立体几何高考经典大题理科

1、(2)求二面角A,-BD-G的大小。SD上的点。(I)求证：AC丄SD;wm(n)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(川)在(n)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,ww使得BE/平面PAC。若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由。2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCC为平行四边形，/DAB=60,AB=2ADPDh底面ABCD(I)证明：PA!BD(n)若PDAD求二面角A-PB-C的余弦值。13如图，直三棱柱ABC-ABjG中，AC=BCAA,2D是棱AAi的中点，DC,_BD(1)证明：DC,_BC1解法一：（I）连BD，设AC交BD于0,由题意S0_AC。在正方

2、形ABCD中，AC_BD,所以AC_平面SBD,得AC_SD.（n）设正方形边长a，贝USD=.2a。又0»于，所以S。"60，连0P，由（I）知AC_平面SBD，所以AC_OP,且AC_0D，所以.POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD_平面PAC，知SD_0P，所以EPOD二300,即二面角P-AC-D的大小为300。（川）在棱SC上存在一点E,使BE/平面PAC由（n）可得PD诗a，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在LBDN中知BN/P0，又由于NE/PC,故平面BEN/平面PAC，得BE/平面PAC,由于SN:N

3、P二21，故SE:EC=21.解法二：（I）；连BD，设AC交于BD于0，由题意知S0_平面ABCD以0为坐标原点，OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a，则高SO虫2S（0,0,于a）,D（一彳a,0,0）2C宀）2a,0）SD0CSD=0故OCSD从而AC-SD（n）由题设知，平面PAC的一个法向量6a），平面DAC的2一个法向量OS=）0,0,6a），设所求二面角为二，则cost二2OSDS三OSDS二二，所求二面角的大小为30°(川)在棱SC上存在一点E使BE/平面PAC.由(n)知DS是平面PAC的一个法向量,DS(辽a,0,

4、卫a),CS=(0,_-a,±a)2222设CE=tCS,BE=BCCEBC畑珂冷冷心“于旳7BEDC=0二t工13即当SE:EC=2:1时，BE_DS.而BE不在平面PAC内，故BE/平面PAC2解析1：(I)因为NDAB=60：AB=2AD,由余弦定理得BD=J3AD222从而BD+AD=AB，故BD丄AD;又PD丄底面ABCD可得BD丄所以BD_平面PAD.故PA_BD(H)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A1,0,0,B0,3,0,C-1八3,0,P0,0,1。uuv-uuv-uuvAB=1/3,0),PB=(0,

5、3,-1),BC=(-1,0,0)设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则£0n卩B=0设平面pbc的法向量为m则因此可取n=c3,1,'、3)可取m=(0,-1,-.3)cosm,n27故二面角A-PB-C的余弦值为2戸73【解析】（i）在RtDAC中，AD=AC得：.ADC=45同理：一ADCj=45=.CDCj=90得：DCiIDC,DCiIBD=DCi丨面BCD=DCi丨BC(2)DCj_BC,CG_BC二BC_面ACGA=BC_AC取ABi的中点O,过点O作OH_BD于点H，连接CQ,GHAG=B1Cy：C1OA面A1B1C_面ABD=C1O_面A-|BDOH_

6、BiCHBD点H与点D重合且CiDO是面角A-BD-Ci的平面角设AC=a，贝UGO二县12GD=2a=2GO二GDO=30既二面角A-BD-Ci的大小为304如图，三棱柱ABC-ABiCi中，CA=CBAB=AAi,/BAAi=60°(I)证明AB丄AiC;(n)若平面ABC丄平面AAiBiB,AB=CB=2，求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值。5.如图三棱锥ABC-AG中，侧面BBiCiC为菱形，AB_B,C.(I)证明：AC=ABi；(n)若AC_ABi,CBBi=60°,AB=Bc，求二面角A-ABi-Ci的余弦值4【解析】(I)取AB中点E,连结CEAB

7、,AE,tAB=AAi,.BAAi=600,.BAAi是正三角形,-AE丄ABtCA=CB-CE!ABtCE一AE=E,.AB丄面CEA,二AB丄A,C;(H)由(I)知EC丄AB,EA,丄AB,又面ABCL面ABBiAi，面ABCH面ABBiAi=AB,EC丄面ABB1A1,EC丄EA,EA,EC,EAi两两相互垂直，以E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,有题设知A(i,0,0),A(0,.3,0),C(0,0,),B(i,o,o),则"bc=(i,0,'-3),BBi=AA)=(i,0，-、3),AC=(0,3,

8、3),设n=(x,y,z)是平面CBB,C,的法向量,n*BC则nBB,=0",即x3"0,可取n=(、3,i,-i),(X+(3y=0cosn疋=n-io|n|AC|5'12分0直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为55解析：(1)连结BCi，交EC于0，连结AO.因为侧面BBiCiC为菱形，所以B,CBC,且0为BiC与BCi的中点又B,O=CO,故ACAB,(2)因为ACAB,且O为BiC的中点，所以AO=CO又因为AB二BC,所以LBOA=BOC故OA_OB，从而OA,OB,OB1两两互相垂直以o为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标二1,0,系O-xyz.设n=x,y,z是平面AA吕的法向量,AB1=0AB<|=0V3y/3yz=033I灵0z=03Bf二二（翻、(Ai0,0，B(1,0,0),B1|0,0，C|0,-