二重积分的计算1北工大ppt课件

1、四、二重积分的计算四、二重积分的计算1 1定理定理1 1 假设函数假设函数 在闭矩形域在闭矩形域),(yxf,dycbxaR 可积，且可积，且,bax dyyxfxIdc ),()(存在，存在， Rdxdyyxf),(.),(dxdyyxfbadc dxdyyxfbadc ),(那么累次积分那么累次积分也存在，且也存在，且.),(),(dxdyyxfIdyxfIRR 或或 1证明证明 设区间与的分点分别是设区间与的分点分别是,ba,dc,110bxxxxxanii 011.iimcyyyyyd 这个分法记为，把闭矩形域这个分法记为，把闭矩形域R分成分成Tmn 个小闭矩形，小闭矩形记为个小闭矩形

2、，小闭矩形记为),(11kkiiikyyyxxxR ., 2 , 1;, 2 , 1mkni 设设 .),(inf,),(supyxfmyxfMikikRikRik ,1iiixx 有有2.,),(1kkikiikyyyMyfm 一元函数在可积，有一元函数在可积，有 kkyy,1 ),(yfi ,),(1kikyyikikyMdyyfymkk .1 kkkyyy将不等式对相加，有将不等式对相加，有mk, 2 , 1 ,),(1111 mkkikmkyyimkkikyMdyyfymkk 其中其中),(),(),(11idcimkyyiIdyyfdyyfkk 3.)(11 mkkikimkkiky

3、MIym 此不等式乘以此不等式乘以,ix 再对相加，再对相加，ni, 2 , 1 有有.)(11111 nimkkiikniiinimkkiikyxMxIyxm 即即).()()(1TSxITsniii 由函数在由函数在R可积，有可积，有),(yxf,),()(lim)(lim00 RTTdxdyyxfTSTs4,),()(lim10 RniiiTdxdyyxfxI Rdxdyyxf),(.),(dxdyyxfbadc dxxIba )(假设函数假设函数 在闭矩形在闭矩形域域),(yxf,dycbxaR 可积，且可积，且,bax dxyxfyIba ),()(存在，存在， Rdxdyyxf),

4、(dydxyxfdcba ),(那么累次积分那么累次积分也存在，且也存在，且.),(dydxyxfdcba 52 2推论推论1 1 假设函数假设函数 在在a,ba,b可积，函可积，函数数)(x )(y 在在c,dc,d可积，那么乘积函数可积，那么乘积函数)()(yx 在闭矩形域在闭矩形域;dycbxaR 也可积，且也可积，且 dcbaRdyydxxdxdyyx)()()()( dxdyyxfbadc ),(dydxyxfdcba ),(.),( badcdyyxfdx.),( dcbadxyxfdy6证明证明 将函数将函数 都看作二元函数都看作二元函数,)(),(yx 在在R上可积，乘积也在上

5、可积，乘积也在R可积可积)()(yx Rdxdyyx)()( dyyxdxbadc )()( dxdyyxbadc)()( .)()(dyydxxbadc 那么那么7例计算二重积分，例计算二重积分， 其中其中,)(2 Ryxdxdy).21 , 43( yxR例例 计算曲顶柱体的体积，其底是正方形区域计算曲顶柱体的体积，其底是正方形区域),0 ,0(ayaxR 其顶是定义在其顶是定义在R R上上的曲面是常数的曲面是常数qpezqypx,( 8例假设函数例假设函数 在在 是正值连续函数，是正值连续函数，)(xf,ba,)()()(2abdxdyyfxfR 其中其中).,(byabxaR 证函数与

6、在证函数与在)(xf)(1xf,ba闭正方形区域闭正方形区域R R关于直线关于直线xy 对称有对称有,)()()()(dxdyxfyfdxdyyfxfRR 那么那么都可积都可积9那那么么dxdyxfyfyfxfdxdyyfxfRR )()()()(21)()( RRdxdydxdyyfxfyfxf)()(2)()(22.)(2abR 10X X型与型与y y型区域型区域定义设函数在闭区间定义设函数在闭区间)(),(21xx ,ba连续；函数在闭区间连续；函数在闭区间)(),(21yy ,dc连续，那么连续，那么x x型区型区域域 ;,),()(),(21baxxyxyx y y型区域型区域 .

7、,),()(),(21dcyyxyyx 11xyoab)(1xy )(2xy 积分区域为：积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上上连续连续. .)(1x )(2x ,baxyoab)(1xy )(2xy 如图如图x x型区域型区域12 ,),()(),(21dcyyxyyx cdy)(2yx )(1yx xyRy y型区域型区域013定理定理2 2 设有界闭区域设有界闭区域R R是由两条光滑曲线是由两条光滑曲线),x()x(,bxa),x(y)(2121 且且与与xy以及直线以及直线x=ax=a与与x=bx=b所围成。所围成。),(yxf在在R R

8、可积，且可积，且,bax 定积分定积分 )()(21),(xxdyyxf 存在，存在，.),()()(21 xxbadyyxfdx Rdxdyyxf),(也存在，且也存在，且 )()(21),(xxbadyyxfdx 那么累次积分那么累次积分假设函数假设函数14证明证明取闭矩形域取闭矩形域),(dycbxaP 使使.PR 在在P上定义新函数上定义新函数 .),(, 0,),(),(),(*RPyxRyxyxfyxf新函数在新函数在P可积可积),(*yxf.),(),(*dyyxfdxdxdyyxfPbadc 由新函数定义，有由新函数定义，有.),(),(*dxdyyxfdxdyyxfPR 15

9、,bax 有有dyyxfdxbadc),(* baxcxxdxdyfdyfdyf)()()()(*1212 .),()()(21dyyxfdxbaxx 因而有因而有 Rdxdyyxf),(.),()()(21 xxbadyyxfdx 16假设有界闭区域假设有界闭区域R R是是 型区域型区域, ,函函数数y),(yxf,dcy )()(21),(yydxyxf 存在，且存在，且 )()(21),(yydcdxyxfdy .),(),()()(21 yydcRdxyxfdydxdyyxf 在在R R可积，可积，存在，存在， 那么累次积分那么累次积分且且 ，定积分，定积分17如何利用累次积分求二重积

10、分如何利用累次积分求二重积分( (以以 型为例型为例) )x化为先对，后对的累次积分化为先对，后对的累次积分. .yx首先将首先将R R投影到轴，得到闭区间，投影到轴，得到闭区间，,ba在区间在区间 上任取一点，关于积分，上任取一点，关于积分，在在R R内的积分限由到内的积分限由到,baxyy)(1x )(2x abxyo)(1xy )(2xy 然后关于从然后关于从xab到积分到积分18. 0),( yxf假假定定为为底底，的的值值等等于于以以 RdyxfR ),(为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积以曲面以曲面),(yxfz 应用计算应用计算“平行截面平行截面面积为知的立体求面积为知的立体求体积的方法体积的方法, ,zyxo)(2xy )(1xy ),(yxfz )(0 xA0 x.),()()(21 xxdyyxfA .),( ),()()(21 RbaxxdxdyyxfdyxfV ab19例证明：假设函数例证明：假设函数 在由直在由直线线),(yxf)(,baxyaxby 所围成的三角所