立体几何核心知识点梳理

1、立体几何核心知识点梳理江苏省靖江高级中学 蔡正伟、考试内容1平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法2两条直线的位置关系；平行于同一条直线的两条直线互相平行；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离三垂线定理及其逆定3直线和平面的位置关系；直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质； 点到平面的距离； 斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角； 理.4两个平面的位置关系；平面平行的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质5（理科）空间向量共线、共面的充分必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量

2、的坐标表示， 空间向量的数量积， 空间向量的共线与垂直， 直线的方向向量与平面 的法向量，利用空间向量求立体几何中的角二、考试要求1掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 .2能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题 .对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆3会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图 .能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种

3、位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系4（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角三、考点简析1空间元素的位置关系空间由点，线，面 3 个元素构成，立体几何主要研究线和线，点和面，线和面，面和面 之间的关系 .两条直线关系包括相交， 平行， 异面；直线和平面之间的关系包括线在面内，线面相交（包括斜交和垂直），线面平行；面面关系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.2.平行、垂直位置关系的转化立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是相互依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是相互依赖.需要对每一种关系的判定定理和性质定理充分理解，证明过程中，需

4、要列出相应的条件，得出结论3.棱柱、棱锥、棱台，球等空间几何体空间几何体一般是最为考题的载体，需要熟悉各种几何体的定义.其中还会涉及一些几何体的体积和表面积的相关问题，尤其是四面体体积的求法4.空间元素间的数量关系(1)角相交直线所成的角;异面直线所成的角转化直线方向向量夹角；如果LT UUe1,e2分别是异面直线Ii,l2的方向向量，它们的夹角为，则cosLT LUe e2-LT-ee2当COS0时，异面直线ll,l2所成的角即为当cos0时，异面直线11,12所成的角即为直线与平面所成的角转化为直线的方向向量和平面的法向量夹角;如果e是直线TT TI的方向向量，n是平面的法向量，e与n的夹

5、角为 ，则cos-T-en.直线I与平面所成的角等于二面角转化成两个平面的法向量夹角.设二面角的大小为，另个平面的法向量LT LU分另U为Al，门2，COSLT LTLT1岛.因为二面角的取值范围是0，所以二面角与这两个平面的nin2法向量的夹角相等或互补，具体判断必须借助具体图形来确定（2）距离主要考点是点到面的距离，常用的方法有: 等体积法 构造恰当的四面体，利用四面体的体积换底算两面遍，求出相应四面体的高;(理科) 向量法一一利用平面法向量和直线方向向量夹角，解直角三角形.求平面的uju rAB nr.n斜线段，在平面的法向量上的射影的长度:四、典型例题解析例 i 女口图，在六面体 AB

6、CD AiBiCiDi 中，AAi / CCi, AiB = AiD,AB= AD.求证:(1)AAi丄 BD ；(2)BBi / DDi.分析：题目条件中有两个线段相等，即有两个共底的等腰三角形，自然想到取底 BD的中点，找到线线垂直，从而通过证明线面垂直来证明AAi丄BD.题目条件中的线线平行可以证明线面平行，利用线面平行的性质定理可以证明 BBi / DDi.解析：取BD的中点M,连结AM , AiM.因为AiD = AiB ,AD = AB,所以又 AM nAiM = M , AM , AiM?平面 AiAM ,所以BD丄平面AiAM.因为AAi?平面AiAM，所以AAi丄BD.BD丄

7、 AM , BD丄 AiM.(2)因为 AAi / CCi, AAi?平面 DiDCCi, CCi?平面 DiDCCi,所以 AAi / 平面 DiDCCi.又 AAi?平面 AiADD i，平面 AiADDin 平面 DiDCCi= DDi，所以 AAi / DDi.同理可得AAi / BBi,所以BBi / DDi.点评：(i)要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明.即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面.第二条思路用的较多， 要熟练，第一条用的较少,但也不能忘.(2)证明线线垂直也

8、主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理.面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学忽视例2如图所示，四边形 ABCD为矩形，AD丄平面ABE, AE = EB= BC, F为CE上的点,且BF丄平面ACE.(i)求证：AE丄BE;(2)设M在线段 AB上，且满足 AM = 2MB，试在线段 CE上 确定一点N，使得 MN /平面DAE.B分析：题目条件中出现线面垂直， 三条线段相等，在证明线线垂直时候一般证明一条线段垂直经过另一条

9、线段的一个平面.第二问是探索性问题，找点N使得过该点的直线和这个平面平行，也可找过该点的平面与这个平面平行，利用面面平行来证线面平行解析：（1）证明/ AD 丄平面 ABE, AD / BC,； BC丄平面 ABE，又 AE?平面 ABE，贝U AE丄 BC.又 BF丄平面 ACE,； AE丄BF,又 BFnBC= B；AE丄平面BCE , 又 BE?平面 BCE,； AE 丄 BE.解 在 ABE中过M点作MG / AE交BE于G点，在 BEC中过G点作GN / BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得 CN = 3CE.3/ MG / AE, MG?平面 ADE , AE?平面 ADE

10、 , ；MG /平面 ADE.同理，GN/平面ADE.又 GN nMG = G,；平面MGN /平面ADE.又MN?平面MGN , ；MN /平面 ADE.；N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.点评：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不 到符合题目结果要求的条件 （出现矛盾），则不存在.例 3 如图，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AA1 丄平面 ABC , AB= BC = AAi，且 AC = V2bC , 点D是AB的中点.证明：平面 ABC平面BiCD.勾股定

11、理证明线线垂直，这个是比较容易被忽视的分析：本题重点是寻找垂直的信息，AC=V2bc这个条件可以用解析：证明 / ABC AiBiCi 是棱柱，且 AB = BC= AAi= BBi,；四边形BCCiBi是菱形, ；BiC丄BCi.由 AAi 丄平面 ABC, AAi/ BBi, 得 BBi 丄平面 ABC. AB?平面 ABC ,； BBi 丄 AB, 又 AB= BC，且 AC = V2BC ,； AB 丄 BC ,而 BB1 ABC = B, BB1, BC?平面 BCC1B1, AB 丄平面 BCC1B1，而 B1C?平面 BCC1B1, AB 丄 BiC,而 ABQBCi= B, A

12、B, BCi?平面 ABCi.- BiC丄平面 ABCi, 而 BiC?平面 BiCD,平面ABCi丄平面BiCD.点评：其实证明面面垂直就是证明线面垂直，不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面,般方法是如果是要证明,那么就在内找一条直线I证明丨 ，或者在 内找一条直线a证明a如图，正三棱柱 ABC AB,Ci的所有棱长都为2，D为CCi中点.(1)求证：ABi丄平面A1BD ;求二面角 A AiD B的三角函数值；（理科学生研究）求点C到平面A1BD的距离.Ci（2 ）设AB1与A1B交于点G,在平面ABD中，作GF丄AD于F，连结AF，由（1） ABC为正三角形，AO丄BC .AB1连结B

13、1O ,在正方形BB1C1C中，O,D分别为BC, CC1的中点,分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力对于二面角的求法，可以先找后求，主要难点是在找的过程，这种求法目前已不做要求，有兴趣可以去研究思考.求二面角也可以用空间向量来求，这个在附加卷中可能会出现，文科学生不必深究了 解析：解法一：（1）取BC中点0 ,连结AO .Q正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCCi Bi ,AO _L 平面 BCC1B .日0 丄 BD , AB1 丄 BD .在正方形 ABB1Ai中，AB1丄AB ,AB1

14、丄平面ABD .得AB1丄平面ABD .AF丄AD ,/ AFG为二面角AAD B的平面角.AGAF在 AA,D中，由等面积法可求得 AF1又Q AG -AB1 42 ,sin/ AFG25J10所以二面角A A1DB的正弦值为-一4(3) ABD 中，BD AD 75, AB 242$ A|BDV6 ,BCD 1 .在正三棱柱中， A到平面BCC B,的距离为73.设点C到平面ABD的距离为d .11由 VA| BCD VC A1BD，得 3 SA BCD3A1BD gd，33返 va.2d 3SSa A|BD点C到平面A1BD的距离为至2解法二：（1）取BC中点0 ,连结AO .Q ABC

15、为正三角形，AO丄BC .Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC丄平面BCCiBi ,AD丄平面BCCiBi .取B1C1中点01，以O为原点，OoB, 0）051，OA的方向为X, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D( 1,1,0),Luur一 uuurAR(1,2, 两，BD ( 2,1,0),UULT UUUQ ABgBDUULT UUU uur UUTAB 丄 BD , AB1 丄 BA1 .ABi丄平面（2）设平面A AD的法向量为n(X, y, z).uLurAD ( 1,1,岛，Aa（0,2,0）.Qn 丄 AD , n 丄 AA：,uuurn

16、gAD 0,uuu ngAA 0,X y 73z2y 0,0,y 0，XJ3乙73,0,）为平面A AD的一个法向量.由（1）知AB丄平面ABD ,uuur出卫笛AB1为平面A BD的法向量.ruuircos n , abuuur ngAB ,.luuir |n igAB12必面角AA D B的大小为arccos64（3）由（2）, ABr为平面ABD法向量,uluuurLQBC ( 2,0,0), AB (1,2, 73).点C到平面AiBD的距离duLur uuurBCgAB,=uuur=ABI 2| 返.242 2点评：本例中（3）采用了两种方法求点到平面的距离 .解法二采用了平面向量的计算方法,K到平面AMB1的距离的计算这种方法可以避免复杂的几何把不易直接求的B点到平面AMB1的距离转化为容易求的点方法，这是