高数5-364284

1、13. .微积分基本公式微积分基本公式1. .积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2. .积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 内容回顾2【例【例6】求】求.lim21cos02xdtextx 【解【解】 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 【分析【分析】这是这是 型不定式型不定式, ,应用洛必达法则应用洛必达法则, ,求导去掉积分号求导去掉积分号. .00思考思考:去掉积分号还有没

2、有其它方法去掉积分号还有没有其它方法?3【证【证】 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()(200 xxdttfdttftxxf)0(, 0)(,0 xxfxt时时, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF0 )x(F只只要要证证4【证【证】, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 令令 上连续上连续在在10,)

3、x(F .,)x(F上有解上有解在在由零点定理知由零点定理知10)1 , 0( , 0)(1 f5 xdttfxxxxxxf0.),()()(,0,0,0 ,sin21)(.1内内的的表表达达式式在在求求设设 xxxtdtdttfxx0021cos21sin21)()(0时，时，当当0)()(,00 xdttfxx时时当当 0010sin21)()(,xxdttdtdttfxx时时当当【解【解】【补充【补充1】 xxxxx, 10),cos1(210, 0)(6【解【解】;x310 xt31dttf(t)dt)x(F,1x033x0 x02 时时当当61212 x 10 x12x02dttf(

4、t)dtdtt)x(F,2x1时时当当12131tdtdtt2x1102xt 21,612110,31)(23xxxxxFxyo2xy 122 xy 7【练习【练习】求求【解【解】dxxx 20234令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx dxxx 20234 205232451434xx 8第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定

5、积分的换元法和分部积分法一、换元公式一、换元公式三、小结三、小结 思考题思考题二、分部积分公式二、分部积分公式9 假假设设 （1）)(xf在在,ba上上连连续续； 【定理【定理】（2 2）函数函数)(tx 在在, 上是单值的且有连续上是单值的且有连续导数；导数； （3 3）当当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值在的值在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. . 一、换元公式10【应用换元公式时应注意【应用换元公式时应注意】(1)(2)三换三换换积分限换积分限上限对上限，下限对下限上限对上限，下限对下限. .换被积函

6、数换被积函数换微分换微分dttdx)( . )3(变变因此时积分变量并没有因此时积分变量并没有不必换积分限，不必换积分限，若采用凑微分法时，则若采用凑微分法时，则11【例【例1】计算计算.sincos205 xdxx【解【解】 令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 12.sincos205 xdxx【例【例1】计算计算 205coscos xxd6102cos616 x13【例【例2】计算计算【解【解】.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsi

7、ndxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 容易犯错误容易犯错误14【例【例3】计算计算【解【解】.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 15【例【例4 】计算计算【解【解】 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式

8、原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 另解另解:dudtututut ,20, 02,2令令 20cossincosdttttI 20cossinsinduuuu 20cossinsindtttt16【证【证】,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则 ),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;

9、)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则 ),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 17 11211cosdxxxx奇函数奇函数【例【例6】计算计算【解【解】.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积18【例【例7】设函数设函数 01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2( 41 计算计算【解【解】 换元换元 令令tx 2dtdx , 11 tx24 tx于是于是dxx

10、f)2( 41 21)( dttf 20012cos1dttetdtt 19【总结【总结】定积分的证明题定积分的证明题一般用到积分区间的一般用到积分区间的分割分割性性质、质、换元法换元法、定积分与积分变量、定积分与积分变量无关无关的特性。的特性。 .sin2sin :200 xdxxdxnn证明证明 2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令令tx 【例【例8】【证【证】 2sin xdxn 02)(sin dttn 20sin tdtn 20sin xdxn.sin2sin200 xdxxdxnn【分析【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量先分割、再换元，最后改变积分变量20【例

11、例9】 设设f (x)是以是以T为周期的连续函数，则对任意为周期的连续函数，则对任意a，有，有 .)()(0 TTaadxxfdxxf【证证】 TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令令Ttx 则则 TaTdxxf)( adtTtf0)( adttf0)( adxxf0)(.)()(0 TTaadxxfdxxf【分析【分析】先分割、再换元，最后改积分变量先分割、再换元，最后改积分变量【一般地【一般地】 TnTnTaan0 0 22)(TTdxxfn21二、分部积分公式【例【例1】 计算计算.arcsin210 xdx【解【解】令令,arcsin xu ,dxdv

12、,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则22【例【例2】计算计算【解【解】.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 23【例【例3】计算计算【解【解】.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln d

13、xxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 24【例【例4】 证明定积分公式证明定积分公式( (华里士（华里士（Wallis）公式）公式) ) 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数25 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223

14、 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0 0或或1 1为止为止【证【证】设设,sin1xun ,sin xdxdv , cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 26,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是 2010sin xdx如如： 207cos xdx1325476 221436587109 21 nnInnI27定积分的分部积分公式定积分的分部积分公

15、式 . bababavduuvudv三、小结定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(定积分的证明题定积分的证明题一般用到积分区间的一般用到积分区间的分割分割性质、性质、换元法换元法、定积分与积分变量、定积分与积分变量无关无关的特性。的特性。 28第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）三、小结三、小结 思考题思考题29（2 2）瑕积分（被积函数无界）瑕积分（被积函数无界）以上各节所讲定积分是以上各节所讲定积分是正常正常情况下的积分，情况下的积分，它满足两条：它满足两条：(1)

16、(1)积分区间为有限区间积分区间为有限区间 a，b (2)(2)被积函数为有界函数被积函数为有界函数（尤其常见的是连续函数）（尤其常见的是连续函数）（1 1）无穷限的反常积分（积分区间无限）无穷限的反常积分（积分区间无限）反常积分反常积分30 adxxf)( tatdxxf)(lim一、无穷限的反常积分31 bdxxf)( bttdxxf)(lim32 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limttdxxf ttdxxf0)(lim33【注【注】 由上述定义及牛由上述定义及牛莱公式可得如下结果：莱公式可得如下结果： ),)()(上的一个原函数上的一个原函数在在是是设设axfxF

17、 )(lim存在，则存在，则若若xFx)()(lim)(aFxFdxxfxa )( axF )(不存在称不存在称当当F )(),()(,(存在时存在时当当上，上，若在若在 FxfxFb称称 )()(bbxFdxxf 否则称否则称发散发散. .（1） .收敛收敛 .收敛收敛 . 发散发散)()(aFF （2）34)()(),( xfxF 内，内，类似地，在类似地，在 )()(都存在时都存在时，则当则当FF )()(称收敛。称收敛。 xFdxxf . )()(上述反常积分发散上述反常积分发散有一个不存在时，有一个不存在时，当当FF（3）35【例【例1 1】计算反常积分计算反常积分.12 xdx【解

18、【解】 21xdxxxarctanlim xxarctanlim .22 arctan xxoab211xy y几何意义几何意义它是位于曲线的下方，它是位于曲线的下方，x轴轴上方、两端无限延伸的图形上方、两端无限延伸的图形的面积。但却是有限值的面积。但却是有限值36【例【例2】计算反常积分计算反常积分【解【解】.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx 211sinxdx 21cosx2cos1coslim xx. 1 37【证【证】, 1)1( p apdxx1 adxx1 axln, , 1)2( p apdxx1 appx11 1,11,1ppapp38二、无

19、界函数的反常积分（瑕积分）【定义【定义】如果函数如果函数f (x)在点在点a的的任一邻域内任一邻域内都都无界无界，则，则称点称点a为函数为函数f (x)的的瑕点瑕点（又称（又称无界间断点无界间断点） badxxf)( btatdxxf)(lim3940 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( tactdxxf)(lim btctdxxf)(lim 定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分. .41【注意【注意】 由上述定义及牛由上述定义及牛莱公式可得如下结果：莱公式可得如下结果：)()(,()()1(xfxFbaxxfax 时，时，的瑕点，的瑕点，为为设

20、设)()()()( aFbFxFdxxfbaba则则极限极限 存在存在，称反常积分，称反常积分收敛收敛；否则否则称反常积分称反常积分发散发散. .)( aF)()(),)()2(xfxFbaxxfbx 时，时，的瑕点，的瑕点，为为设设)()()()( aFbFxFdxxfbaba 则则极限极限 存在存在，称反常积分，称反常积分收敛收敛；否则否则称反常积分称反常积分发散发散. .)( bF42)()( (), )3(xfxFc,bcacx 上上、为内部瑕点，在为内部瑕点，在 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 则则bccaxFxF)()( )()()()( cFbFaFcF bad

21、xxfcFcF)( )()(都存在时，称反常积分都存在时，称反常积分、当当收敛收敛；否则当至少有一个；否则当至少有一个不存在不存在时，称反常积时，称反常积分分发散发散. .43【例【例5】计算反常积分计算反常积分【解【解】).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为被积函数的无穷间断点为被积函数的无穷间断点. . axadx022aax0arcsin 0arcsinlim axax.2 必为瑕点必为瑕点44【思考题【思考题1】设设)(xf 在在 1 , 0上连续 ，且上连续 ，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 10)2(dxxfx 10)2