2020届江西省新余市高三上学期第四次段考数学(理)试题(解析版)VIP

1、2020届江西省新余市高三上学期第四次段考试题数学（理）1.设集合 A y| y 3x, x R、单选题B x | y /2x,x R ,则 AI B ()1 1JA. -B. 0,1C. 0,-D. 0,-【答案】D【解析】集合A表示函数y 3x,x R的值域，集合B表示函数y JT2的定义域, 由函数的定义域、值域的求法，求出集合 A、B ,再求AI B即可.【详解】解：因为y 3x,x R,则y 0,即A 0,1 1又 y 厂27, x R ,由 1 2x 0,解得 x ,即 B ，,2 2rc 1即 AI B 0,-, 2故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集

2、合交集的运算，属基础题2.复数乙1 i, Z2 i ,其中i为虚数单位，则 二的虚部为（）Z2A. 1B. 1C. iD. i【答案】A【解析】根据复数共轲的概念得到7 ,再由复数的除法运算得到结果即可.z1【详解】Z11 i4 1 i, 1 i,Z2i虚部为-1 ,故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轲复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算3.若 a ln2, b125 2， c cosxdx，则a,b,c的大小关系（ 2。A. a b cB. b a c

3、C.D. b c a【解析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与1比较即可.2a ln2 ln e 1, b 5211.540c1“1c"ccosxdxsinx2_22故选：D本题考查实数大小的比较,考查对数函数的性质,微积分定理,考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.给出下列两个命题：命题P ： “a0, bW0”是“函数y2x ax b为偶函数”的必要不充分条件；命题 q：函数yln函数，则下列命题是真命题的是A. p qB.c. p qD-p q先判断出简单命题q的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假对于命题axa .b为偶函数，则其对称轴为 x 3 0,得

4、a 0,0, bw0” 是“函数ax b为偶函数”的充分不必要条件，命题 p为假命题;对于命题人1 xq,令1 x0,即'1，一1 x0 ,得1 x 1 ,则函数yIn1的定义域为1 x1,11x1x1x1x关于原点对称，且 ln ln ln ln,1x1x1x1x一一 1 x .所以，函数y ln为奇函数，命题q为真命题， 1 x因此，p q、p q、pq均为假命题，p q为真命题，故选： C.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.5 .已知数列an的前n项和为Sn,且对任意n N*都有Sn 2an 1 ,设bn 1

5、0g 2 an,则数列bn的前5项之和为（）A. 11B. 16C. 10D. 15【答案】C【解析】根据Sn 2an 1 ,再写出一个等式Sn 1 22m 1 ,两式相减并化简，由此证明an是等比数列并求解出an的通项公式，然后求解出bn的通项公式，根据通项公式即可求解前 5项之和.【详解】Q Sn 2an 1,a11,Sn12an 11 ，Sn2an 1 ,由和得an 12an , 数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列,an2n1,bnn 1,b1b2b3b4b50 1 2 3 4 10.故选：C.已知an与Sn的关系式，可通过将 n替换为n 1得到新的关系式，再根据an Sn Sn

6、 1 n 2得到 4的递推公式，从而求解出国 的通项公式.r r一 rr r r6 .已知向量a,b满足|aJ2, |b|1,且|b a | J2则向量a与b的夹角的余弦值为（）A. 2B. 2C. 2D. 2【解析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出1,再由向量夹角公式,2即可得出结果r r rrr因为向量a, b满足|a| J2, |b | 1 ,且|bal22,r r 2r 2所以|b a |2,即br 2 r ra 2abr r 所以cos a,br r a b ab122 24故选：C本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值,熟记向量夹角公式， 以及模的计算公式即可，属于常考题型

7、7.已知函数f X的图象如图所示，则函数f X的解析式可能是（A. f x = 4X 4 x x_X XC. f (x)44 log2|x|【答案】CB. f x4x 4 x log2 xDf (x)4x 4 x logx2【解析】根据图像得到函数 f x为偶函数，而且x 1时,f x 0 ,通过排除法排除掉A、B选项，然后通过判断 x 0,1时，f x的值，排除D选项，从而得到答案 【详解】函数f x的图象如图所示，函数是偶函数，x 1时，函数值为0.fx4x4xx是偶函数，但是f10 ,fx4x4xlog? x是奇函数，不满足题意.fx4x4xlog2 x是偶函数，f10满足题意；fx4x

8、4xlogL x是偶函数，f1o,x0,1时，f x 0,不满足题意.2故选C项.【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题4 一，18.右函数y sin x在区间 一,一 上单倜递减，则的取值氾围是（）28 12A.4,0B.2,0【答案】AC.4,04,6 D. 4,6八 一，1,，、【解析】先由题意，得到0 ,函数y sin x在区间一,一上单倜递增,28 12列出不等式组求解，即可得出结果【详解】1,、因为函数 y sin x在区间 一,一 上单倜递减， 28 12当0时，显然不可能，所以0,一，,一，1，、因此，函数 y sin x在区间 一, 上单倜递增,

9、 28 1282所以 一一 ，解得：40.12 20故选：A本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数,熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.uuv uuv9.已知M是ABC'的一点，且 AB AC4/3,BAC 30 ,若AMBC MC保口y 4x MAB勺面积分别为1, x , y ,则 的最小值是（xyA. 2B. 8C. 6D. 9【答案】D【解析】由ABv ACv 4j3,BAC 30 ,可知bc 8,进而求出xySabc - bcsin302y 4x 一.x y 5 y -,利用基本不等式求最小值即可。x y【详解】uuv uuv _ AB AC 4 ,3 ,BAC 30 ,b

10、ccos30 473，化为 bc 8 .C 1 , 一1八1-Sabc bcsin3082222,=y 4x 1 4而xy x y1 x y 2 .则-y 1 ,l y 4x l c y 4x55 2=5+4=9xyxyy 4x- ，一，.一当且仅当y ，即y 2-时取等号, x y,y 4x , 一，八一一，故2的最小值是9,故选：D.xy【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积， 三角形的面积公式，属于中档题。10.已知函数f(x)k(2 xInx),若-2是函数f x的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A. (, eB.0,eC.,eD.0,e【解析】分析：由f

11、x的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：Q函数f- e2 xlnx函数fx的定义域是0,22 x-e kx x 23，xx 2-e x 2xe4xQ x 2是函数f x的唯一一个极值点，一,x 2是导函数f (x)= 0的唯一一个极值点,ex kx 0在0, 无变号零点，令 g xex kx ,x g x e k, '一k 0时，g x0恒成立，g x在0,时单调递增；g x的最小值为g 01, g x 0无解； k 0时，g'(x)=0有解为：x Ink,'0xlnk,gx 0, g x 在 0,ln k 单倜递减，'x In

12、k时，g x 0 , g x在In k,单倜递增，g x的最小值为g In k k kln k ,k kln k 0 k e,由y ex和y ex图象，它们切于 1,e ,综上所述，k e.故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论11 .抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F ,已知点A和B分别为抛物线上的两个动点,且满足 AFB 120 ,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为N ,则|黑的最大值为()A. 3B. 1C. 2-3D. 333【答案】D【解析】先分别过点 A、B作抛物线准线的垂线 AQ、BP,垂直分别为Q、P,连接AF、BF ,设AF

13、 a、 BF b ,根据抛物线的定义，得到 AQ AF a、BP BF b,再由余弦定理，以及基本不等式，即可求出结果【详解】如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线 AQ、BP,垂直分别为Q、P,连接AF、BF ,设 AF a、BF| b,由抛物线的定义可得:AQ AF a、| BP BF b,在梯形 ABPQ 中，2 MN Bp AQ a b,由余弦定理可得:ABI22o 22AF| BF 2 AF|BF cos120 a b ab22(a b) ab (a b)(a b)23(a b)244a ba bMN YY_3ABa2 b2 ab 13 a b 2 3故选：D【点睛】本题主要考查抛物

14、线的应用，熟记抛物线的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.12 .已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2 ABC 90，点B在AC上的射影为D,则三棱锥P ABD体积的最大值为（）A.3.3B ,3B.3、38【答案】D【解析】先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥 P ABD体积最大时n ABD面积最大，进而求出 n ABD的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥 P ABD体积最大值。【详解】如下图，由题意，PA PB PC 2, ABC 90 ,取AC的中点为G,则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以 球心在

15、PG的延长线上，设 PG h,则OG 2 h,所以 OB2 OG2 PB2 PG2,即 4 2 h2 4 h2 ,所以 h 1.故AG CG 串,2.3m过 B作 BD AC 于 D,设 AD x(0 x 273)，则 CD 273 x,设 BD m(0 m 回，则 n ABD n BCD ,故 m x所以m22/3 x x ,则m , 一 ,，一1所以n ABD的面积S -xm 2令 f x273 x x3,贝u f ' x x2(673 4x),3 ” 一 _ 一因为x2 0,所以当0 x J3时，f' x 0,即f x此时单调递增；当23一志x 2J3时，f' x

16、 0,此时f x单调递减。2所以当x 3 J3时，f x取到最大值为当，即n ABD的面积最大值为 216当n ABD的面积最大时，三棱锥 P ABD体积取得最大值为 1 ?J3 啦. 3 88故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、 导数等知识，是一道综合性很强的题目。、填空题x 2y 213.若实数x, y满足 x y 2 ,则z x y的取值范围为 y 2【答案】0,6【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z x y为y x z,得z表示直线 y x z在y轴截距，结合图像，即可求出结果【详解】x 2y 2根据约束条件 x y 2作出可行域如下,由图像可得，当

17、直线 y x z过点A时，在y轴截距最小;当y x z过点B时，在y轴截距最大；x2y2x2由 丫 得 ，即A( 2,2)；y2y2xy2x4由 "得 ，即B(4,2)；y2y2因此 zmin2 2 0, zmax 4 2 6,即z x y的取值范围为 0,6 ；故答案为：0,6【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，以及图像求解即可，属于常考题型.14.观察下列各式:11 212,222115(22一 ,1223231117.八2根据上述规律 ,2232424,则第n个不等式应该为2n 1(n 1)2【解析】根据规律,不等式的左边是

18、1个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结根据规律，不等式的左边是n 1个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列,所以第n个不等式应该是1122321(n 1)22n 1n 111故答案为：1 -231(n 1)22n 1本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中得出不等式的左边是1个自然数的倒数的平方和，右边分母是以 2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题15 .设定义域为

19、R的函数f X满足f x f x ,则不等式ex 1 f x f 2x 1的解集为【答案】（1,）【解析】根据条件构造函数F (x)f x求函数的导数，利用函数的单调性即可得e到结论.设 F (x)则 F' ( x)F' (x) >0,即函数F (x)在定义域上单调递增. ex 1 f x f 2x 1f x f 2x 1< =一，即 F (x) v F (2x 1) x2x 1e e1- x< 2x 1 ,即 x> 1不等式ex1f x f 2x 1的解为1,故答案为：1,本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.116.设

20、 ABC的内角A,B,C的对边长a,b,c成等比数列，cos a c cosB ,77772 *延长BC至D ,若BD 2 ,则 ACD面积的最大值为 .【答案】_!41一 一 1.【斛析】由cos A C cosB 一，可得cosAcosC 一 ,由a,b,c成等比数列，结 24合正弦定理可得sin2B sinAsinC ,两式相减，可求得 B 一,从而得 ABC为正三角形，3设正三角形边长为a , S acda ,利用基本不等式可得结果Q cos A C cosBcos A C cos A CcosAcosC又Qa,b,c成等比数列，b2 ac,由正弦定理可得 sin2B sinAsinC

21、 ,cosAcosC sinAsinC12-得一sin B 4cos A C cosB ,1 cos2B 14cosB ,解得 cosB由 cos A C1-，得 cos A C cosB 1 2A C 0, A B, ABC为正三角形,设正三角形边长为 a,1 o则 CD 2 a, Sacd -AC CDsin120o21.33-a 2 a a 2 a224_2_百 a 2 aY3, a 1时等号成立。444即 ACD面积的最大值为 旦,故答案为 旦.【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于又t题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，

22、三相等”的内涵：一正 是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积 定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参 数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立).三、解答题17.已知在递增的等差数列an中,a12,a3是a1和a9的等比中项(I)求数列an的通项公式；(II)若bZ , Sn为数列bn的前n项和，求Sn . n 1 an【答案】(I) an 2n (II)Sn【解析】(I)根据已知求出d 2,再写出数列 an的通项公式.(II)由题意可知bn12n n 11 11，再利用裂项相消法求和得解2 n n 1【详解】

23、22(I)设公差为d ,因为a3a1a9,所以2 2d 2 2 8d，解得d 2或d 0舍，所以an 2n .（ii）由题意可知:bn2n n所以Sn21【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力2a c cosC18.在 ABC中，设内角A, B, C所对的边分别为a, b, c ,且fac cosC b cosB（1）求角B的大小;(2)求 3 cos2 2AAsincos的取值范围.22-3 3 3【答案】(1) B (2),344【解析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin A sinCsin BcosC cosB '

24、再由两角和的正弦可得 2sinAcosB sin A ,即得 cosB得解;（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得、3cos：sinAcosA1cos C 22求解即可.3解：（1）2a ccosCcosB2sin A sinC 得至Usin BcosCcosB即 2sinAcosB sin BC ,即 2sin AcosBsin A,又二 A为三角形内角，sin A0 ,所以cosB(2)3 cos2csin cos-3 cosC21 . 一 sin A 2旦osC21 . -sin2旦osC41sinC 41cos C 23 3,3 丁,N号cos。6东所以62" 6呼乎.所以3c

25、oC2AAsin cos 的取值范围为22【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.19.已知在多面体 ABCDE 中，DE II AB, AC BC , BC 2AC 4, AB 2DE , DA DC且平面DAC 平面ABC .(1)设点F为线段BC的中点，试证明 EF 平面ABC ;(2)若直线BE与平面ABC所成的角为60°,求二面角B AD C的余弦值.【答案】(1)详见解析(2) 叵4【解析】(1)由四边形DEFO为平行四边形. EF P DO ,再结合DO 平面ABC, 即可证明EF 平面ABC ;(2)由空间

26、向量的应用，建立以 。为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC的法向量urr 一 ,一m 0,1,0 ,平面ADB的法向量n 2百,J3,1 ,再利用向量夹角公式求解即可 .【详解】(1)证明：取AC的中点O,连接EF , OF ,.在 DAC 中 DA DC , DO AC.由平面DAC 平面ABC ,且交线为 AC得DO 平面ABC. O, F 分别为 AC, BC 的中点，OF P AB,且 AB 2OF .又 DE/AB, AB 2DE , OF P DE ,且 OF DE.四边形DEFO为平行四边形. EF P D

27、O ,EF 平面 ABC .（2） DO 平面 ABC , AC BC ,.以。为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.则 A 1,0,0 , C 1,0,0 , B1,4,0 . EF平面ABC，直线BE与平面ABC所成的角为 ebf60°.DOEF BF tan 60°273.D 0,0,2 73 .可取平面ADC的法向量ur m0,1,0r设平面ADB的法向量nx, y, z ,uuuAB2,4,0uuuAD1,0,2 73 ，2x则xcos4y 0L ，取2 3z 0ir r ur r m n m,n，二面角

28、B AD C的余弦值为_ r y/3. n273,73,1 ,本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小,重点考查了空间想象能力，属中档题.20.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央 .从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的 5个出口处各放置一个容器接住小球(I)理论上，小球落入4号容器的

29、概率是多少?(n)一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小千个数为 X ,求X的分布列与数学期望【答案】(I) 1； (n)4X的分布列见解析，数学期望是【解析】(I)若要小球落入 4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；(n)落入4号容器的小球个数 X的可能取值为0, 1,2, 3,算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【详解】解：(I )记“小球落入 4号容器”为事件 A ,若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，4理论上，小球落入 4号容器白概率P(A) C43 12(n)落入4

30、号容器的小球个数X的可能取值为0, 1, 2, 3, P(X 0) C067，p(x 1) C3 427649-37 P(X 3) C3642-211P(X 2) C2-1 -44EXc 270 6464643 64X的分布列为:X0123P27642764964164本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础2X 221.设椭圆C： y2 1的右焦点为F ,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐2标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程;(2)设O为坐标原点，证明： OMA OMB .【答案】(1)AM的方程为yY2xJ2或yxJ2;(2)证明见解析.22【解析】(1

31、)首先根据l与x轴垂直，且过点F 1,0 ,求得直线l的方程为x 1 ,代 入椭圆方程求得点 A的坐标为1,2或1,a2 ,利用两点式求得直线 AM的方程；(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特 殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现， 从而证得结果.【详解】(1)由已知得F 1,0 , l的方程为x 1.由已知可得，点 A的坐标为1,耳或1,所以AM的方程为y -x yf2或y - x V2 . 22(2)当l与x轴重合时，OMA OMB 0o.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 OMA OMB .当l与

32、x轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y k x 1 k 0 , A x1,y1 ,B x2,y2 ,则x J2,x2 J2,直线MA、MB的斜率之和为kMA kMByy2x12x2 2由 ykxk, y2kx? k 得 KmaKmb2kxix2 3k x1 x2 4kx1 2 x2 22k x 1 代入,y2 1 得 2k2 1 x2 4k2x 2k2所以，x1 x22_ 2_4k2k22, x1x22.2k 12k1则 2kxi x2 3 kxi x2333,4k 4k 12k 8k 4k 、4k 2 0.2 k2 1从而KmakMB 0,故MA、MB的倾斜角互补，所以OMA OMB .综上， OMA OMB .【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、 关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程 的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的 时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论22.(本小题满分15分)已知函数f