福建省普通高中毕业班2019届高三4月质量检查数学文试题

1、幵始4.向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正确的是N边形内的概率为Pn,下列论断正A.随着n的增大，Pn增大B.随着n的增大,Pn减小C.随着n的增大，Pn先增大后减小D.随着n的增大,Pn先减小后增大x2+y2兰1,xy乞1,y芒0,则z=X-y的取值范围是1,1】二运莎A.-B.C.-D.6.如图，AB是OO的直径，VA垂直OO所在的平面，点C是圆周上不同于B的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是A.MN/ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC丄平面VACD.平面VAC丄平面VBC5.已知X,y满足|-1八2A,B7.若直线axby-1=0(a0,b

2、0)过曲线yFsi°<x212的对称中心，则ab的最小值为A.2+1Z.XB.42C.3+2-2D.62019年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列函数中，值域为（0，的函数是A.f(x)=2xB.f(x)fjxC.f(x)=lgxD.f(x)=x22.执行右图所示的程序框图.若输入的n的值为3,则输出的k的值为23.“a=1”是“关于x的方程x_2xa=0有实数根”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C18已知双曲线22xy22

3、-11a0,b0ab的离心率为2，一条渐近线为1，抛物线C2:/=4X的焦点为F，点P为直线1与抛物线C2异于原点的交点，则A.2z.XB.3C.4D.5exm,y二二i,X19若曲线J-x与直线yPF二kx-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是A.(3-2.2,32.2)B.(0,3-2、2)C.(-：,0)一(0,3-2.2)D.(-：,3-2、2)10.在平面直角坐标系xOy中，门是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意P11,均有Q'1，使得°Q=°P，a，则称a为平面点集|的一个向量周期.现有以下四个命题：若平面点集门存在向量周期a，则kaZ,

4、k=0也是门的向量周期;若平面点集11形成的平面图形的面积是一个非零常数，则11不存在向量周期;若平面点集",y|x0,yC，则b=“,2为门的一个向量周期;若平面点集%、(x,y)|y=sinxic=1_,0COSx，则、2丿为0的一个向量周期其中正确的命题个数是A.1B.2C.3D.4第n卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.2i11.复数1i等于12.6X的展开式中的常数项等于13.已知ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c.cosAnB二-3和各项均为正整数的等比数列a=14.对于数列S",如果存在

5、各项均为正整数的等差数列使得Cn二anbn，则称数列G，为“DQ数列”.已知数列耳是“DQ数列”，其前5项分别是:3,6,11,20,37,贝U°=.15设g（x）是函数g（x）的导函数，且f（x）=g（x）.现给出以下四个命题：若f（x）是奇函数，则g（x）必是偶函数；x若f（x）是偶函数，则g（x）必是奇函数；若f（x）是周期函数，贝yg（x）必是周期函数；若f（x）是单调函数，则g（x）必是单调函数.其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题满分13分）f(xinxcos二+cos2二+

6、m已知函数2（I）求实数m的值以及函数(II)设x2x22的图象过点fx的单调递增区间;0<x轴、y轴及直线x二t（k5兀(6,0)./2兀/0店X6<3)所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t的函数St的解析式.17.（本小题满分13分）某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100人吸烟.这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图.将频率视为概率，回答下列问题：（I）在该地区随机抽取3个人，求其中至少1人吸烟的概率；（n）据统计，烟草消费税大约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元.

7、问：当地烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由.18.（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-ABQ的底面是边长为4正三角形，AA1丄平面ABC,AA仁2运,M为AB1的中点.（I）求证：MC丄AB；（II）在棱CC1上是否存在点P，使得MC平面ABP?若存在,确定点P的位置；若不存在，说明理由.A(川)若点P为CC1的中点，求二面角B-AP-C的余弦值.19.(本小题满分13分)如图，设P是圆°：Xy=2上的点，过P作直线1垂直x轴于点Q,M为1上一点，且PQ=、2MQ，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线丨.(I)求曲线-的方程；(n)某同学研究

8、发现：若把三角板的直角顶点放置在圆°的圆周上，使其一条直角边过点F1,0，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线:有且只有一个公共点.你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明;若不正确，说明理由.(川)设直线m是圆°所在平面内的一条直线，过点F1,0作直线m的垂线，垂足为T,连接°T,请根据“线段°T的长度”讨论“直线m与曲线丨的公共点个数”.(直接写出结论，不必证明)20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx_a(1_丄)x(I)求fx的单调区间;(n)若f(x)的最小值为0,回答下列问题：(i)求实数a的值；(ii)已知数列a'满足a

9、1=1,an厂f(an)2，记x表示不大于x的最大整数，求Sn=a1*a2*+an，求S21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修42:矩阵与变换卜1a、_M=已知a,bR,若矩阵lb3所对应的变换把直线Lx+yh1变换为自身.(I)求实数a,b；(n)若向量5'r1丿，试判断和是否为m的特征向量，并证明之(2) (本小题满分7分)选修44:极坐标与参数方程取相同的长度单位，且以原点°为极点，

10、以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为-仃前八1已知在平面直角坐标系xOy中，直线丨经过点P0,1，倾斜角为6；在极坐标系(与直角坐标系x°y(I)写出直线l的参数方程和圆C的标准方程;(n)设直线1与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长.(3) (本小题满分7分)选修45:不等式选讲若a，b,cER+,且满足a+b+c=2.(I) 求abc的最大值；1_9(n)证明:2019年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分50分.1.A;2B;3.A;4.A;5A;6.D;7.C;8.D;9.C;10.A二、填空题：本

11、大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分20分.n11.1+丨;12.20;13.8;14.n2；15.三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等_32基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分.«.xx2x解法一：（I）fx='、3sincoscosmsin丨x+mI6丿2因为fx的图象过点,0），所以I兀fx二sinx所以6，由sinTt2k二_x26i5兀JI1一+m=0166丿2，解得JI2兀，得

12、2k二21m=一22k-：_x2k二3,"Z72二2k二，2k二故fx的单调递增区间是133"Z?731f(x)=sinx+cosx()由(I)得，22S。2所以t3.1sinxcosx22osxIsinx22晅cost+1sint2丿逼cos0+丄sin。22丿12分13分St二sint-所以解法二:.10分(I)因为函数fX的图象过点5 二6 ,0)，所以=09/sln"cos5m26262zf5)讨.5525f一兀l=x/3sinucosn+cos兀+m(6丿121212邑乜mm44221m=0所以2，解得m3分5分以下同解法x=sinx(II)由(I)得S

13、=所以t0sindx一cosx+7I6丿't06212分二32_S(t)=cost+0ct<J所以.62(3).13分17本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等满分13分.2分1解：(I)依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的8所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0/10/73pyg).5分169512.6分(n)由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1.8分=0.36(万元).Joo又该地区吸烟者人数为8万

14、,所以该地区年均烟草消费税为12分11001040.40.36=180008(万元)又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.13分18本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想满分13分.解：（I）取AB中点O,连接OM,OC./M为A1B1中点，MO/A1A，又A1A丄平面ABC,/MO丄平面ABC,/MO丄AB.2分/ABC为正三角形，A

15、B丄CO又MOnCO=O,AB丄平面OMC又MC平面OMCAB丄MC5分（II）以O为原点，以OB,OC,OM的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.如图.依题意0(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2血0),M(0,0,276)设P(0,2.3,t)(0乞仁2.6).8分.7分则MC二(0,23,-26),AB二(4,0,0),OP二(0,2.3,t)MCQP=0,要使直线MC平面ABP，只要MC4B=0.即(2J3)?=0，解得t=76.P的坐标为（0'2巧八6）当P为线段CC1的中点时，MC平面ABP.10分（川）取线段AC的中点D，则

16、D（7一3,0），易知DB平面AACG,故DB=（3,-'、3,0）为平面PAC的一个法向量.11分.12分又由（II）知MC=（0,2、3,_2、6）为平面PAB的一个法向量.设二面角B-AP-C的平面角为-，则MCB3汉0J3汉2(50汉2丁6MC审DB2后66-13.13分二面角B_AP-C的余弦值为619本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分13分.解：（I）设M（x,y）,P（xp，yp）,因为PQ垂直x轴于点Q,M为直线l上一点，且PQ=

17、-2MQ,所以xp=x,yp2y,.2分2222r因为点P在圆°：xy=2上，所以xPyp=22x2即x2C，2y)2=2,2x2.y1故曲线-的方程为2.4分（n）设三角板的直角顶点放置在圆。的圆周上的点N（a,b）处,a2b2=2,又设三角板的另一条直角边所在直线为（i）当a=1时，直线NFx轴,显然1与曲线-有且只有一个公共点.（ii）当a时，则x二2，显然1与曲线有且只有一个公共点;若b时，则直线1k=口的斜率b,丨：yb所以b“1-a2-aX"，即rxh,X22d!1y:1-a2ayx由.bb_1+ax2.21-a2-a.bb2一2即占2lx2+4(1_a)(2_

18、a)x+2(2_a$一b2I2小2又b=2-3,*22*“2所以方程(*)可化为_2x4a2虫4a=0,所以也=屮1aI2a16(a-2)(a-1)=0所以直线丨与曲线-有且只有一个公共点.综上述，该同学的结论正确。”，10分（川）当°T时，直线m与椭圆没有公共点；当°T=运时，直线m与椭圆有且只有一个公共点；当°T运时，直线m与椭圆有两个公共点.13分1420.本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等满分分.解:（I）函数fX的定义域为（

19、76;,V），且xx2x2.,1分当a空0时，f/（x）0，所以fx在区间（°,：）内单调递增；，,，2分当a0时，由f（x）0，解得xa；由f（x）:：0，解得0xa.所以fx的单调递增区间为（a,'J，单调递减区间为（°,a）.,3分综上述：a'°时，fx的单调递增区间是（°,'J；a0时，fX的单调递减区间是（°,a），单调递增区间是（a,7）.,(n)(i)由(i)知，当a岂0时，fx无最小值，不合题意；，当a0时,f(x)min=f(a)=1-a+lna=0.令g(x)=1x+lnx(x0)，则x由g(x)0，

20、解得0x<1；由g/(x)：0，解得x1.所以gX的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1J：)故g(X)max=g(1)=0，即当且仅当x=1时，gx=0.因此，a=1(ii)因为f(x)=lnx-11x，所以1an1=f(an)2=1Inanan由a1二1,得a2二2,as=3ln22In2:1.因为2，所以2035<2猜想当n-3,nN时,an10分F面用数学归纳法进行证明.a3=3+ln2当n=3时，2，故2：035<_2成立.，,11分假设当n=k(k3，kN)时,2vakv£不等式2成立.1ak4t=1+lnak则当n=k+1时，0kh(x)=f(

21、x)+2=1十丄+lnx由(i)知函数x在区间h,5j2单调递增,5所以h(2)：h(ak)：h(2),又因为丄1丄h(2)=1ln222h(5)=i2in5:：v2d：:52525252成立，即当n=k+1时，不等式成立.-152<an<_根据可知，当n-3,n，N时，不等式2成立13分因此，Sn羽a2an2（n）=2n-1.,14分21.（1）（本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分.（I）解法一：解：在直线1：xy"上任取两点（1,0）和（0,1）,.2分<-1aY1_匸1fja¥0_“由33丿I。2和33丿Ji3知点（一1）和点（a,3）均在直线x上,-1b=1,所以a3=1,解得a=-2,b=2.所以矩阵(1-2、M=<23丿-1-2rr丰九1、*-1-2、*1、<231<5><