全等三角形经典题型——辅助线问题

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。1 .等腰三角形“三线合一”法:合一”的性质解题2 .倍长中线：构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线3 .角平分线在三种添辅助线4 .垂直

2、平分线联结线段两端5 .用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6 .图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8 .计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值

3、上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分

4、线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法

5、：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图ABC中，AB=5,AC=3则中线AD的取值范围是解：延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知例2、如图，ABC中，E、F分别在ABAC上，DELDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的EG<BG+BEAB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范围是1<AD<4故：EF<BE+FCAD平分/BAE.例3、如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证:解：延长AE至G使AG=2AE,连BQDG,显然DG

6、=AC/GDC=ACD由于DC=AC故/ADCNDAC在人口8与4ADG中,BD=AC=DQAD=AD/ADB之ADC+ACDhADC吆GDC=/ADG故ADBADG故有/BAD至DAG即AD平分/BAE应用：1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等ABC腰RtACEBADCAE90，连接DE,M、N分另1J是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是线段AM与DE的数量关系是(2)将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理

7、由.解：(1)ED2AM,证明：延长AMED;使MGAM,连BG,则ABGC是平行四边形ACBGBAC180又DAEBAC180ABGDAE再证：DAEABGlDE2AM，延长MN交DE于BAGEDABAGDAH90HDADAH90AMED(2)结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使ACFA,FA交DE于点P,并连接DABA,EAAFBAF90DAFEAD在FAB和EAD中FAAEBAFEADFBADAFABEAD(SAS)BFDEFAENFPDAPEAEN90FBDECMMB1.AM/FB,且AM1FB21AMDE,AM-DE2二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,

8、且AD=BD求证：CDLAC解：(截长法)在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF±AB,故/AFD-90°AD阵ADC(SAS/ACD=/AFD=90°2、如图，AD/BC,EA,EB分别平分/DAB,/CBACD过点E,求证；AB=AD+BC解：（截长法）在AB上取点F,使AF=AD连FEAD®AFE（SAS40°,巳Q分BQ+AQ=AB+BP/ADE=/AFEZADE-+ZBCE=180°ZAFE+ZBFE=180°故/ECB=/EFBFBECBE(AAS故有BF=BC从而;AB=A

9、D+BC03、如图，已知在ABC内，BAC60,别在BC,CA上，并且A巳BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:解：（补短法，计算数值法）延长AB至D,使BD=BP,连DP在等月BPD中，可得/BDP=40°从而/BDR=40°=ZACP AD国ACP(ASA故AD=AC又/QBC40°=ZQCB故BQ=QCBD=BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD43,BOBA,AD=CDB叶分ABC,求证：AC1800解：(补短法)延长BA至F,使BF=BC连FD BD阵BDC(SAS故/DFB=/DCB,FD=DC又AD=CD故在等腰BFD中/DFB

10、=/DAF故有/BAD吆BCD=180°AB-AC>PB-PC5、如图在ABC中，AB>AC,/1=/2,P为AD上任意一点，求证解：（补短法）延长AC至F,使AF=AB,连PD AB国AFP（SAS故BP=PF由三角形性质知PB-PC=PF-PC<CF=AF-AC=AB-AC应用:如囹,在四为后中t.W/口仃，点E培丹Sh-个前点、.若乙"=出尸5月=m;.H/MC=60、判新，+4E与BC的美系并证明岭的结检一分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有BCADAE连

11、接AC,过E作EFBC并AC于F点则可证AEF为等边三角形即AEEF,AEFAFE60CFE120又AD/BC,B60BAD120又DEC60AEDFEC在ADE与FCE中EADCFE,AEEF,AEDFECADEFCEADFCADBCADAE点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。、平移变换例1AD为dABC的角平分线，直线MNLAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为pA,EBC周长记为PB.求证PB>PA.解：（镜面反射法）延长BA至F,使AF=AC,连FE人口为ABC的角平分线，MNXAD知/FAE=/CAE故有FAECAE(S

12、AS故EF=CE在BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACRBC=例2如图，在ABC的边上取两点0E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.Vbd=ce,.DM=EM,.,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理bn=ca.延长ND交AB于P,WJBN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得bn+bp+dp+pa>pn+ad,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,.AB+AC>AD+AE。四、借助角平分线造全等1

13、、如图，已知在ABC中，/B=60°,ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：OE=ODdc+ae=ac证明(角平分线在三种添辅助线，计算数值法)/B=60贝叱BAC+ZBCA=120度；AD,CE均为角平分线，WJ/OAC+/OCA=60S=ZAOE=ZCOD;/AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;/OAE=/OAF.则，OAE0AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60度.则/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;又CO=CO;/OCD=/OCF.故，OCD0AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=

14、ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分/BAGDGLBC且平分BC,DUAB于E,DF,AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD,DCDG直平分BC,故BD=DC由于AD平分/BACDE±ABTE,DF±AC于F,故有ED=DF故RTADBERTADFC(HL)故有BE=ORAB+AC=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问

15、题：(1)如图，在ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在ABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：(1)FE与FD之间的数量关系为FEFD(2)答：(1)中的结论FEFD仍然成立。证法一：如图1,在AC上截取AGAE,连结FG -12,AF为公共边， AEFAGF AFEAFG,FEFGB60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线2 360AFECFDAFG60CFG60

16、3 4及FC为公共边CFGCFDFGFD FEFD证法二：如图2,过点F分别作FGAB于点G,FHB60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 可得2360,F是ABC的内心GEF601,FHFG又HDFB1GEFHDF，可证EGFDHF FEFD图1BC于点H图2五、旋转例1正方形ABCD43,E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABGWJGE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF又/EAF+/BA

17、E+/DAF=90所以/EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMLDN,DM,DN别交BC,CA于点E,F。当MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CDLAB,CD=DACD平分/BCA=90°,/ECD=/DCA=45°由于DMLDN有/EDN=90°由于CDAB,有/CD=90°从而/CDE=/FDA=故有CD国ADF(ASA故有DE=DFSaabc=2,S四DEC=SAAC=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120

18、6;,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则AMN的周长为;解：(图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM.ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且/BDC=120,/MBD=/MBC+/DBC=60+30°=90°,ZDCE=180-ZACD=180-ZABD=90,又BM=CE,BD=CD,.CDEABDM,./CDE=/BDM,DE=DM,/NDE=/NDC+/CDE=/NDC+/BDM=/BDC-/MDN=120-60=60°,.在DMN和D

19、EN中，DM=DE/ MDN=/EDN=60DN=DN/ .DMNDEN,.MN=NE/ 在DMA和DEF中，DM=DE/ MDA=60-/MDB=60-/CDEWEDF(/CDE=/BDM)/ DAM=/DFE=30.DMNDEN(AAS),MA=FEAMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用:1、已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,ZABC120,/MBN60、/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.当/MBN绕B点旋转到AECF时（如图1）,易证AECFEF.当/MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上

20、述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.解：(1)ABAD,BCCD,ABBC,AECF ABECBF(SAS); ABECBF,BEBF ABC120,MBN60 ABECBF30,BEF为等边三角形1 BEEFBF,CFAEBBE2 AECFBEEF(2)图2成立，图3不成立。证明图2,延长DC至点K,使CKAE,连接BK贝UBAEBCKBEBK,ABEKBC FBE60,ABC120FBCABE60FBCKBC60KBFFBE60 KBFEBFKFEF KCCFEF即AECFEF图3不成立，AE、CF、EF的关系是A

21、ECFEF2、(西城09年一模)已知：PA=&,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/APB的大小.分析：(1)作辅助线，过点A作AEPB于点E,在RtPAE中，已知APE,AP的值，根据三角函数可将AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB,可得PADPAB,求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在Rt

22、PPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G,在RtAEG中，可求出AG,EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF,在RtPDF中,根据勾股定理可将PD的值求出；(2)将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB,PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PBPPPB可求PB的最大值，此时APB180APP135.DACEB解：(1)如图，作AEPB于点ERtPAE中，APB45,PA<2AEPE212PB4BEPBPE3在RtABE中，AEB90AB.AE2BE2.10解法一：如图，因

23、为四边形ABCD为正方形，可将将到PAB,可得PADPAB,PDPB,PAPAPAPAPP45,PPB90PP2,PA2PDPBPP2PB2.2242解法二：如图，过点于G.P作AB的平行线,与DAPAD绕点A顺时针旋转90得的延长线交于13两侧在RtAEG中,可得AGAEAEcosEAGcosABE,10"V，eg105中,在Rt可得PFGPFABE25PDPAD绕点A顺时针旋转90，得到(2)如图所示，将的最大值PGcosFPGPGcosPAB,PPB中，PBPPPB,PP.2PA2,PB当P、P、B三点共线时，PB取得最大值(如图)此时PBPPPB6,即PB的最大值为6此时AP

24、B180APP1353、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点MDN60,BDCBM、NC、2EGFGPD的最大值，即为PBPGPE4且P、D两点落在直线AB的M、N,D为AABC外一点，且120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时,MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.D图1图2图3（I）如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q；L（II）如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延

25、长线上时，若AN=X,则Q=（用X、L表示）.分析：（1）如果DMDN,DMNDNM,因为BDDC,那么DBCDCB30,也就有MBDNCD603090,直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC,DMDN,根据HL定理，两三角形全等。那么BMNC,BMDDNC60,三角形NCD中，NDC30,DN2NC,在三角形DNM中，DMDN,MDN60,因此三角形DMN是个等边三角形，因此MNDN2NCNCBM,三角形AMN的周长QAMANMNAMANMBNCABAC2AB,三角形ABC的周长L3AB,因此Q:L2:3.（2）如果DMDN,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E,使CEB

26、M,连接DE.（1）中我们已经得出，MBDNCD90,那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MBCE,BDDC,因此两三角形全等，那么DMDE,BDMCDE,EDNBDCMDN60,三角形MDN和EDN中，有DMDE,EDNMDN60,有一条公共边，因此两三角形全等，MNNE,至此我们把BM转换成了CE,把MN转换成了NE,因为NECNCE,因此MNBMCN.Q与L的关系的求法同（1）,得出的结果是一样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作CDHMDB,三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的DCHMB90,我们做的角BDMCDH,BDCD,因此两三角形

27、全等（ASA）.那么BMCH,DMDH,三角形MDN和NDH中，已知的条件有MDDH,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道MDNHDN,因为CDHMDB,因此MDHBDC120,因为MDN60,刃B么NDH1206060,因此MDNNDH,这样就构成了两三角形全等的条件.三角形MDN和DNH就全等了.那么NMNHANACBM,三角形AMN的周长QANAMMNANABBM1.ANACBM2AN2AB.因为ANx,ABL,因此3角形AMN的周长解：(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系:Q2BMNCMN；此时_.L3(2)猜想：结论仍然成立.证明：如图2,延长AC至E,使CE BD

28、CD,且BDC120DBCDCB30又ABC是等边三角形 MBDNCD90在MBD与ECD中BMCEMBDECDBDDCMBDECD(SAS)DMDE,BDMCDEEDNBDCMDN60在MDN与EDN中DMDEMDNEDNDNDN MDNEDN(SAS) MNNENCBMACAMBMANNCABAC2AB故AMN的周长QAMANMN而等边ABC的周长L3AB,Q2jaB2L3AB3(3)如图3,当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若ANx,则Q2x?L(用3x、L表不').点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形

29、时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图1所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块第4题图23. （8分）已知，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,点D是AB边上的中点，点E在AC边上，点F在BC边上，且AE=CF。试探究DE、DF两条线段之间的关系，并说明理由。第23题图24. （8分）用两个全等的等边三角形MBC和MCD拼成四边形ABCD,把一个含60角的三角尺与这个四边

30、形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别于四边形的两边BC、CD相较于点E、F察或测量当三角尺的两边分别与四边形的两边b如图傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由1）中得到的结论还成立吗？并说明理由解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料1）的条件下，连接ACA作AM±AC交CB的延长线于M°（不必说明理由）90,AB=AD王师傅现在有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图：若不能，简要证明理由。观察并猜想CE与MF的数量关25.（10分）（1）如图（1）,正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE,过点A作A