八上培优半角模型

1、八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90套45的情况，或者120套60的情况。还有2套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页14题1 .如图，四边形ABCW,/A=/C=90,/D=60,AB=BCE、F,分另U在ADCD上，且/EBF=60.求证：EF=AE+CF2 .如图2,在上题中，若E、F分

2、别在AQDC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF（图2）3 .如图,/A=/B=90,CA=CB=4,/ACB=120,/ECF=60,AE=3,BF=2,求五边形ABCD的面积.4 .如图1.在四边形ABC前.AB=AD/B+/D=180,E、F分别是边BGCD上的点，且/BAD=2EAF(1)求证：EF=BE+DF(2)在(1)问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BGCD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.圉1国23.如图3,在四边形ABDC3,/B+/C=180,DB=DC/BDC=120,以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交A

3、RAC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CREF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1 .(1)如图，已知AB=?AC,/BAC=90,?/?MAN=45,过点C作NC?LAC交AN于点N,过点B作BM重直AB交AMT点M,当/MANS/BAC内部时，求证：BM+CN?=MN;证明：延长MB到点G,使BG=CN接AG证ABACN(SAS).AN=AGBAG=,/NAC.L/GAM=GAB+/BAMWCAN+/BAM=45=L/MAN,证AAM降AMG（SAS）,MN=MG=BM+BG=BMNC.证明二：（此证明方法见新观察培优第27页例3）（2）如图，在（1）的条件下，当AM和A

4、N在AB两侧时，（1）的结论是否成立？请说明理由.解：不成立，结论是:MN=CN-BM,证明略.基本模型二120。套602 .如图，ABC中,CA=CB,/ACB=120,E为AB上一点，/DCE=60，/DAE=120,求证:DE=BE证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF,则408ACADCEDCEF,.DE-AD=EF-BF=BE.3 .如图，AABC中,CA=CB,/ACB=120，点E为AB上一点，/DCEhDAE=60,求证:AD+DE=BE.证明:（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证CBFACADCEDACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.比

5、较：新观察培优版27页例4如图，ABC是边长为1的等边三角形，BD混顶角，/BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交ARAC于MN,连结MN,试求AMN勺周长.分析：由于/MDN=60,/BDC=120,所以/BDMf/CDN=60,注意至UDB=DC考虑运用“旋转法”将/BDMm/CD源到一起，寻找全等三角形。另一方面,AMN勺周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN#想MN=BM+C阪三角形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ACB.求A点坐标；(2)如图1,AQ在/CAB内部，P是AQ上一

6、点，满足/ACB=AQB,AP=BQ试判断CPQ勺形状，并予以证明；如图2.BDBC交y轴负半轴于D./BDO=60,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足/CFD吆E=180.当F在AC上移动时，结论：CE+CF值不变；CE-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1)由/A08BOC导AO=BO=2,A(-2,0).(2)由4AC国480。导CP=CQ.(3)由BDBC,/BDO=60,可证得等边ABC.由角平分线和DB_BC的条件，运用对称性知DA1AC,连结DA,加上条件/CFD吆E=180,可证得ADFBDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.基本模

7、型三2。套。4.(1)如图1,在四边形ABC师，AB=AD,/B+/D=180,E,F分别是BC,CD上的点，且/EAF=1/BAD求证:EF=BE+DF;2(2)如图2,在(1)的条件下,若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，贝EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF解:(1)EF=BE+DF,延长FD到点G使DG=BE连接AG,证AABEAADG(SAS),.AE=AG,/BAE=DAG-/EAF=1/BAD,/GAF=DAG+DAF玄BAE吆DAF玄BAD-/EAF=/EAF,./EAF=/GAF,证AAEFiGAF(SAS),.，EF=FG,FG

8、=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF;(2)EF=BEDF.外地试题：4 .探究：如图，点E、F分别在正方形ABCD勺边BGCD上，/EAF=45,连结EF,求证：EF=BE+DF应用：如图，在四边形ABCDK点E、F分别在BCCD上，AB=AD/B+/D=90,/EAF=1/BAD若EF=3,BE=2则DF=.2囱国5 .通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形ABCD勺边BCCD上，/EAF=45,连接EF,求证：EF=BE+DF(1)思路梳理.AB=AD二把AB凝点A逆时针旋转90至ADG可使AB与

9、AD重合./ADG4B=90,./FDGhADG廿ADC=180,贝I点F、DG共线.根据,易证AF,从而得EF=BE+DF类比引申如图2,四边形ABCB,AB=AD/BAD=90点E、F分别在边BCCD上，/EAF=45.若/B、/D都不是直角，但当/B与/D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF请给出证明；(3)联想拓展如图3,在ABC中，/BAC=90,AB=AC点DE均在边BC上，且/DAE=45,猜想BDDE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图1,在四边形ABCB,AB=AD/B=/D=90,E、F分别是边BGCD上的点，且AE=AF/EAFJ/BAD现有三种添加辅

10、助线的方式：延长2EB至G,使BG=BE连接AG延长FD至G,使DG=BE连接AG过点A作AGLEF,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD(2)如图2,在四边形ABC前，AB=AD若/B+/D=180,/EAF=1/BAD2证明(1)中结论是否还成立？(3)如图3,在四边形ABC前，AB=AD/B+/ADC=180,E、F分别是边BGcd延长线上的点，且/eafJ/bad(1)中的结论是否仍然成立？若成立，2请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.图2图38. (1)如图1,在四边形ABCB,AB=AD/B=/D=90,E、F分别是边BG1CD上的点，且/E

11、AF=1/BAD求证：EF=BE+FD2(2)如图2,在四边形ABC前，AB=AD/B+/D=180,E、F分别是边BCCD上的点，且/EAF/BAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；2若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3)如图3,在四边形ABC前，AB=AD/B+/ADC=180,E、F分别是边BG1CD延长线上的点，且/EAF=1/BAD(1)中的结论是否仍然成立？若成立，2请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1.如图1,在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(

12、4,4)圉1图2图3(1)求B点坐标；(2)如图2,若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD/ACD=90,连接OD求/AOD勺度数；(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH过A作x轴垂线交EH于点M连FM等式AM=FM+OF否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作AHOB于E,-A(4,4),.OE=4AOB为等腰直角三角形，且AE1OB，OE=EB=4，OB=8B(8,0);(2)如图所示，作AE!OB于E,DF，。阡F,ACD为等腰直角三角形，AC=DC/ACD=90(3)

13、 AM=FM+O成立，理由：如图所示，在AM截取AN=OF连EN-A(4,4),，AE=OE=4又EANhEOF=90,AN=OF.EANEOF(SAS,即/ACF吆DCF=90,/FDC吆DCF=90,丁/ACF玄FDC又DFCgAEC=90,.DF8ACEA(AAS),EC=DF=4FC=AE-A(4,4),，AE=OE=4FC=OE即OF+EF=CE+EF.OF=CE.OF=DF丁./DOF=45,AO昉等腰直角三角形,，/AOB=45,丁./AOD4AOB它DOF=90;丁/OEFgAENEF=EN又EG也等腰直角三角形，丁./GEH=45,即/OEF吆OEM=45,丁/AEN吆OEM

14、=45又AEO=90,丁./NEM=45=/FEM又EM=EM，AM-MF=AM-MN=AN.NE砰FEM(SAS,，AM-MF=OF，MN=MF即AM=FM+OF【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0(1)求A、B两点坐标;(2)C为线段AB上一点，C点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点，且满足/OCP=45,求P点坐标;(3)在(2)的条件下，过B作BD，OC交O

15、COA分别于F、D两点，E为OA上一点，且/CEANBDO试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.(1)解:V(a-b)2+|b-4|=0,a-b=0,b-4=0,.a=4,b=4,.A(4,0),B(0,4);(2)3.如图，已知A(a,b),AB!y轴于B,且满足|a-2|+(b-2)2=0,(1)求A点坐标；(2)如图1,分别以ABAO为边作等边三角形ABCAOD试判定线段A和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图2,过A作AUx轴于E,点F、G分别为线段OEAE上两个动点，满足/FBG=45,试探究OFAG的值是否发生变化?如果不变，求其值；如FG果变化，请说明理由.20

16、17-2018江汉期中如图点P为4ABC的外角/BCD勺平分线上一点，PA=PB(1)求证：/PAC=PBC作PEBC于E,若AC=5BC=11,求$PCESAPBE(3)若MN分别是边ACBC上的点，且/MPN/APB则线段AMMNBN2之间有何数量关系，并说明理由.解：(1)如图1,过点P作PELBC于E,PFAC于F,.PC平分/DCBPE=PFD、FE由(1)知，RtPAFRtAPEEB，AF=BE.AF=AC+CFBE=BC-CE，AC+CF=BC-CE.5+CF=11-CE，CE=CF=3在RtPAF和RtPEB中,.PF8APECPF=PESPFC=SPEC,P好PB,VRtAP

17、AFRtAPEBRtAPAFRtAPEB,SPAf=SLPEB,丁/PACNPBC一SPCE：SaPBE=SLPFC：SLPFA1_1-_二1CFXPF:ACXPF如图2,过点P作PFAC于F,=CF:AC=3(3+5)=3:8;D,.PEIBCCP是/BCD的平分线,(3)如图3,在BC上截取BQ=AM.PE=PF/PCF之PCE在PMAF口PQB,pc=pc.pc监pce.CF=CE.PM*APQB.PM=PQ/MPA=QRB丁/APMVQPAMAPQ廿QPB即：/APBgMPQ1.一/MPN/APB21./MPN=1ZMPQ2MPN=QPN在MPNff口AQPC中,.MP隼AQPCMN=

18、QN，BN=AM+MN【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF解（2）的关键是求出CE=CF=3解（3）的关键是构造全等三角形判断出/APB之MPQ是一道中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末已知在ABC中，AB=AC射线BMBN在/ABC内部，分别交线段AC于点GH.（1）如图1,若/ABC=60、/MBN=30,作AE!BN于点D,分别交BCBM于点E、F.求证：CE=AG若BF=2AF连接CF,求/CFE的度数；（2）如图2,点E为BC上一点，AE交BMT点F,连接CF,若/BFE之BAC=

19、2/CFE直接写出应由SVACF【分析】（1）由AB=AC/ABC=60得到ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到/BAC之ACB=60,AB=CA求彳导/BFD=/AFG=60,推出/EACyGBA证得GB庠ABAC；根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1,取BF的中点K连接AK由BF=2AF推出FAK是等腰三角形，根据等腰三1角形的性质得到/FAK=/FKA,求得/AKF=2/BFD=30,根据全等三角形的性质得到AG=CEBG=AE/AGB=AEC推出GAKEFC,根据全等三角形的性质得到/CFE之AKF即可得到结论；(2)如图2,在BF上取BK=AF连接的性质得到$abk=S“cf,/AKB之AFC形的性质得到AF=FK即可得到结论.【解答】解：(1)lAB=AC/ABC=60