1.3.1正弦函数的性质-ppt课件

1、1.3.1二正弦函数的性质二正弦函数的性质 由正弦函数由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有还有以下重要性质以下重要性质. (1)定义域：定义域：正弦函数正弦函数y=sinx的定义域是实数集的定义域是实数集R或或(，)，记作：记作：ysinx，xR.(2)值域值域: 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线分布在两条平行线y=1和和y=1之间，所以之间，所以sinx1，即，即1si

2、nx1, 也就是说，正弦函数的值域是也就是说，正弦函数的值域是1，1.正弦函数正弦函数y=sinx,xR2当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数时，正弦函数取得最大值取得最大值1；2当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦时，正弦函数取得最小值函数取得最小值1(3) 周期性周期性: 由由sin(x2k)sinx (kZ)知：知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量得的。当自变量x的值每增加或减少的值每增加或减少2的整数倍的整数倍时，正弦函数时，正弦函数y的值重复出现。在单位圆中，当的值重复出现。在单位圆中，当角角的终边饶原点转动到原处时，正

3、弦线的数量的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量长度和符号不发生变化，以及正弦曲线连长度和符号不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。示。这种性质称为三角函数的周期性。 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非零常数零常数T，使得当，使得当x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时，都有都有f(xT)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周期就叫做周期函数，非零常数函数，非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期 由此可知，由此可知，2，4，2，4，

4、2k(kZ且且k0)都是正弦函数的周都是正弦函数的周期期 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做正数就叫做f(x)的最小正周期。的最小正周期。留意：留意：(1) 周期函数中，周期函数中，x定义域定义域M，则必有，则必有x+TM, 且若且若T0，则定义域无上界；，则定义域无上界；T0则则定义域无下界；定义域无下界；(2) “每一个值每一个值”，只要有一个反例，则，只要有一个反例，则f (x)就就不为周期函数如不为周期函数如f (x0+T)f (x0)）；）；(3) T往往是多值

5、的如往往是多值的如y=sinx, T=2, 4, , 2, 4, 都是周期周期都是周期周期T中中最小的正数叫做最小的正数叫做f (x)的最小正周期有些周期的最小正周期有些周期函数没有最小正周期）函数没有最小正周期）. 根据上述定义，可知：正弦函数是周期函根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，数，2k(kZ且且k0)都是它的周期，最小正都是它的周期，最小正周期是周期是2. (4) 奇偶性奇偶性:由由sin(x)sinx,可知：可知：ysinx为奇函数为奇函数,因此正弦曲线关于原点因此正弦曲线关于原点O对称对称.(5)单调性单调性从从ysinx的图象上可看出：的图象上可看出： 当当x 时，曲线逐

6、渐上升，时，曲线逐渐上升，sinx的值的值由由1增大到增大到1;,2 2 当当x 时，曲线逐渐下降，时，曲线逐渐下降，sinx的值由的值由1减小到减小到1。3,22结合上述周期性可知：结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 2k， 2k(kZ)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1增大到增大到1； 22 在每一个闭区间在每一个闭区间 2k， 2k(kZ)上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从1减小到减小到1232例例1：设：设sinx=t3，xR，求，求t的取值范围。的取值范围。 解：由于解：由于1sinx1, 所以所以1t31, 由此解得由此解得2t4.例例

7、2： 求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的集合，并说出最大值是什么集合，并说出最大值是什么.(1) ysin2x，xR; (2) y=sin(3x+ ) 1 4解：解：(1) 令令w2x，那么，那么xR得得ZR，且使函，且使函数数ysinw，wR，取得最大值的集合是，取得最大值的集合是ww 2k，kZ2由由2xw 2k，2得得x k.4即即 使函数使函数ysin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的集合是集合是xx k，kZ 4函数函数ysin2x，xR的最大值是的最大值是1.(2) 当当3x+ =2k+ 即即 x= (kZ)时时, y的最大值为的最大值为0.4

8、21232k例例3：求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期：y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) (3) y=|sinx|32x5解：解： (1) 令令z= x+ 而而 sin(2+z)=sinz 3即：即：f (2+z)=f (z) ,f (x+2)+ =f (x+ )33函数的周期函数的周期T=2 .(2) y=3sin( ) 25x解：令解：令z= ， 那么那么 25xf (x)=3sinz=3sin(z+2)函数的周期函数的周期T=4 .=f (x+4)425x =3sin( )25x=3sin( +2)(3) y=|sinx|解：解：f(x+)=|sin(x+)|=|sinx|,所以函数的周期是所以函数的周期是T=. 一般地，函数一般地，函数yAsin(x)（其中（其中 ）的周期是）的周期是 RxA, 0, 02T例例4：不通过求值，指出下列各式大于：不通过求值，指出下列各式大于0还是还是小于小于0,(1)sin( )sin( )；(2)sin( )sin( )1810523417解：解：(1) 210182