高一平面向量知识点与考点全集

1、第八章 平面向量知识网络向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离第1讲 向量的概念与线性运算 知 识 梳理 1平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有_大小又有方向_的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的_长度_表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.特别提醒： 1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的

2、方向不确定.3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b特殊情况： 对于零向量与任一向量a，有 a a a（2）法则：_三角形法则_，_平行四边形法则_（3）运算律：_ a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减

3、法.已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1) 表示a - b强调：差向量“箭头”指向被减数2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a +(-b) (-b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一abc a - b = a + (-b) a - b3.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的

4、方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a， （+）a=a+a， （a+b）=a+b.特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2) 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.向量 重 难 点 突 破 1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算3.重难点：.问题1: 相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（

5、共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b0才是正确的.而当b=0时，ab是a=b的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相

6、等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且；解题思路：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，

7、可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述

8、：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与

9、不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.考点二: 向量的加、减法题型1: 考查加加、减法运算及相关运算律例2 化简解题思路：考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一（统一成加法）=解法二（利用）= = =解法三（利用）设O是平面内任意一点，则=【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律 题型2: 结合图型考查向量加、减法例3 (2009)在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C DBCAP5-1-

10、2解题思路： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.故【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行【新题导练】3若32，3，其中，是已知向量，求，.解析：记32 3得得11. 将代入有：4如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，ABCDE解析： =+ = 3a+2b，因D、E为的两个三等分点，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab考点

11、三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例4 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值解题思路：证明存在实数，使得解析：, 使得例5 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1解题思路： A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数，使得=很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用 = 来转化，以便进一步分析求证解析：证明 充分性，由=mn， mn=1， 得 =mn（） =（mn）n=n， =nA、B、C三点共线必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数，使得=， 即

12、+=（+）=（1）=（1），m=1，n=，mn=1， =mn【指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识2、这是一个重要结论，要牢记。题型2: 用向量法解决几何问题 例6 已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4 解题思路：由平行四边形的对角线互相平分和相等向AODCB量的定义可得。解析：证明：E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4【指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应

13、注意进行向量语言与图形语言的互译【新题导练】5已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_.【解析】如图, 、t（+）三向量的终点在一直线上,5-1-3存在实数使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共线，t=0且t=0 解得t=6向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形。证：如图： 又由已知 ，故AB与DC平行且相等，所以ABCD是平行四边形。基础巩固训练1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量

14、都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）2. 在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或4D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、45已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D

15、三点共线 6若则向量的关系是（ ） A平行 B重合 C垂直 D不确定ABCD 综合拔高训练7如图，已知，用表示，则（ ）A B CD答案：B解析：8已知+=，-=，用、表示= 。答案： 9已知，且，试求t关于k的函数。答案: 10如图，在OAB中，AD与BC交于M点，设，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。求证：。 第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 知 识 梳理 1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_不共线_不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数1，2使=1+2特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示

16、这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量2平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3

17、平面向量的坐标运算（1） 若，则=，= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中 ()的充要条件是 重 难 点 突 破 1.重点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2.难点：用坐标表示的平面向量共

18、线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3.重难点：（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种问题1：和= (3,4)平行的单位向量是_；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，)或(，)BCAOMD 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 平面向量基本定理题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量例1 在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示. 解题思路：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向

19、量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设=m+n，则,点A、M、D共线，与共线，m+2n=1. 而，C、M、B共线，与共线，ABCQRP，4m+n=1. 联立解得:m=，n=，例2 已知是所在平面内一点,的中点为,的中点为,的中点为.证明:只有唯一的一点使得与重合.解题思路：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示.解析： 证明设，则 ,由题设知: 由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、

20、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2BACPNM答案：D 2在ABC中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN与CM交于点P,且,试 用表示.解： AMAB =13, ANAC =14,， ， M、P、C三点共线，故可设，tR , 于是， 同理可设设，sR , 由得 ，由此解得 ， 考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算例3 已知A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）

21、且,求点M、N的坐标及向量的坐标.解题思路： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析： A（2，4）、B（3，1）、C（3，4） =3（1，8）=（3，24），=2（6，3）=（12，6）设，则因此 得，同理可得，=（90，220）=（9，18）【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。【新题导练】3 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 答案：(-3,-3) 解：-2=（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-

22、1, -)考点三: 向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例4 （广东省高明一中2009届高三月考） 已知向量，若，则锐角等于（ ）A B C D解题思路： 已知a、b的坐标，当求a/b时，运用两向量平行的充要条件x1y2x2y1=0可求值解析：B 解：，故选B【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到【新题导练】5若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0 x= 与方向相同 x=6

23、已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。解：(1) =(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，；若P 在y轴上，只需1+3t=0，；若P在第二象限，只需 (2)若OABP为平行四边形，则由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形。 抢 分 频 道 基础巩固训练1. （广东省惠州市2009届高三第二次调研考试）设平面向量，则（ ）A B C D 答案：B 解析：2. （广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）在中，若点

24、满足，则( )A B CD答案：A 解析：由，3已知a=（1，2），b=（3，2），当ka+b与a3b平行，k为何值（ ）A B C D 答案：C解析： 由已知a=（1，2），b=（3，2）， 得 a3b=（10，4）， kab=（k3，2k2）因（kab）（a3b）， 故10（2k2）4（k3）=0 得k=4（广东省黄岐高级中学2009届高三月考）如图,线段与互相平分,则可以表示为 ( ) A . B. C. D. 答案：B 线段与互相平分，所以=5 如图，设P、Q为ABC内的两点，且， ，则ABP的面积与ABQ的面积之比为( )A B C D 答案：B 解析如图,设,则由平行四边形法则知N

25、PAB，所以=，同理可得。故,即选B.6（2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学（理 科）如图，在中，已知， A BC H M于，为的中点，若，则 . 答案： 解析：，所以BH=1，为的中点，所以综合拔高训练7（广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）已知向量，则的最大值为 答案：2 解析：.8(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量，若不超过5，则的取值范围是答案： -6，2 解析： =解得的取值范围是-6，29已知,当实数取何值时,2与24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一实数使2=24）将、的坐标代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得=

26、 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0与不共线， = 110已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且 =t（1） 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？（2） 当t取何值时，点P在y轴上？（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由解：（1）由= t可得 = t，又、都过A点，故A、P、B三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）=（13t，23t），若P在y轴上，则13t=0，t=.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可能为平行四边形，若用 = 可列方程组，但方程组无解.第3讲平面向量的数量积 知 识

27、 梳理 1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则_AB（）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq_叫与的数量积，记作，即有 = |cosq特别提醒：（1） （）.并规定与任何向量的数量积为0 （2） 两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1) = =|cosq；2) = 03) 当与同向时， = |；当与反向时， = -| 特别的 = |2或4) cosq = ；5) | |3“投影”的概念：如图 定义： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投影特别提醒：投影也是一个数量，

28、不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|4 平面向量数量积的运算律交换律： = 数乘结合律： () =() = ()分配律： ( + ) = + 5平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以 6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：设，则8.两向量夹角的余弦（） cosq = 重 难 点 突 破 1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决

29、有关问题；2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 3.重难点：.(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，=0(不是零向量，注意与=(R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2: 表示方法的区别 数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)问题3:相关概念及运算的区别 若a、b为实数，且 ab=0，则有a=0或b=0，但=0却不能得出=或=因为只要就有=0，而不必=或= 若a、b、cR，且a0，则

30、由ab=ac可得b=c，但由=及0却不能推出=因若、夹角为1，、夹角为2，则由=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图) 若a、b、cR，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、，则()与()都是无意义的，这是因为与是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的同时，()()，这是因为数量与向量相乘是与共线的向量，而数量与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的这就是说，向量的数量积是不满足结合律的 若a、bR，则|ab|=|a|b|，但对于向量、，却有|，等号当且仅当时成立这是因为|=|cos|而|co

31、s|1 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：平面向量数量积的运算题型1. 求数量积、求模、求夹角例1 ；解题思路： 直接用定义或性质计算解析： 例2 解题思路： 考虑公式cosq =。解析： 【名师指引】注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题例3 若非零向量、满足，证明: 解题思路： 只须证明。解析： 证明由得:展开得:,故例4 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值解题思路：注意分情况计论 解析：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当B = 90时，=

32、0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C= 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =【名师指引】是一个常用的结论。【新题导练】1（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）已知向量，若，则（ ） A B C D答案：D解析： 解得2执信中学2008-2009学年度高三数学试卷知为的三个内角的对边，向量若，且，则角的大小分别为（ ）AB C D答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考点2 利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围例5已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C.

33、 D.解题思路：要求两向量夹角的取值范围,可先求cos的取值范围.解析：由关于的方程有实根，得:.设向量的夹角为，则cos=,又，.答案 B.【名师指引】要求两向量夹角的取值范围,可先求cos的取值范围.【新题导练】3设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围 解析 ，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是4已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 答案：或且解析：与的夹角为锐角即且，可得或且 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 2009年广东省广州市高三调研测试数 学（理 科）已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值

34、为 A B C D答案：B解析：2.（广东省深圳市2009 届高三九校联）已知，和的夹角为，则为 （ ）ABCD答案：C 解析：，又可得=3广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理) 内有一点,满足,且.则一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形答案：D解析：为重心，由可知一定是等腰三角形4广东省恩城中学2009届高三模拟考试（数学理）在ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：由可得即所以角A=5广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试己知向量，与的

35、夹角为60，直线与圆的位置关系是 （ ） A相切 B相交 C相离 D随的值而定答案：C解析：与的夹角为60所以圆心到直线距离为故选C6广州市海珠区2009届高三综合测试设是边长为1的正三角形, 则= . 答案： 解析：=综合拔高训练7广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试（数学理）已知(1, 3)，(2, 1)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若(k)(2)，则k 答案： 解析：k=（2k，3 k1），2=（5，5）所以(k)(2)=0可得k=8（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）设平面上向量与不共线，（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试（数学理）设平面上向量与

36、不共线， （1） 证明向量与垂直（2） 当两个向量与的模相等，求角解析： （1）（2）由题意：得：，得又 得或9（广东省五校2009届高三上学期第二次联考（数学理）设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;解：（）解法一：易知,所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以设，则10广东省恩城中学2009届高三上学期中段考试（数学理）在ABC中，已知 (1)求AB边的长度；(2)证明：；（3）若,求解：（1） , 即AB边的长度为-4分(2)由 得- 即-6分由得, 由正弦定理得-9分(3) ，由（

37、2）中得由余弦定理得=-14分第4讲 平面向量的应用 知 识 梳理 1 利用向量处理几何问题的步骤为：（1） 建立平面直角坐标系；（2） 设点的坐标；（3） 求出有关向量的坐标；（4） 利用向量的运算计算结果；SF（5） 得到结论.2.平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（6） 那么力F所做的功： W= |F| |S| cos. 3 重要不等式：特别提醒： 常用于求参数的范围 重 难 点 突 破 1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向. 2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3.重难点：.

38、 1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量；3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路5认识事物之间的内在联系；6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：平面向量在平面几何题型1. 用向量证明几何题例1 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证ACBD 解题思路：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件解析：证法一：，（）（）22O证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a

39、，b)，C（c，O）则由ABBC得a2b2c2（c，O）（a，b）（ca，b），（a，b）（c，O）（ca，b）c2a2b2O 即 ACBD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.解析 设= b，= a，则=+= b+a, =b+aA, G, D共线，B, G, E共线 A B C E F D G可设=，= ,则=(b+ a)=b+a,= = (b+ a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-)

40、 a + (-+)b = 0 a, b不平行，2已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.解析 由已知得，化简得,这就是动点P的轨迹方程.考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型1: 与函数综合题例2 广东省华南师大附中2009届高三综合测试（数学理）为的内角A、B、C的对边，且与的夹角为，求C；解题思路： 考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解析： ，又 ， 例3 广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式； 解题思路： A、B、C三点共线，解析： A、B、C三点共线，3分【名师指引】涉及与三角综合的题

41、目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，【新题导练】3 广东省高明一中2009届高三月考（数学理） 已知向量，则向量与的夹角为（ ）A B C D答案：A 解析：又所以选A4广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量 与的夹角为，求角B的大小解：由题意得：，即0B|a| B s|a| C s=|a| D s与|a|不能比大小答案：A 2. 已知，点C在内，且，设 ，则等于（ ）A B3 C D答案B ，ABC为直角三角形，其中 即 故本题的答案为B3. (2008广东省实验中学高三第三次阶段考)在ABC中，已知向量，则ABC为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形答案： D 解析非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形4. 在AB