2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)

1、2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期9月月考数学试题、单选题1.对于直线l : axay 0 a 0 ,下列说法不正确的是(A.无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变B.无论a如何变化，直线l 一定不经过第三象限C.无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限D.当a取不同数值时，可得到一组平行直线【答案】C【解析】 将直线方程化为斜截式方程，即可判断各选项的真假.【详解】1直线l可化为：y x ,所以直线的斜率为1,倾斜角为135 ,所以A正确;1.一直线斜率为 1,纵截距为 0,所以直线经过一，二,四象限，所以 B正确，C错误；直线l是斜率为 1的平行直线系，所

2、以当a取不同数值时，可得到一组平行直线，D正确.故选：C .【点睛】本题主要考查通过直线的方程研究直线的特征，属于基础题.2.唐代诗人李顽的诗古从军行开头两句说：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题'将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系1中，设军营所在的位置为B 2,0 ,若将军从山脚下的点 A -,0处出发，河岸线3所在直线方程为 x 2y 3,则 将军饮马”的最短总路程为()A.叵B. 5C.逗D.我333【答案】A【解析】根据题意，求得点B( 2,0)关于直线x 2y 3

3、的对称点为C(0,4),结合两点间的距离公式，求得BC长，即可求解.【详解】如图所示，设点B(2,0)关于直线x 2y 3的对称点为C(x1,y1),可得V1x12x1222)XC0,yi 4,即 C(0,4)则 |BCJ(0 3)2 (4 0)2145， “一145145,即将军饮马的最短总路程为145-33故选：A.本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化， 求得点关于直线的对 称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算 能力.B 1,0两点连线的斜3.已知直线l:x my J3m 0上存在点 M满足与A 1,0、率kMA与k MB 之积为

4、3,则实数m的取值范围是(C.、6,6B.-6 U6.6666D.首先求出点M的轨迹方程y2 3x2 3,再根据条件转化为x my 73m 0有公共解集，求m的取值范围 y2 3x2 3【详解】设 M x, y ,由于 kMA kMB3,得y3 ,即 y2 3x2 3, xx 1 x 1x my 、3m 01 o 2 2 3联乂 22得13 x =一x 6 0,()y 3x 3mm130 m要满足条件，只需22 ；31242 30mm即m2 -,解得：m /或m -. 666或工 3 0时，m Y3时，代入方程()解得: m3m正时，代入方程()，解得：x 1 ,舍3综上可知:故选：C【点睛】

5、 本题考查轨迹方程，直线与圆锥曲线相交问题，重点考查转化与变形，计算能力，属于 中档题型.4.设直线系 M : xcos y 2 sin 1 , 02 ,对于下列四个命题：(1) M中所有直线均经过一个定点；(2)存在定点P不在M中的任意一条直线上；(3)对于任意整数n , n 3,存在正n边形，其所有边均在 M中的直线上；(4) M中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是()A. (2) (3)B. (1) (4)C. (2) (3)(4) D. (1) (2)【答案】A【解析】首先发现直线系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圆2一 2x2y 21的切线集合，再根

6、据切线的性质判断(1) (3) (4),以及观察得到点0,2不在任何一条直线上，判断选项【详解】因为点0,2到直线系M : xcos y 2 sin 1 02 中每条直线的距离.1,d ：221 ,直线系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圆一 cos sin22x y 21的切线集合.2(1)由于直线系表不圆x2 y 21的所有切线，其中存在两条切线平行，所有M中所有直线均经过一个定点不可能，故(1)不正确；(2)存在定点p不在M中的任意一条直线上，观察知点M 0,2符合条件，故(2)正确;(3)由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数在正n变形，其所有边均在

7、 M的直线上，故(3)正确;(4)如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如4ABE，一类是aBCD ,显然这两类三角形的面积不相等，故(4)不正确.故选：A本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析 问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点 0,2到直线系M : xcos y 2 sin 1 02 中每条直线的距离1d j 221 ,直线系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圆,cos sin2一 2x y 21的切线集合，再判断选项就比较容易、填空题4.5.直线y -x 1的单位法向量是34【斛析】由直线y - x 1可得法向量a

8、34, 3 ,可得其单位法向量为:4解：由直线y - x 1可得法向量a34, 3 ,因此其单位法向量为:4 3,.5 5故答案为:本题考查了直线的单位法向量的求法，属于基础题.6.已知点P 2, 3 ,Q 3,2 ,直线axy 2 0与线段PQ相交，则实数a的取值范围4 13,2【解析】【详解】由直线ax y 2 0,即yax 2 ,此时直线恒过点 A(0, 2),则直线PA的斜率k12 ( 3)0 21-2 2 4,，直线QA的斜率k2-20 331若直线ax y 2 0与线段PQ相交，则 一 24 1所以实数a的取值范围是一,-.3 2点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中

9、把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力7.直线xcos/J3y + 2=0的倾斜角的范围是0,6玲【解析】由题知k= Y3cos q3,结合正切函数的图象，当kC 0, 时，直线倾斜角30,-，当kC,0时，直线倾斜角处36故直线的倾斜角的范围是0,6u 568.过点 10,10且在x轴上的截距是在 y轴上截距的4倍的直线的方程为115一x 42【解析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距

10、的关系求解出直线的方程.当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx，代入10,10 ,所以10k 10,所以k1 ,所以直线方程为y x；当直线不过坐标原点时，设y 10 k x 10 ,所以横截距为10，,一 10,纵截距为 k10k10,所以10k1-x410 4 10k152，故答案为:1,人10 ,解得k 或k 1 （舍），4所以直线方程为152本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况9.已知三条直线l1 ： 4x y 4 0 , I2 : mxy 0, l3：2x 3my 4 0不能围成三角形，则m，12【答案】4或

11、1或一或一63得到三条直线的位置关系，根据位置关系【解析】首先根据三条直线不能构成三角形,列式求m .【详解】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点,41.当 I1/I2 时，一 一，即 m 4 ,当 I1m 1m 1当I2/I3时，一，不成立，2 3m4/ “3 时，一21广，解得:3m当三条直线交于同一点时，联立直线ii和I2,则4xmx4m4y ;m-,即交点为 -m 44 m4mm 4，代入直线l312m2m 40,即23m m 2 0,解得：m，1所以m 4或一或 6故答案为：4或1或21或二.312一或一63本题考查直线与直线的位置关系，重点考查分析问

12、题的能力,属于基础题型10.已知等腰三角形的底边所在直线过点P 2,1 ,两腰所在的直线为7x y 4 0,则底边所在的直线方程是【答案】3x y 7 0或x 3y 1 0【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点M x, y ,利用点M到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程,再由底边所在直线过点P且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程在等腰三角形顶角角平分线上任取一点则点M到直线x y 2 0与7x0的距离相等,由题意可得7x y 47x y 4所以，7x y 4 5 x y2 或 7x y所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为x 3y 7 0或6x 2y 3 0.由于底边

13、与顶角角平分线垂直 .1当底边与直线X 3y 7 0垂直时，且直线x 3y 7 0的斜率为， 3此时底边所在直线方程为 y 13x2,即3xy7 0；当底边与直线6x 2y 3 0垂直时，且直线6x 2y 3 0的斜率为 3,1此时底边所在直线方程为 y 1 1 x 2 ,即x 3y 1 0. 3故答案为：3x y 7 0或x 3y 1 0.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题 11.数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一

14、半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知.ABC的顶点A 2,0 , B 0,4 ,若其欧拉线方程为x y 2 0 ,则顶点C的坐标.【答案】4,0【解析】 设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出 AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【详解】设C m, n ,由重心坐标公式得,ABC的重心为代入欧拉线方程得：2- 土2 0,整理得：m n 4 0 33AB 的中点为 1,2 , kAB 402,0 21AB的中垂线方程为y2 x1,即x2y3 0.2联立x 2y 3x y 2ABC的外心为 1,1l

15、 r2222则 m 1n 13 1 ,整理得：m2 n2 2m 2n 8联立得：m 4,n 0或m 0,n 4.当m 0,n 4时B,C重合，舍去.顶点C的坐标是 4,0 .【点睛】12.已知点P在直线X本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题2y 1 0上，点Q在直线x 2y 3 0上，PQ的中点为M(X0, y°),且y° X0 2 ,则一的取值范围是 .X0【答案】(L 1)25【解析】【详解】注意到两直线是平行的，故点M的轨迹为与两直线的距离相等，且平行于两直线的直0 ,而且满足不等式线，其方程为x 2y 1 0 ,即M ( X0,y°)

16、满足X。2y0 1y0X。2的点都在直线y x 2的左上方问题转化为求射线X02 y010(X。5V。一)上点m( X0, y°)的的取值范围,3X0而"的几何意义是 M ( X0, y0)与原点连线的斜率，故 koM "X0X013 .已知 ， R,直线sin sinysin cosXcos sinycos cos1的交点在直线yX上，则sin cos sin cos【解析】联立方程求交点，根据交点在在直线yX上，得到三角关系式，化简得到答案.交点在直线y1111sinsincossinsincoscoscos1111sinsincoscoscossinsinc

17、ossincossincossincossincos(sinsin)(coscos)(cossin)(sincos )xsin siny sin cosx cos siny cos cos(1 sin sin1cos sin)x (-1 sin coscos cos)y 0(sin sin )(cos观察分母cos )和(cos sin )(sin cos )不是恒相等故 sin cos sin cos 0故答案为：0本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力14.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将"BC分割为面积相等的

18、两部分则b的取值范围是【解析】解法一：先求得直线y=ax+b (a>0)与x轴的交点为M(-2，0),由-？aa可得点M在射线OA上.求出直线和 BC的交点N的坐标，若点M和点A重合，求得b=1 ；若点M在点。和点A之间，求得1 <b< 1 ；若点M在点A的左侧，求得33211 >b>1 - 22_ .再把以上得到的三个 b的范围取并集，可得结果.解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论.【详解】1 一解法一：由题意可得，三角形 ABC的面积为 一AB OC=1,由于直线y=ax+b (a> 0)与x轴的交点为M( - b, 0),a由直线y=ax+b

19、 (a>0)将4ABC分割为面积相等的两部分，可得 b>0,一 b 故一巴切，故点M在射线OA±.ay ax b一设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为x y 1().a 1 a 1若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N ( - , 1 ),22把A N两点的坐标彳t入直线 y=ax+b,求得a=b=-.31., 一，、一若点M在点。和点A之间，此时b> ,点N在点B和点C之间，3，一， 1由题息可得三角形 NMB勺面积等于一，2即1 MB yN = L 即1 1b b =-,可得 a=-b >0,求得 b v1，222 a a 1

20、212b2故有1 <b< 1 .32若点M在点A的左侧，则b< -,由点M的横坐标-< -1,求得b>a.3a设直线y=ax+b和AC的交点为 巳则由 y ax b求得点P的坐标为 y x 1(S, 3)a 1 a 1此时，由题意可得，二角形CPN的面积等于 工，即 1？(1 - b) ?风-xp|= ,222即1 (1 b) ?|L_b L_b|=1 ,化简可得 2 (1 b) 2=|a2-1|.2a 1 a 1 2由于此时 b >a>0, 0< a< 1,2 (1 b) 2=|a2- 1|=1 - a2 .两边开方可得亚(1 - b)=

21、在 a2 v 1，再把以上得到的三个 b的范围取并集，可得b的取值范围应是解法二：当a=0时）直线y=ax+b （a>0）平行于 AB边）2由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得1-b =1 , b=1 - YZ ,趋于最小.，一、2由于 a>0,b>1 .当a逐渐变大时，b也逐渐变大, 当b=1时，直线经过点（0,2），再根据直线平分 ABC的面积，故a不存在，故b<1.222综上可得，1也<b< 1,故答案为本题主要考查确定直线的要素,点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用,考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题.三、解答题

22、15.已知直线l的方程为2x y 1 0.（1）求过点A 3,2 ,且与直线l垂直的直线11方程;（2）求过1与11的交点B ,且倾斜角是直线1的一半的直线12的方程.【答案】（1） x 2y17.5一 x 2【解析】（1）由于直线1垂直直线11 ,所以设直线11为x 2y c 0,然后将点A 3,2坐标代入方程中可求出c的值，从而可得直线11方程;(2)先求出点B的坐标，设直线l的倾斜角为，则直线12的倾斜角为一，然后由正2切的二倍角公式可求出 tan的值，再利用点斜式可求出直线12的方程2【详解】 解：由题意设直线li为x 2y c 0,则322 c 0,得 c 7,所以直线li方程为x

23、2y 7 0,（2）由2x yx 2y0|x，得 ，所以（1,3）0y = 3设直线i的倾斜角为,则直线12的倾斜角为一，tan 2 , 22 tan2 tan因为 tan 2,所以 2 2,即 tan2 tan 1 0 ,1 tan2 -1 tan2 -2222解得 tan 1 或 tan 51 ,2222因为tan 2 0,所以 (。，,)，所以一2（°，-） ,所以 tan 所以直线12的方程为y 31）,即 y7 .52【点睛】此题考查直线方程的求法， 考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查正切的二倍角公式的应用，属于中档题16.已知直线11 ： 3x 4y 70 与 12：3x

24、 4y 8 0.(1)若A x1，y1、B x2,y2两点分别在直线11、12上运动，求 AB的中点D到原点的最短距离；(2)若M 2,3，直线1过点M ,且被直线11、12截得的线段长为375 ,求直线1的 方程.【解析】(1) AB的中点D的运动轨迹为与11、12平行且在它们中间的直线得其斜率,再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.(2)设1的直线方程，分别于11、12联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得1斜率，然后根据点斜式方程求得答案.【详解】(1)因为A x1,y1、B X2, y2两点分别在直线11、L上运动，所以AB的中点D的轨迹为与11、12平行且在它们中间的直线，设

25、其方程为13：3x 4y m 0, 11、12与y轴的交点分别为(0,1)、(0, 2),两点的中点为1， c c /一,所以 13 ：6x 8y 1 20,4一，一,1且中点在直线L所以0 4 ( -) m 0,m8AB的中点D到原点的最短距离即为原点到直线13的距离，为162 82110.(2) 1过M 2,3点且与x轴垂直的直线方程为x 2,.J 一 八 7一、，与1i、12的交点为2,一和2,两点之间的距离为4217 八一 - 2不符合题意, 4 4所以设1的斜率为k ,直线方程为y3 k(x 2),8k 5x y 3 k(x 2)4k 3由直线1与11 y ''即 4k 3,交点为为3x 4y 7 0k 9y 4k 38k 5 k 9,)4k 34k 3由直线1与12y 3 k(x 2)即3x 4y 8 0 y8k 204k 3-上*(8k-20 9-14k1,9 14kI 4k+ 3 4k + 34k 3所以两交点之间的距离为佃-20VI 4k +3X28k 5 + 914k4k +3)4k+3,2-"=3娓 4k+3j-,2解得k2 ,或k,112所求