkdxdydzzz kkxkykzQQQQTTTkkkdxdydzxxyyzzk T dxdydz将以上各式代入将以上各式代入得到得到写成张量形式为写成张量形式为或或dEQWdt 22dVef VVqk Tdt 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxx,2iiiiijjiiiuudef uuqkTdt另外另外，如果用，如果用ui乘以运动方程，乘以运动方程，有有 （i,ji,j) )角标互换角标互换212222jiiiiiijjiiiiiiijijjjiijiiiiij

31、ijjijiiiiiijijijijjiiiijijiiduuf uudtxuuuudf udtxxuuuuudf udtxxxuuudf udtxuuudf udtx ijjiux得到得到另一种形式的能量方程。另一种形式的能量方程。 上上式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体式的物理意义是：在单位时间内，单位体积流体内能的变化率内能的变化率等等于流体变形时于流体变形时表面力作功表面力作功与与外部传入热量之和外部传入热量之和。其中，表面力作功。其中，表面力作功包括压力作功和剪切力作功，压力作功表示流体变形时法向力作膨包括压力作功和剪切力作功，压力作功表示流体变形时法向力作膨胀功，剪切力作功

32、表示流体运动是克服摩擦力作功，这部分是由于胀功，剪切力作功表示流体运动是克服摩擦力作功，这部分是由于流体粘性引起的，将流体部分机械能不可逆转化为热能而消耗掉。流体粘性引起的，将流体部分机械能不可逆转化为热能而消耗掉。 jijiiideTqkdtxx 2ijjiiiijijiiuuudf udtx 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxx将将代入能量方程代入能量方程利用广义牛顿内摩擦利用广义牛顿内摩擦定理定理可可得得其中其中， 耗散函数（耗散函数（剪切力作功剪切力作功）22232 232 23 mijijijijiimmiijijmiiiijijiiiiupxuupxxuupxxu

33、px 223mijijijmupx2223iijijiux 这样，能量方程也可写成为这样，能量方程也可写成为 说明，单位体积流体内能的变化率等于说明，单位体积流体内能的变化率等于法向力作功法向力作功、外加热量外加热量以及由于以及由于粘性而消耗的机械能粘性而消耗的机械能之和。由连续方之和。由连续方程，有程，有depVqk Tdt 11ddVdtdt 11dhdpdeddpepdtdtdtdtdtiiiiudeTpqkdtxxx 代入能量方程中，得到代入能量方程中，得到对于不可压缩流体对于不可压缩流体，有有pvpvdhdpqk TdtdtdhC dTdeC dTdTdpCqk TdtdtdTCqk

34、 TpVdt pvdTdpCqk TdtdtdTCqk Tdt 能量方程汇总：能量方程汇总：动量方程可得动量方程可得dhdpqk Tdtdt 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxxjijiiideTqkdtxx 2ijjiiiijijiiuuudf udtx 6.26.2声速和马赫数声速和马赫数.1在弹性介质中扰动的传播特征在弹性介质中扰动的传播特征 业已发现：凡是弹性介质，给它一个任意的扰动，这业已发现：凡是弹性介质，给它一个任意的扰动，这个扰动都会自动地向四周传播开来，而且只要扰动不是太个扰动都会自动地向四周传播开来，而且只要扰动不是太强，其传播速度是一定的

35、，不因为扰动的具体形式而改变强，其传播速度是一定的，不因为扰动的具体形式而改变。 声速声速实质上是实质上是微小扰动在弹性介质中的传播速度微小扰动在弹性介质中的传播速度。 现以一个质量球与弹簧系统说明之。设有现以一个质量球与弹簧系统说明之。设有一一个用质量球和弹簧连接的系统，球是刚性的，弹个用质量球和弹簧连接的系统，球是刚性的，弹簧是无质量的。有人用小锤轻击一下左边的小球簧是无质量的。有人用小锤轻击一下左边的小球。现在来观察这个系统的运动。现在来观察这个系统的运动。 第一第一个小球受击后向右发生微小运动，从而个小球受击后向右发生微小运动，从而压缩第一节弹簧，第一节弹簧受压后便产生了弹压缩第一节弹

36、簧，第一节弹簧受压后便产生了弹性力，这个力去推动第二个质量球，使第二个小性力，这个力去推动第二个质量球，使第二个小球产生向右的微小运动，从而去压缩第二个弹簧球产生向右的微小运动，从而去压缩第二个弹簧，依次类推，小锤的扰动由左向右一步一步，依次类推，小锤的扰动由左向右一步一步地传下去，直至最后一个球为止。在这个运动中地传下去，直至最后一个球为止。在这个运动中，需要区分小球的运动和扰动传递的关系。每个，需要区分小球的运动和扰动传递的关系。每个小球的运动是微小的，但扰动是通过弹簧由一个小球的运动是微小的，但扰动是通过弹簧由一个球一个球传递下去的，其传播速度与球的运动速球一个球传递下去的，其传播速度与

37、球的运动速度是完全是两回事。度是完全是两回事。分析分析这个系统的行为表明这个系统的行为表明：扰动扰动的传播速度与由扰动引起介质本身的运动速度是不同的传播速度与由扰动引起介质本身的运动速度是不同的的扰动扰动传播速度要比由扰动引起介质本身的运动速度大得传播速度要比由扰动引起介质本身的运动速度大得多多在在微小扰动下，介质的微小扰动下，介质的受扰速度受扰速度也是微小的，但微小扰动的传播也是微小的，但微小扰动的传播速度则是一定的，其值与介质的弹性和质量有关，与扰动的振幅速度则是一定的，其值与介质的弹性和质量有关，与扰动的振幅无关无关空气空气是一种弹性介质，在这种介质中任何一个微小扰动都会向四是一种弹性介

38、质，在这种介质中任何一个微小扰动都会向四面传播出去，当然传播速度决定于介质的面传播出去，当然传播速度决定于介质的状态状态声音声音是一种可闻扰动的传播，与不可闻扰动的传播速度是一致是一种可闻扰动的传播，与不可闻扰动的传播速度是一致的的 在不可压流中，微弱扰动传播速度在不可压流中，微弱扰动传播速度 a 是无限大，扰动瞬间将是无限大，扰动瞬间将传遍全部流场传遍全部流场 在可压流中，情况就不一样了。因为气体是弹性介质，扰动不在可压流中，情况就不一样了。因为气体是弹性介质，扰动不会在一瞬间传遍整个流场，扰动的传播速度会在一瞬间传遍整个流场，扰动的传播速度a不是无限大，而不是无限大，而是有一定的数值是有一

39、定的数值 。注意扰动的传播速度。注意扰动的传播速度 a 与介质本身的运动与介质本身的运动速度速度 dV 是两码事，一般情况下是两码事，一般情况下 dV a 音速音速: :微弱扰动在弹性介质中的传播速度，是研究可压流场的微弱扰动在弹性介质中的传播速度，是研究可压流场的一个很重要的物理量。音速大小只与介质物理属性、状态、波一个很重要的物理量。音速大小只与介质物理属性、状态、波传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具体原因无关。传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具体原因无关。a不可压介质：1adV弹性介质：.2微小扰动传播速度微小扰动传播速度声速声速 微小扰动在弹性介质中的传

40、递是以压力波的形式传播的，微小扰动在弹性介质中的传递是以压力波的形式传播的，其传播速度（声速）的大小与介质的弹性存在密切的关系，也其传播速度（声速）的大小与介质的弹性存在密切的关系，也是我们研究可压缩流场的一个重要的物理量。从前面的分析可是我们研究可压缩流场的一个重要的物理量。从前面的分析可知，介质的弹性好的，传播速度就小；弹性差的，传播速度就知，介质的弹性好的，传播速度就小；弹性差的，传播速度就大；对刚性物体（或在不可压缩流体），传播速度是无限大，大；对刚性物体（或在不可压缩流体），传播速度是无限大，此时扰动的传递是瞬间完成的。此时扰动的传递是瞬间完成的。 为了简单起见，用一维例子为了简单起

41、见，用一维例子处理。处理。假定有一根十分长的管子，管子左端有一个活假定有一根十分长的管子，管子左端有一个活塞。现将活塞以微小速度塞。现将活塞以微小速度dv向右推动，使管内空向右推动，使管内空气产生一个压缩的微小扰动。气产生一个压缩的微小扰动。这个扰动将以一定的波速这个扰动将以一定的波速a向右传播，在管道中向右传播，在管道中扰动以波阵面扰动以波阵面A-AA-A的形式向右推进。在波阵面右的形式向右推进。在波阵面右侧的气体未受扰动，其压强、密度、温度和速度侧的气体未受扰动，其压强、密度、温度和速度分别为：分别为： p、 、T、v=0=0；而在；而在波阵面左侧的气波阵面左侧的气体受到扰动后，其压强、密

42、度、温度和速度分别体受到扰动后，其压强、密度、温度和速度分别变为：变为： p+ +dp、 + +d 、T+ +dT、dv。由于扰动。由于扰动是微小的，因此有是微小的，因此有1 , 1 , 1 , 1 dpddTdvpTa为为便于分析，现采用一个相对坐标，观察者跟随波阵面一起便于分析，现采用一个相对坐标，观察者跟随波阵面一起运动，这时整个流动问题由原来非定常问题变成一个定常问题。运动，这时整个流动问题由原来非定常问题变成一个定常问题。这时波阵面不动，未扰气体以这时波阵面不动，未扰气体以波速波速a向左向左运动，气流不断越过运动，气流不断越过A-AA-A面进入扰动区，而受扰气流以面进入扰动区，而受扰

43、气流以a- -dv速度相对于速度相对于A-AA-A面向左流去。面向左流去。现围绕现围绕A-AA-A面取一控制体，由质量守衡方程得到面取一控制体，由质量守衡方程得到由由动量定理动量定理得到（向左为正）：得到（向左为正）：联解可得联解可得这就是声速的微分形式公式。说明气体扰动的传播速度决定于变这就是声速的微分形式公式。说明气体扰动的传播速度决定于变化过程中气体的化过程中气体的dp和和d 的比值。的比值。()()aAdadV AdVadaa-dVp,Tp+dp,+dT+dTppdpAaadVa AadVdp2dpad由于音速的平方与密度变化量成反比，即同样的压强变化由于音速的平方与密度变化量成反比，

44、即同样的压强变化量下，音速的大小反映了密度变化的小大，因此音速是介量下，音速的大小反映了密度变化的小大，因此音速是介质压缩性的一个指标。质压缩性的一个指标。由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或产生单位相对密度变化时）所需的压强变化量，所以弹性产生单位相对密度变化时）所需的压强变化量，所以弹性模量是反映介质压缩难易程度的指标。实际上音速可用弹模量是反映介质压缩难易程度的指标。实际上音速可用弹性模量性模量E写为：写为：即，音速越大，介质越不容易被压缩即，音速越大，介质越不容易被压缩 21/ 1/dpdpEadd 由于由于扰动变化微小、

45、速度很快，气体既无热量交扰动变化微小、速度很快，气体既无热量交换，也无摩擦产生，可认为是一种绝热等熵过程，换，也无摩擦产生，可认为是一种绝热等熵过程，此时压力密度关系为此时压力密度关系为对于海平面标准大气，对于海平面标准大气，R=287.053 =287.053 N.m/(/(kg.K) )，T=288.15=288.15K， =1.4=1.4，得到，得到: :对于水而言：对于水而言：pcpRTaRT1.4 287.053 288.15340.3am s922288.152.1 10999.11445TKEN mkg mam s.3马赫数马赫数( (222222,/MaaVVV

46、pddpa22222/2/2(1)(1) 22(1)vVVVMaRTC Ta 6.36.3高速一维定常流高速一维定常流6.3.1 6.3.1 一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程)2(2VpuddqCVh22CVPCVaCVRTCVTCTChpp21,2121,2,22222CpVCpCdpV12,2.2一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式02020002,2,TCVThVTCTChppp20211MaTT21210000000)211 ()(,MaTTPPTTpppp0102)1(0102211221122121ln) 1()()(

47、,)(lnppCsppppppCTdqdssvv0102pp1121001210020)211 ()()211 ()(211MappMaTTppMaTT111*0002*202220.833,()0.528,()0.63411120.8331TpTpaa0RT222*1211 2aVa*Va2222222200*222222*0022222222221(1)122112,111121aaaaVVMaaa a aa aMaMaMaMaMa611, 0maxMaT 一维等熵关系式可用速度系数来表达一维等熵关系式可用速度系数来表达 绝热能量方程用滞止音速可写为：绝热能量方程用滞止音速可写为： 用右端

48、同除式子，同时注意到右端还可表为总参数：用右端同除式子，同时注意到右端还可表为总参数： 从而绝热能量方程可写为：从而绝热能量方程可写为： 压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：12*11002RTha20111TT1100TT,100TTpp2*112122aVRT这这三个用速度系数表达的式子也称为三个用速度系数表达的式子也称为一维等熵关系式一维等熵关系式，其，其中第一式只要求绝热即成立。中第一式只要求绝热即成立。可见随可见随速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降的。的。 这些关系都做成了表格方便查阅。这些关系

49、都做成了表格方便查阅。)(11120TT)()111 (120pp)()111 (1120从而：从而：1.1.等熵管流的速度与截面积关系等熵管流的速度与截面积关系又一维定常流微分形式的连续方程是：又一维定常流微分形式的连续方程是：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式： 将音速公式将音速公式2dpad代入欧拉方程代入欧拉方程dpd 可得：可得： VV.3等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式2ddVMV 0ddVdAVA2(1)dVdAMVA发生音速处面积发生音速处面积 A

50、 有极值，从物理上可判断该处有极值，从物理上可判断该处A 应是应是极小值（反证）极小值（反证）亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积扩大则流速下降；超音速时情形则刚好相反。扩大则流速下降；超音速时情形则刚好相反。从式从式我们可以看出：我们可以看出：2(1)ddAMAVV0,0;10,0.0,0;10,0.1,0,dAdVMdAdVdAdVMdAdVdAMAA 上述截面流速与截面积变化规律的物理原因是：亚音速上述截面流速与截面积变化规律的物理原因是：亚音速时密度变化较速度变化为慢，而超音速时密度变化比流时密度变化较速度变化为慢，而超音

51、速时密度变化比流速变化快速变化快 亚音速时想增加流速，由连续方程亚音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应缩小。则截面积应缩小。 超音速时想增加流速，由连续方程超音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应放大。则截面积应放大。CAVCAV2ddVMV 由上已经看到，一维定常等熵流中密度由上已经看到，一维定常等熵流中密度的变化趋势与的变化趋势与速度速度V相反，其他气流参数（相反，其他气流参数（p、T）随速度）随速度V的变化趋势是的变化趋势是怎样的？怎样的？ 压强压强p变化趋势与速度相反变化趋势与速度相反 由微分形式的动量方程（欧拉方程）：由微分形式的动量方程（欧拉方程）： 将音速表达代入上式得：将

52、音速表达代入上式得： 温度温度 T变化趋势与速度也相反变化趋势与速度也相反 将上二式代入状态方程将上二式代入状态方程 可得温度比的关系：可得温度比的关系：VdVMpdp2TdTdpdp0VdVdp2. 2. 其它流动参数与截面积的关系其它流动参数与截面积的关系由这三个关系右端的系数可见，当速度增加时，由这三个关系右端的系数可见，当速度增加时， p、T 都是减小的，但都是减小的，但 p 减小最快，减小最快， 减小次之，而减小次之，而 T 减小最减小最慢（空气慢（空气1.41.4）。）。即：即：VdVMTdT2) 1( VdVMpdp2VdVMTdT2) 1(2ddM VV面积面积 减小减小 增大

53、增大 增大增大 减小减小 速度速度 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小压力压力 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大密度密度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大温度温度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大马赫数马赫数 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：3. 3. 拉瓦尔喷管或喷管拉瓦尔喷管或喷管 对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速加速到超音速，即始终保持加速到超音速，即始终保持 0 0，则管道应先收缩后，则管道应

54、先收缩后扩张，中间为最小截面，即喉道。扩张，中间为最小截面，即喉道。 即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速，之后继续膨胀加速，达到超音速。，之后继续膨胀加速，达到超音速。 一个喷管在出口截面产生一个喷管在出口截面产生 Ma1 1 的超音速气流的条件是：的超音速气流的条件是： 管道形状应成为拉瓦尔管形状管道形状应成为拉瓦尔管形状 在喷管上下游配合足够大的压强比在喷管上下游配合足够大的压强比 一一个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计 Ma 数而出口数而出口压强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态

55、。如果压强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态。如果上游压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波上游压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波。.4流量公式与面积比关系流量公式与面积比关系喷管喷管截面积与马赫数的关系可由如下的流量公式与面积比关系截面积与马赫数的关系可由如下的流量公式与面积比关系计算：计算：可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面积和可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面积和 q( () )AaVAm*)(0流量公式)(00qTAPCm )(2111212111100TAPR)(11200TAPRARTRTP12)(000C)(qq（）随

56、）随 变化的曲线如图，其特点是：变化的曲线如图，其特点是：0404. 0)(:常数其中,287R4 . 11211空气RC当当=1时，时，q（）=1=1；当；当=0 =0 和和= =max 时，时，q ( ()=0)=0； q ( () ) 等函数与等函数与的关系均已做成表格的关系均已做成表格( (附表附表4 4、5)5)，可方便查，可方便查读。读。 111( )()2q 流量函数还可用马赫数表达为：流量函数还可用马赫数表达为：流量函数：流量函数：)1(212)211)(12()(MMMq可得喷管中任一截面与喉道的面积比关系：可得喷管中任一截面与喉道的面积比关系：*( )AqA由管流的质量守恒

57、关系：由管流的质量守恒关系：利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处 （Ma）数，或）数，或根据根据 （Ma）数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道）数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道面积比。面积比。0*000)(TAPCqTAPCm由于流量函数由于流量函数 q( () )在在1 1 处达到极大值处达到极大值 q(1)=1(1)=1，因此，因此当喉道达音速时，下式规定了喷管的最大流量：当喉道达音速时，下式规定了喷管的最大流量：0*00*0max) 1 (TAPCqTAPCm例：有一个超音速风洞，试验段截面积为例：有一个超音速风洞，试验段截面积为0.6m0

58、.6m正方形，喷正方形，喷管是二维的（即等宽度管是二维的（即等宽度0.6m），试验段），试验段 Mt=2.0，上游安定段总压上游安定段总压p0=400kN/m2，T0=293K。试求喉道高度。试求喉道高度h*，试验段，试验段 pt、Vt、m t。解解：(1)(1)由由2.0tM查表或通过计算得查表或通过计算得(2)(2)(3)(3)mhqMqAAhhtt3556. 06 . 05926. 05926. 0)633. 1()2(*smRTMaMVKTTmNppttttttt/5 .51179.1622874 . 1279.1622935556. 0)633. 1(/12.514001278. 0

59、)633. 1(020skgqTAPCm/405.2015926. 02936 . 01040404. 0)(25006.46.4微弱扰动的传播区、马赫锥、马赫波微弱扰动的传播区、马赫锥、马赫波 物体在静止空气中运动时，不同的运动速度其物体在静止空气中运动时，不同的运动速度其对空气的影响范围、影响方式是不同的。所谓扰对空气的影响范围、影响方式是不同的。所谓扰动是指引起气流发生速度、密度、压强等变化的。动是指引起气流发生速度、密度、压强等变化的。业已知道，对于亚声速流场和超声速流场而言，业已知道，对于亚声速流场和超声速流场而言，扰动的传播和范围是不同的。扰动的传播和范围是不同的。 在一个均匀流场

60、中，扰源发出的小扰动均以在一个均匀流场中，扰源发出的小扰动均以声速向四周传播，其影响区有下面四种情况：声速向四周传播，其影响区有下面四种情况：1 1、静止气体（、静止气体（Ma=0Ma=0） ，V=0 =0 从某瞬间看，前从某瞬间看，前i秒发出的扰动波面是以扰源秒发出的扰动波面是以扰源O为中心、为中心、ia为为半径的同心球面。只要时间足够半径的同心球面。只要时间足够长，空间任一点均会受到扰源的影响，即扰源的长，空间任一点均会受到扰源的影响，即扰源的影响区是全流场。影响区是全流场。 2 2、亚声速气流、亚声速气流 ( (Ma1) Ma1Ma2Ma1，则有：所以则有：所以 2 1 ，这就是说，这就