华罗庚难题的多种答案

1、 . .页脚. 华罗庚难题的多种答案 和分角定理 作者:高春阳 一 “不可能”一词的作用是反面指导 二十世纪五十年代，华罗庚教授提出:用圆规直尺三等分任意角和步行上月球一样是不可能的。 就因为三分角难题是由华罗庚提出来的，中国人把它叫做“华罗庚难题”或“华庚数学发展计划”都是无可非议的。但却有人造谣说“华罗庚否定了三分角” ，并以此为由对三分角答案不鉴定对和错，就给予“毁稿”或“退稿” 。这股子反科学势力不可等闲视之。 否定论不能成立的理由如下： 第一 所有的否定词都和“”号一样，只能用来否定错误，不能用来否定正确。这是因为否定错误是指导改正的意思，这是反面指导。和肯定正确从正面指导的作用是一

2、致的，所以同样是科学。如果用来否定正确，这就和肯定正确明显的截然相反了，所以是反科学。如果自己不知道否定词的用法，就是自己糊涂，没知觉。华罗庚明明是聪明绝顶的数学家导师，怎么会成了糊涂透顶对正确答案也要否定的反科学者呢？大脑还没失灵的人们不觉得可疑吗？ 第二 三分角答案是近几年交上来的，毁稿退稿事件只能是现代人干的.硬说华罗庚五十年前否定了它，这和现 . .页脚. 代人被杀硬说凶手是两千年前的秦始皇岂不一样荒唐么!仅凭否定和提出这两事之间的年代差距就足已说明华罗庚不可能是正确答案的否定者。 第三 难题中明显地摆着“一样”两字。请问否定论者：“你说宇宙飞船上月球的事實也一样地被华罗庚否定了呢？还

3、是上月球的事实推翻了华罗庚的先知预断呢？也许你已经觉察到这两种说法都像是自己在诬陷华罗庚不够教授导师资格。所以又改为第三种说法：只否定了三分角（没否定上月球） 。哪知这最后的说法恰好又是自己推翻了原题中的“一样” 。就因为否定论的三种说法都像是仇敌故意和华罗庚势不两立。找不出半点一致的见解来。所以否定论不成立。 第四 如果不想让人研究解答，最好的办法是不提，不让人想到此事。既然问题被提出并引起了讨论研究热潮，再加上一百个否定词也没法杜绝个别爱好者的研究兴趣。这就是说，提出的目的绝对不是否定。如果提出的目的是为了否定，这不正好是“此地无银三百两”的笑话中被讥笑的两个写字条者么！ 表面看来，先提出

4、难题然后再否定，和先埋下银子然后再否认有银的形式是一样的，但本质并不一样。埋银者否认有银，是为了隐瞒埋银。无银字条恰好暴露了有银的事实。这种自相矛盾弄巧反拙当然是笑料。华罗庚提出难 . .页脚. 题的目的，是希望有人研究它，他的否定恰好达到了自己的目的。这不仅没有可笑之处，反而值得颂扬. 答题者探索到答案和王二挖到银一样并不是因为自己聪明. 而是因为自己爱好猜想和实验。也有人放弃了答题，并不是自己不聪明，而是因为自己不爱猜想和实验。至于有人认为是不准研究，那是由于他只爱猜想不爱实验，反而把自己的猜想硬加到华罗庚身上造成的。就因为这种“以己度人的错误世界观，才使指导研究的导师蒙受了“阻碍研究”的

5、不白之冤。这正好是为了隐瞒挖银而否定埋银的反事实者。 由此可见，否定者和提出者是仇敌关系。若不明白就是自己没知觉 第五 难题中明摆着“用圆规直尺”和“步行”等字。如果没这些字，还有点像是否定“三分角”和“上月球”这些目的。没有了奋斗目的,当然就得停止探索停止前进。这就是消灭了科学。但事实上偏偏有这些字。这就不再是否定目的，而变成了否定方法。只要保留着目的，方法被否定了还可以改换另外一种方法，继续探索前进。这种在没路可走没法前进的情况下自我改变想法创造新路的思想就是科学；不肯自变停止探索放弃前进的就是不科学；不仅不肯自变而且又阻止或反对他人自变的，就是反科学。现实中的否定论者没发现错误就给予否定

6、，能说不是反科 . .页脚. 学么/？ 第六 专讲占卜先知用来指导生存革命的古书易经提出：“穷（不通）则变，变则通，通则久” 。这是易经一书的中心思想。全句的意思是：如果自己行不通想不通，就应当改变自己的想法(知觉认识）做法（行为计划） ，重新实验。经过反复多次的自验自改、自改自验，总会有找到自己行得通、想得通的时刻。这时自己思想中的知觉概念认识，就是能够长期用来指导自己生存革命的真知（觉） 、真理（解） 。现代毛泽东的实践论一书中介绍的“穷则思变”和“实践检验原理,正是七千年(大约公元前五千年)前,伏羲氏“观天察地”研究客观实际时代传承下来的，依靠“实践自验”就能产生自知之明（破了无知迷信）

7、和先见之明（先知先觉、指导思想）的“穷则思变”方法。这说明“穷则思变”就是人世间“最古老而又最先进的”科学思想。 第七 易经又提出：“顺天命则昌，逆天命则亡。”这就是对生存革命的总体指导原则。其中顺字，即顺应，切合。逆字，即违背，不切合。天字，即自然。命字，即必然规律，生旺衰灭的波浪式规律，包括因果必然条件必然步骤次序必然。用马克思主义的术语来解释就是：主观的办事方法计划切合了客观的事物变化规律，就一定能取得成功、取得昌盛；违背了客观规律，就一定遭到失 . .页脚. 败、遭到灭亡。科学两字的字义，就是为生存革命服务的分科专业学术。几何作图的每一步骤都注明是根据那条定理定律做的，这正是接受指导的

8、结果。 实践论中讲到的：切合实际为正确；不切实际为错误。这一实践标准，正好和易经占卜术的指导相一致。其中正确、成功、昌盛，是从正面指导；错误、失败、灭亡，就是对不切实际者的否定，就是从反面指导。否定错的和肯定对的同样有利于生存革命，所以同样是指导。但是否定论者不分青红皂白对正确的东西也要一起否定，这就消灭了生存和革命，所以否定论是和科学势不两立的反科学。 比如 在国家大家庭中，领导人讲政策法令，就是正面指导。法官对杀人犯判死刑，就是反面指导。两者的作用同样是，指导属民自己把自己控制在利己不害人的道德范围之内，正好形成了正常的生存革命秩序。如果按否定论绝对化的观点，就得把全国人不分青红皂白一律判

9、死刑，这不仅消灭了自强自旺的正常革命行为，而且连生命存活都消灭了。所以自己是反科学的误解。再如，在个体小家庭中，大人教育幼儿的时候常说：“不准随地大小便” 。这就是反面指导。若按绝对化了的否定论，把“随地”去掉，误解为“不准大小便” 。同样是不准人们正常生活。所以否定论不能冒充科学。例 3“此路不通”之所以常常被用做指路标，是因为“此路不通他路通，此法不可能他 . .页脚. 法有可能”这是常理，他有指导行人另找新路另想新法的意思。同理，华罗庚在用“规尺”和“步行”的思路上插了“不可能”通的路标，正是从反面指导后人“另找通路或者另加条件”的意思。 第八 易经又说“仁者见之谓之仁，智者见之谓之智”

10、 。含意是对同一事物，由于人们各自的世界观与他人不同，也就产生了不同观点。现实中同样是对待华罗庚的难题,有人说指导了研究；有人说否定了研究，正是由世界观不同造成的。乍看起来，似乎双方都是以己度人，但是揣度得是否和被揣度者一致，就得靠自知知觉来决定了。实践自验就是破除迷信产生自知知觉的唯一方法。 第九 宇宙飞船登月的成功，确实不是只靠的步行；三分角答案的成功，也确实不是只靠的规尺。两者一样地证明了华罗庚的预言占断指导是正确的。 总而言之，不管从理论还是从实践，两个方面都充分证实了，华罗庚难题中的“不可能”一词，并没否定三分角的研究，而是从反面指导了研究。它对难题的提示指导是：要多动脑想新法和多动

11、手实验（不要只靠规尺） 。因为人有两件宝，双手和大脑。这和毛泽东强调“思想第一”的辩证唯物论的思想指导正好一致。 二 难题答案的磨难经历 早在 1978 年，笔者就探索出第一种作图方法。答案多 . .页脚. 次寄出，总是石沉大海渺无音信。后来访问了几个大学生才知道，据说是因为“华罗庚否定了三分角” ，各家报刊杂志一律不受理三分角稿件。大概是投进废纸篓了，没人管你对和错。因为没人敢推翻华罗庚的意见。 这股子强大阻力逼得笔者走投无路。不仅没有躺倒不起，反而激起了越难越钻的研究兴趣。直到 1998 年的二十年间，竟然探索出十八种不同的答案。其中专用工具法一种，内外角关系法九种，直角尺法两种，商除法一

12、种，平行线法一种，解析几何法两种，三角函数公式法两种。也许还有另外的作法，但笔者结束了探索。是因为意外地求得一个分角公式，也可以叫“分角定理” 。对已知角的任意等份都可以随手分成，应该结束了。 在华罗庚提出难题的短时期内，就掀起了全国各大中学校普遍参与的研究热潮。这当然是一项极大地人才浪费。华罗庚赶紧说：不要钻牛犄角尖了，再钻也是枉费心机。从“牛角尖”和“枉费心机”看，明显地是指否定了那些，只拿着规尺不划图的和想用量角器或钟表盘的，等等错误行为。但是，那些科学概念不够稳固的学生逐渐倾向了否定论的一边，自愿放弃了研究，从而使热潮消退了。只剩下极少数不攻克难题就吃不好饭睡不好觉的兴趣特浓者，不声不

13、响的私下持续研究了。由此看来，以否定代替肯定从反面进行指导的办法，正是华罗庚为了既要选拔到爱钻 . .页脚. 难题者又不会造成人才浪费，并且还能够使世界观不同的两类人自行分开而特意设计的巧妙考题。这说明华罗庚的被人误解是他在提出难题之前就自知自愿的。所以他一定不想追究否定论者造成的名誉损失责任，只要能认识到自己的错误就行了。 华罗庚明知道自己一定会被人误解却偏要这么做，可说明两点:,一是说明华罗庚为发展数学不计较个人名利得失的好思想是真实的。另一点是他深知自己的反面指导一定能选拔到攻克难题者，也一定会有明白自己内心世界的知心朋友替自己做好鉴定验收工作。误解只是暂時的，只要鉴定一出，报刊上出现了

14、华罗庚难题破解成功的新闻消息，否定论自然就会舌硬声噎了。 知心朋友一定和华罗庚一样在没见到正确答案之前，不能道破天机。因此笔者不知道他是谁，也不知道他在哪里，没法取得联系。被拍无奈，只好在十八种方法中先拿出两种发表在网上，让广大网友共同看一看，答案中的三分之一角是不是真正的三分之一。希望广大网友多提意见，畅所欲言。能代替华罗庚做鉴定的知心朋友自然就容易出现其中了。 欢迎网友多多批评，各抒己见 笔者 2012 年 12 月 三 难题的解答对象 . .页脚. 任意角包括直角、钝角、锐角，通常写作看 k+2 或者 k90+。其中 k 是整数。 是 0到 90之间的弧长 当 =0 时，若 k=1 则表

15、示直角。 若 k1 则表示多个直角。 当 0 时，若 k0 则表示钝角。 若 k0 则表示锐角。 所以，k+ 或 k90+ 可以表示任意角。2由此可知任意角的三分之一就是：是 k+ 或 k30+633 30（即）角的作图方法,中没讲；三 *3角学中没讲；解析几何中也没讲。因此， “三等分角”就成了举世闻名的数学难题。这就是华罗庚难题所要解答的对象。 用数学语言的形式表达出来，就是： 已知:AOB 是小于 90的角， 求做：AOB13 提示：要多动脑想新法（不要只靠园规直尺） 。 四 难题的多种答案 . .页脚. 第一法 专用工具法 专用工具，顾名思义，就是专门为三等分任意角而设置的工具。有了它

16、就可以轻而易举地做出已知角的三分之一。另外，也可以用它来检验已经做成的三分之一角是否正确。因此，该工具取名叫做“三分角器” 。 三分角器的制作简便，人人可做，因此可以自制。 （一）三分角器的制做设计原理 三分角器是由两条等长的短尺和两条带滑槽的长尺，并由两个固定轴和两个滑动轴连接为一体而成的。详情可参看图 1 图中 MN 和 AP 分别是带滑槽的长尺。OB 和 OC 分别是短尺。 AB=OB=OC B 和 O 两点是固定转轴。A 和 C 两点是滑动转轴。 A 可沿着 MN 尺上的滑槽滑动。C 可沿着 AP 尺上的滑槽滑动。 （二）三分角器的使用方法 一手捏者 A 轴，另一手捏着 C 轴，轻微用

17、力推拉。三分角器上的各角就随着变动起来。当CON 的大小正好等于已知角时，BAO 就是已知角的.13 （三）证明 在BAO 中 因为 AB=OB 所以BAO 是等腰三角形。 因为 等腰三角形的两底角相等， 所以BAO=BOA 设BAO= 因为三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和， 所以 CBO=BAO+BOA =+=2 同理，因为 OC=OB BCO=CBO=2 CON 是CAO 的外角 . .页脚. 所以 ，CON=BAO+BCO =+2 =3 也就是 CON=3BAO 两边同时除以 3 即得 CON=BAO 三分之一角得证13 第十五法 解析几何法（一） 利用三分角曲线做图 一 定义：一

18、个动点，它到某一定点的距离，正好是它到某一定直线距离的2 倍。这个动点的轨迹就叫做“三分角曲线” 。 在解析几何中曾讲过“抛物线” ，其定义是：一个动点，它到某一定点的距离，正好和它到某一定直线的距离相等。这个动点的轨迹就叫做抛物线。 我们把这两条曲线放在一块做比较，可以明显地看出：抛物线上两个距离是相等的，是 1：1 的关系；三分角曲线上两个距离是不等的，是 2:1 的关系。由此看来，三分角曲线不是前人讲过的东西，而是新发现。 三分角曲线是否真的存在呢？需要证明。 二 分析：请看图 15. 拿起直尺，划出横线 MN。放下直尺，再拿起圆规，在直线 MN 上任意选一点 O 为园心，任意长为半经画

19、园弧交 MN 于 A。 再调整圆规间距，以 A 为起点截取三段圆弧。以三段圆弧的总长小于（90）2为准。第一段为，第二段为，第三段为。ABBCCD . .页脚. 用直尺连接 DB。再用圆规和直尺做 BHON,，H 为垂足;。做 DEON,，E 为垂足。 因为,是用同一园规间距量截的，,同一间距就是等长的弦。ABBCCD 弦长相等所对的弧长和圆心角也相等。 所以 AB=BC=CD AOB =BOC =COD DOB=2AOB 或者 AOB=DOB12 由三角学知识可知： BH 即是 B 点到 MN 的距离，也是AOB 的正弦 Sin . DB 即是 B 点到 D 点的距离，也是两个 角的两个正弦

20、，故写做 2Sin . 由此可见，B 点到 D 点的距离,正好是它到直线 MN 的距离的 2 倍。 因为 3 角是 0到 90之间的任意角，它就有也许变大也许变小的可能。又因为此法是以 3 角的正弦为标准来求得半径长度，从而来确定角大小的， 所以， 也就出现了 B 点到 DE 之间距离可大可小的变化性质。 当 3 达到时（90） ，,B 点到 DE 的距离最大，半径最小。2 当 3 从大变小时，由于弓弦和弓背之间的距离（即正矢）缩短，DE 和 BH 都会向着接近 A 的切线靠近。仅仅是速度快慢不同。 当 3 小到 0时，DE 追及了 BH，和过 A 点的切线合成了同一条直线，也就是 B 点在DE 上。 就因为 BH 和 DE 的间距是大小可变的，才可以把 B 点看做动点，点动成线当然就会出现轨迹。 所以 三分角曲线是确实存在的。 三三分角曲线的画法和用法 图 16 中AOB 是已知角，AB 弧是已知角所对的圆弧。 求做：AOB31 做法： . .页脚. （1）在 A 点钉上一个小园钉 在木质直角尺的近直角顶点处也钉上一个小圆钉。把长