2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

1、2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考试题数学一、填空题1 .已知集合 A= x 1 x 1 , B 1,0,3 ，则 AI B .【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故 A B 0 .故答案为：0 .【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题2 .设备函数f(x) kxa的图像经过点(4,2),则k .,3【答案】32 13 【解析】由题意得 k 1,2 4- k -223 .若命题“ ？ t C R, t2-a<0”是真命题，则实数 a的取值范围是 .【答案】(0,)【解析】命题“ t R, t2- a

2、<0”是真命题，V 0-4( - a) >0 .a>0,则实数a的取值范围是(0,).故答案为(0, + ).4 .函数f(x) ln(x 1) J2x的定义域为.【答案】(1,2【解析】【详解】x 1 0由可得，1 x 2，所以函数f(x) ln(x 1) J2 x的定义域为1,22x0,故答案为1,2 .5 .已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P 1,2 ,j4【答案】42sin cos 求5【解析】根据三角函数定义求cos 和sin ，最后代入公式sin 2值.【详解】解：由题意可得x1, y 2, r OP 55,cos15siny22,5

3、r. 55sin22sin cos故答案为:本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.6 .已知等差数列an的前n项和为Sn , §1 132, a6 a§ 30 ,则ai2的值为【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n项和公式和等差中项，即可求出 a6的值，再根据等差数列的通项公式和 a6 a9 30,即可求出a*进而求出 血的值.【详解】因为 8 132,所以，11(a1 为)=132,即 11a6 = 132,所以,a6=12 2又a6 a§ 30,所以，ag = 18,因为a6 a12 2a8 所以，可求得：a12=24【点睛】本题考查了等差数列的

4、通项公式和等差数列的前n项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n项的公式是解决本题的关键 .7 .定义在R上的奇函数f(x),当x 0时，f(x) 2x x2,则f( 1) =.【答案】1【解析】由f x为奇函数可得：f 1 f 12 11,故答案为1.8 .已知函数f(x) 2sin(2 x -)(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在41,1上的单调增区间为 .1 3【答案】-,-4 4【解析】试题分析：由题意可知，函数 f(x) 2sin( x )，令一 2k 42131-2k x - 2k, k Z,又 x 1,1,所以一x444 13上的单调递增区间为-,-.4 4x 2k

5、 ,解得423,所以函数f(x)在1,14r9.设向量ar(sin 2 ,cos ) , bJ r(cos ,1),则 a/b 是 tan12 ”成立的件(选填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).【答案】必要不充分【详解】试题分析:r ra /b(sin 2 ,cos ) / /(cos ,1)sin 22coscos0 或 2sincoscos0 或 tan1r一,所以“ a2/b” 是tan1 ”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10.已知函数f (x)ex ln xaex(a R)，若 f0,上单调递增，则实数a的取值范围是,1【解析】对函数求导,根据函数在

6、0,上单调递增列不等式， 分离常数a后,构造函数h xln利用导数求得的最小值,进而求得a的取值范围.依题意,0,时,ex lnx 1 x0恒成立,rr1即 ln x 一 x也即aln x1 一在 x0,构造函数lnx 二 x取得极小值也即是最小值，故x在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在h 11,所以 a 1.【考点】三角函数的图象与性质.故答案为：,1本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略， 属于 中档题.11.如下图，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ADC 90o, AB 4, AD J2, E 为uuv uuv 广 r uuuv uuivBC

7、 中点，若 AB AC 4,则 AE BC 2【解析】【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设CD m m 0 ,结合题意可得：A一 uuu0,0 , B 4,0 ,C m, V2 ,C 0, V2，则 AB4,0uiur ,ACm,V2 ,uur uuur_52故 AB AC 4m 4, m 1 ,即 C 1,j2 ,则 E -,2 2_ uuin3,、2 ,AEuuirBCuuu5 2 uuur据此有AE5, ,BC2 2,x a, x 012.右函数y ,在区间x a In x, x 02,2上有两个零点，则实数 a的取值范围为【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数y

8、= .r -a与函数1 =天一日 + In k在给定(7 < 0a >0的区间(-20和区间(。二)内分别有一个根，4一口>0，即口4，所以2 a+hi 2 > 01 a < 22,故答案0,2 ln2 .【考点】函数的图象及零点的确定.【易错点晴】2x ax 0本题设置了一道以分段函数的解析式y ,背景的零点个数的综合应x a ln x, x 0用问题.将问题等价转化为两个函数 f -曰与函数y =工-日+ M工在给定的区间，一厘三0-2,0和区间(0=2)内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组 4-a >0，通22 >0 J过解不等式组从而获得答

9、案.13.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知sinB sinC msinA m R ,且a2 4bc 0 .且角A为锐角，则 m的取值范围是【解析】利用正弦定理化简 sinB sinC msinA m R，利用余弦定理表示出 cos A,根据A为锐角列不等式，解不等式求得m的取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得 b c ma ,由余弦定理得22 2 a 2,22222 m aab c a b c 2bc a 2。2cosA 2 2m 3,由于 A为锐2bc2bc亘2 3 c角，所以0 cosA 1 ,所以0 2m2 3 1 ,即一 m 2 ,由于m为正数，故2J

10、 m 2.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化,考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题14.已知函数f(x)2tx ln( x n 2)1g(x)一 x43h(x) x3域上恒成立，2 nx则实数12e【解析】根据(1 n)x n 8 在t的取值范围是U e2上是增函数，且 f x g x 0在定义0求得n的值，由此化简f x g x 0 ,利用分类讨论的方法,结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围.由于函数h(x)2 nx(1 n)x n上是增函数，所以4x22nx0恒成立,故4n216 10,即n220,所以n2.故0 即 2tx

11、 In0,等价于2txIn x2txIn x由得在0,e由得2tIn x构造函数mx递减,e,In x1-,所以等价于 e2tIn x2tx.由In x2xIn x 1，所以m xxx递增，最小值为1一解得x x12e1.根据m x e1 ,一的单调性可知，当 x12且仅当t e时，成立. x.一12综上所述，t的取值范围是，一 U e .2e-12故答案为,Ue2.2e【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题.2_2_15.已知集合 A x|x 3x

12、 2 0 ,集合B y y x 2x a ,集合2C x| x ax 4 0 ,命题 p: A B ,命题 q : A C .(1)若命题P为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题P q为假命题，求实数a的取值范围.【答案】(1) a 3; (2) (,0)(3,)【解析】先求出集合 A *1*2和8丫|丫2 1；(1)由题意得A B=,由集合的交集运算得 a的取值范围;(2)先求出pq为真命题时a的取值范围，从而求出P q为假命题时a的范围.2 一2x 2x a (x 1)a 1 a 1, . .集合 B y | y2集合 A xx2 3x 2 0x 1 x 2 ,集合 C x x2 ax

13、 4 0(1)由命题p是假命题，可得AB=，即得 a 1 2, a 3.(2)当P q为真命题时,P, q都为真命题，即A Ba 1 21 a 4 022 2a 4 0a 3a 3 ,解得 0 a 3.a 0，当P q为假命题时，a。或a 3 ,a的取值范围是：(,0)(3,)本题考查了集合交集的运算,考查了复合命题为假命题的应用,二次函数的性质，属于基础题.116. ABC中，角A, B, C所对边分别是a、b、c,且cos A3B C(1)求 sin cos2A 的值；2(2)若a J3,求zABC面积的最大值.【答案】(1)1-；(2)93.24【解析】(1)将sin2B_C cos2A

14、化简代入数据得到答案29(2)利用余弦定理和均值不等式计算bc ，代入面积公式得到答案4,.2BC .2 Ac 2 1 sincos2A sin 2cos A 1222 A2 /cos 2cos A 1 212 1 12991 cosA2,2cos A 11 一 . .12 2(2)由 cosA 一,可得 sinA/1 - 3-93由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 2bc 2bc - bc 333 293即有bcw a 当且仅当b c 一，取得等号.442则 4ABC 面积为 1bcsinA 1 9 R! 逃. 22 434即有b c2时,3.2 ABC的面积取得最

15、大值 34本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型17.如图，在 ABC中,BAC 120 , AB 2, AC 1, D 是边 BC 上一点,uurDCuur2 BDD(1)求uuurADuurBC的值;(2)若uuuABuuur tCDuuur CD0,求实数t的值.uuur 得AD(1)8,(2) t3 uuur uur1514uur uuur(1)将AD,BC都转化为用 AB, AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求uur 一BC的值.uuuuuir(2)将原方程 AB tCDuuurCD 0转化为tuuu iurAB CDUh 2CD皿口1)的方法，将C

16、D转uuu uur化为用AB,AC为基底表示,根据向量数量积和模的运算,求出t的值.(1) Q D是边BC上一点,uuirBDuuuAD3 uuir AB1 uuir BC3uuurACuuir ACuuuABuurABuuurADuurBC2 uuu-AB 31 uuur -AC 31 2 cos120(2)uurABuuur uuur tCD CDuuurDCuuir2 BDuuirQ CD2 uiu -CB3uuirCDuuuQ ABuuurCD2 1315142 uuu -AB31 uuurAC 3uuuACuurABuurACuuu 2一AB 31 uuu uurAB AC 313u

17、uuAB3 uuu CDuur 2CDuurADuuirBC2 uuu uur一AB AC32 uuu -CB3uurABuur 2BCcos120 728uuu2 AB2 uur -AC 3uuu2 uur-AC 3uuir AB2 cos12010本小题主要考查平面向量的基本定理,考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题18.某公园为了美化环境和方便顾客,计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面 ACB和两条长度相等的直线型路面 AD、BE ,桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直

18、线与圆O分别在连结点 A和B处相切.设 ADO,已知直线型桥面每米修4a 一兀.3(1)若桥面(线段 AD、BE和弧建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是ACB )的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式;(2)当为何值时，桥面修建总费用W最低?(1)(1)设C为弧AB的中点，连结OA,OC , OB ,通过解直角三角形以及弧3cosW 2a 4sin长公式，求得AD,AC的长，由此计算出修建总费用 W的表达式，根据 DE长度的限制，和圆的直径，求得的取值范围.(2)利用导数求得 W的单调区间，进而求得当为何值时， W取得最小值.(1)设C为弧AB的中点，连结OAADOA 3 cos 在OAD中

19、，ADs又因为AOCtanADOsin,所以弧所以W4aAD 34a33cos -a 2a sin, 3cos4sin当DE6时,DE12时,一,所以一所以W2a3cossin设f 43cJ则f 4 Tsinsin24sin. 2sin3,令f当 一,一时，f6 3当 一,一时，f3 2所以当 一时，函数f3【点睛】0 ,函数f单调递减；0,函数f单调递增；取得最小值，此时桥面修建总费用最低本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的 计算，属于中档题“、1，(1 a)x a (a R).22X19.已知函数 f (x) axln x 一 2(1)当a 1时，求

20、函数f x在x 1处的切线方程;(2)当a 0时，证明：函数 f x只有一个零点;(3)若函数f x的极大值等于0 ,求实数a的取值范围.【答案】(1) y 0 (2)证明见解析(3),1【解析】(1)求得函数在x 1处的导数，由此求得切线方程 .(2)通过求f x的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数f x的单调区间,由此证得函数 f x只有一个零点.(3)当a 0时根据(2)的结论证得结论成立.当a 0,根据f x的二阶导数，对a分成0 a 1,a 1,a 1三种情况，利用 f x的一阶导数，结合零点的存在性定理,求得实数a的取值范围【详解】(1)当 a 1 时，f x xlnx -,

21、f x Inx 1 x, f 10, f 10,22所以f x在x 1处的切线方程为y 0.a . a x(2) f x aln x x 1 x 0,令 gx aln x x 1,g x - 1 x x当a 0时，g x 0, g x在0, 上单调递减，又g 1 0,所以当x 0,1时，f x 0, f x单调递增，当x 1, 时，f x 0, f x单调递减所以f x f 10,所以f x只有一个零点x 1.(3)当a 0时，由(2)知，f x的极大值为f 10,符合题意；当a 0时，令g x 0,得xa,当x 0,a时，gx 0 , g x单调递增，当x a, 时，g x 0, g x单调

22、递减，注意到 g 10,111(i)当 0a1时，ga g 10,又 ge* 1e1 e a 0.所以存在 x10,a，使得 g x0,当 x 0,x1时，g x f x 0, f x单调递减，当x x1,1时，g x f x 0, f x单调递增，当x 1, 时，0,符合题意;g x f x 0 , f x单调递减，所以f x的极大值为f 1(ii)当 a 1 时，g x无极值，不合题意;(iii)当 a 1 时，g a2x 1x x0，e ,2所以 x 1- 1e存在x2a, ,使得f x g 10恒成立,g 10 ,又 g eaa2x在1, 上单调递减, a 2 a ，所以g e a e

23、 1g x2f x20,f x在0,上单调递减,ea 1,令 x J x 1 e当 x 0,1 时，f x0, f x单调递减，当x1,x2 时，f x 0, f x 单调递增，当x X2,时，f x 0, f x单调递减，所以f x的极大值为f X2 ,且f X2 f 10,不合题意.综上可知，a的取值范围是,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，合性较强，属于难题.20 .已知正项数列 an的前n项和为Sn,且a； 2an 4Sn 1 n N .(1)求数列 an的

24、通项公式;,an 1(2)若bn ，数列bn的前n项和为Tn ,求Tn的取值范围；S2n 1 S2n 11an 1 ,n为奇数*.(3)若Cn2nN,从数列 Cn中抽出部分项(奇数项与偶n22,n为偶数数项均不少于两项)，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数 最大时，求所有满足条件的等差数列2 1-,-(3) 1, 2, 3, 4,9 41 .1咯案】(D an 2n 1Tn，瓦可；5和 5, 4, 3, 2,1.S,n 1【解析】(1)利用an,求得数列 an的通项公式bn的前n项和Tn.利用差Sn Sn1，n 2(2)由(1)求得Sn的表达式，然后利用裂项求和法求得比

25、较法证得数列 Tn递增，进而求得Tn的取值范围(3)先判断出数列 Cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有 3项.由此求得所 有满足条件的等差数列.【详解】2_2_(1)当 n 1 时，由 an 2an 4Sn 1 ,得 a1 2a1 4al 1 ,得 a1 1 ,r 22由 an 2an 4Sn 1 ,得 an 1 2an 1 4Sn 1 1 ,两式相减，得2an 122an 1 2 an 4an 1 ,即 an 1a22 an 1anan 1anan 1 an0因为数列an各项均为正数，所以 an 1an 0 ,所以 an 1an 2所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列.因此,an2(n 1) 2n 1an的通项公式为an2n 1