6.1-6.2空间直角坐标系ppt课件

1、第一节 向量及其线性运算 一. 空间直角坐标系 二.空间两点间的距离x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM

2、 xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C二二 空间两点的距离空间两点的距离两点间的距离公式两点间的距离公式),(111zyxA由勾股定理得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxBBABA第二节 向量代数 一. 向量的概念 二. 向量的线性运算 三. 向量的坐标 四. 向量的数量积和方向余弦 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为

3、为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM1 加

4、法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的线性运算向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：.abba （2 2结合律：结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a

5、21 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1结合律：结合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab

6、 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形.

7、 .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMabxyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 三三 向量的坐标向量的坐标利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),

8、(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义四、两向量的数量积与方向余弦关于数量积的说明：关于数量积的说明：0

9、)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：;abba （2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3假设假设 为为数：数： ),()()(bababa 假设假设 、 为数：为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji

10、. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabab

11、aba ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证明向量证明向量c与向量与向量acbbca)()( 垂直垂直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦. 记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例7. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,