全等三角形与旋转问题专题练习

1、全等三角形与旋转问题专题练习中考要求知识点睛板块考试要求A级要求E爨要求C爨要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角彩掌握全等三角影的概念判定和性质，会用全等三角影的性质和判定解决简单问题会逶用全等三角卷的性质和判定解决有关同题基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度日，得到图形G',这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，0叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形.很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角.旋转变换多用在等腰三角形

2、、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演.重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相

3、互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是.B【解析】A【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心。A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到【解析】D【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边4ABC和等边CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有。A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】C【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，MCM、A

4、CBN是等边三角形.求证:AN=BM.NC【解析】.MOM、ACBN是等边三角形，1 .MC=AC,ON=CB,.AON=./MOB2 .MON9AMCB,.AN=BM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形.AE分【例5】如图，B,C,E三点共线，且"BC与ADCE是等边三角形，连结BD,别交AC,DC于M,N点.求证：CM=CN.【解析】-.MBC与ADCE都是等边三角形3 .BC=AC,CD=CE及ZACB=/DCE=60*.B,C,E三点共线BCD.DCE=180,.BCA.ACE=180ZBCDZACE=120在MCD与MCE中BC=ACUBCD=/ACE.AB

5、CD9MCE,DC=EC/CAN/CBM/BCD=/ACE=120：/BCM=/NCE=60ACD=60在mCM与AACN中BC=AC仔BCM=ACN=60°.BCMMCN,.CM=CN./CBM/CANCF【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，MCM、ACBN是等边三角形.求证:平分ZAFB.【解析】过点C作CG-LAN于G,CH_LBM于H,由MCN且&MCB,利用AAS进而再证mCH9ANCD,可得到CG=CH,故CF平分/AFB.【补充】如图，点C为线段AB上一点，AACM、忍BN是等边三角形.请你证明：AN=BM;DEIIAB;CF平分ZAFB.【解析】此图是旋

6、转中的基本图形.其中蕴含了许多等量关系.ZMCN=60；与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：.AFC=.BFC;AN=BM,CD=CE,AD=ME,ND=BE;AM/CN,CM/BN;DEIIABMCN9iMCB,MDCAMCE,颂DCiBEC;DEC为等边三角形.(l)-.MCM、iCBN是等边三角形，1 .MC=AC,CN=CB/ACNZMCB2 .MCN9AMCB,.AN=BM由MCN9iMCB易推得ANDC姐EC,所以CD=CE,又/MCN=60,进而可得ADEC为等边三角形.易得DEIIAB.过点C作CG_LAN于G,CH

7、_LBM于H,由MCNAMCB,利用AAS进而再证ABCH9ANCD,可得/AFC=/BFC,故CF平分ZAFB.【例6】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：AE=CG.【解析】/ZADC=/EDGCDG=ADE在CDG和MDE中CD=AD仔CDG=/ADE/.iCDG9MDE，AE=CGDG=DE【例7】如图，点C为线段AB上一点，CM、ACBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：ACDE是等边三角形.【解析】.MONAMCB,-AN=BM,NABM=NANC又D、E分别是AN、BM的中点，.iBOE9ANOD,

8、.OE=CD,/BCE=/NCDZDOEZNCDZNCEZBCEZNCEZNCB=60iCDE是等边三角形【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角B.直角三角形D.非等腰三角形形MBO和AODE(ZAOE<120°),点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则AOPM是。A.钝角三角形C.等边三角形【解析】易得MODABOE.所以ABOE可以看成是MOD绕着点O顺时针旋转60口而得到的.又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故OP就是OM绕着点O顺时针旋转60°而得.所以OP=OM且，/POM=60°,故AOPM是等

9、边三角形，选O.【例8】如图，等边三角形MBO与等边ADEO共顶点于O点.求证：AE=BD.【解析】ABO是等边三角形，/AOB=601AO=BO./BOD+/DOA=60二同理/AOE+/DOA=60°,DO=EO.，/BOD=/AOE在mOD与MOE中，BO=AO，/BOD=/AOE/.ABODMOE,.BD=AE.DO=EO【例9】如图，D是等边MBO内的一点，且BD=AD,BP=AB,NDBP=NDBO,问/BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.连接CD,将条件BD=AD,1得.BCD=.ACDACB2BD=BD（公共边），知回P的度数是定值.【例10

10、】（2005年四川省中考题）如图,BP=AB这两个条件，易得iACDABCD(SSS),=30©,由BP"BBNDBP=NDBC,BDC(SAS),2BPD=/BCD=30，故/BPD等腰直角三角形ABC中，ZB=90°,AB=a,O为BE十BF为定值.【解析】连结OB由上可知，/1+/2=90:/2+/3=90,/1=/3,而/4=/C=45)OB=OC.,.ADBEAOCF,，BE=FC,，BE+BF=CF+BF=BC=a.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F,求证:AE+CF=AB.【解析】正方形ABCD中，/1=/2=45

11、*,OA=OB而N3+/4=90%Z4+75=90°，/3=/5,，MOE0ABOF.AE=BF,，AE+FC=BF+FC=BC=AB【例11】（2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA1AF.求证：DE=BF.FEFBC【解析】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,ZBAD=NADE=NABF=90;因为EA±AF,所以ZBAF+/BAE=/BAE+/DAE=901所以ZBAF=/DAE,故RtMBFRtAADE,故DE=BF.【补充】如图所示，在四边形ABCD中，/ADC=/ABC=90,AD=CD,DP_

12、LAB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长。【解析】如图，过点D作DE_LDP,延长BC交DE于点E,容易证得AADPACDE（实际上就是把MDP逆时针旋转90°,得到正方形DPBE）.正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16,DP=4.【例12】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF=45*,AH_LEF,H为垂足，求证：AH=AB.【解析】延长CB至G,使BG=DF,连结AG,易证ABGADF,/BAG=/DAF,AG=AF.再证AEGAEF,全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有AH=AB.【例13】（1997年安徽省初中数学

13、竞赛题）在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M、N,使/MCN=45"，记AM=m,MN=x,BN=n,则以x、m、n为边长的三角形的形状是。A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的变化而变化【解析】如图，将iCBN绕点C顺时针旋转90%得ACAD,连结MD,则AD=BN=n,CD=CN,/ACD=/BCN,.ZMCD=/ACM+/ACD=/ACM+/BCN=9045'=45：'=/MCN.2iMDC92WINC,，MD=MN=x又易得NDAM=453+45-90,.在RtZAMD中，有m2+n2=x2,故应选(B)【巩固】于点E.如图，正方形AB

14、CD的边长为1,点F在线段CD上运动，AE平分ZBAF交BC边求证：AF=DF+BE.设DF=x(0wxw1),MDF与AABE的面积和S是否存在最大值？若存在,求出此时x的值及S.若不存在，请说明理由.【解析】证明：如图，延长CB至点G,使得BG=DF,连结AG.因为ABCD是正方形，所以在RtMDF和RtMBG中，AD=AB,ZADF=/ABG=90°,DF=BG. RtMDF9RtMBG(SAS),AF=AG,ZDAF=/BAG.又AE是/BAF的平分线. /EAF=/BAE,NDAF+/EAF=ZBAG+NBAE.即.EADZGAE. AD/BC,ZGEA=/EAD,ZGEA

15、=/GAE,AG=GE.即AG=BG+BE.AF=BG+BE,得证.11S=SadfSabe=-DFAD-BEAB.AD=AB=1,1S=1DFBE由知，AF=DF+BE,所以s=1af.2在RtMDF中，AD=1,DF=x,21-9.AF=&2+1,，S=/x+1.由上式可知，当x2达到最大值时，S最大.而0wxw1,所以，当x=1时，S最大值为，收+1&.22【例14】（通州区2009一模第25题）请阅读下列材料:已知：如图1在RtiABC中，/BAC=90口，AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点，若/DAE=45。.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小

16、明的思路是：把MEC绕点A顺时针旋转90。得到MBE连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.【解析】de2=bd2+ec2证明：卞据MEC绕点A顺时针旋转90cl得到MBEHAAECAABE' .BE'=EC,AE'=AE,/C=/ABE',/EAC=/EAB在RtMBC中AB=AC/ABC/ACB=45.ABC.ABE=90即.EBD=90

17、 EB2BD2;ED2又/DAE=45°ZBAD./EAC=45 .EAB.BAD=45即.EAD=45 AAED里MEDDE=DE.222 DE=BDEC关系式DE2=BD2+EC2仍然成立证明：将MDB沿直线AD对折，得MFD,连FEMFDMBDAF=AB,FD=DB/FAD=/BAD,ZAFD=ZABD又AB=AC,AF=AC.FAE=/FAD.DAE=/FAD45.EAC=.BACBAE=90'-/DAEDAB=45.DAB.FAEu/EAC又AE=AEMFE9MCEFE=EC,ZAFE=/ACE=45*ZAFDZABD=180/ABC=135.DFE-.AFD-/A

18、FE=135-45,=90.,在RtiDFE中DF2+FE2=DE2即DE2=BD2+EC2【例15】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，AABC是边长为1的正三角形，犯DC是顶角为120口的等腰三角形，以D为顶点作一个60的/MDN,点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长。【解析】如图所示，延长AC到E使CE=BM.在ABDM与加DE中，因为BD=CD,/MBD=/ECD=90,，BM=CE,所以如DM9ACDE,故MD=ED.因为/BDC=120'，/MDN=60,所以/BDM+/NDC=60”.又因为/BDM=/CDE,所以NMDN=NEDN=60.在加ND

19、与AEND中，DN=DN,2MDN=/EDN=60,，DM=DE,所以AMND9AEND,则NE=MN,所以MMN的周长为2.【例16】在等边乱BC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为&ABC外一点，且/MDN=60%/BDC=120。BD=CD,探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系及MMN的周长与等边AABC的周长L的关系。图图如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN量关系式如图，当点M,N在边AB,AC上，且DMDDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，

20、若AN=xUQ=（用x,L表木）【解析】BM+NC=MN;Q=-L3RA（2）猜想：仍然成立证明：如图，延长AC至E,使CE=BM,连接DE"：BD=CD,且/BDC=120%/DBCZDCB=30由AABC是等边三角形，MBD=/NCD=90°,二MBDAECD(SAS).DM=DE/BDMZCDE/EDNZBDCZMDN=60在AMDN与iEDN中DM=DEMDN=EDNDN=DNMDNEDN(SAS).MN=NE=NCBMAMN的周长Q=AM+AN+MN=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边ABC)周长L=3ABQ2L322x2L3【补充】(1)如

21、图，在四边形ABCD中，AB=AD,/B=/D=90口，E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=1/BAD.求证：EF=BE+FD;2(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=1/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2【解析】证明：延长EB到G,使BG=DF,联结AG.,-ZABG=/ABC=/D=90*,AB=AD,:MBG9MDF.：AG=AF,/1=/2.1：/1+/3=/2+/3=/EAF=/BAD.2：/GAE=/EAF.又AE=AE,:MEGMEF.EG=EF.EG=BE+BG.：EF=BE

22、+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.【例17】平面上三个正三角形ACF,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分.【解析】连接DE与DF/DBA=/EBC,/BAD=/CAFDBE=.ABC,.BAC-.DAF，在iDBE与MBC中DB=AB'ZDBE/ABCBE=BC .DBE9MBC(SAS) .DE=CA=FC在ADFA与伯CA中DA=BADAF=.BACIAF=AC .DFA9ABCA(SAS).DF=BC=EC .DECF为平行四边形， .EF,CD互相平分.【例18已知：如图，AABC、ACDE、任HK都是等边三角形，且A、D、K共线,AD=D

23、K.求证：AHBD也是等边三角形.【解析】连结EB,.CE=CD,CE=EA,BE=AD,所以BE=AD,并且BE与AD的夹角为60°,延长EB交AK于M,贝U.EBH=360,一/BHD-/HDE-/BED=300,_/HDM_/MDE-/MED二180,一/HDM18060,一/MDE-/MED)二180,一/HDM=HDK.又因为HK=AD=BE,BH=HD.所以iBEH省ADKH.所以HK=HE,ZEHD=/EHD+ZDHK=NBHE.ABEF与ACGH,AD为=CF;(2)MFuMH【例19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在ABC外面作正方形ABC的高，【解析】证明ABH

24、AFC;(2)作FP_LMD于P,HQ_LMD于Q,先证AFPZBAD,ACD0ZHAQ,再证FPM0出QMABDE、ACFG,求证：CE=BG,且【补充】以4ABC的两边AB、AC为边向外作正方形【解析】易证MEC省AABG,故/ACE=/AGB,又AC_LAG,NAOG=/BOC,故CE_LBG.【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，在五边形ABCDEAB=CD=AE=BC+DE=1,求此五边形的面积中，/B=/E=901FCE1BG.【解析】我们马上就会想到连接AC、AD,因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断我们回到已知条件中去，注意到BC

25、+DE=1,这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC拼接到DE的一端且使EF=BC呢（如图所示）？据此，连接AF,则发现MBC0&AEF,且FD=1,1AF=AC,AE=AB,MDF是底、局各为1的三角形，其面积为，而AACD与2MFD全等，从而可知此五边形的面积为1.【例21（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形ABCDE中，已知AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180'，连接AD,求证：AD平分ZCDE.连接AC.由于AB=AE,/ABC+/AED=180.我们以A为中心，将MBC逆时针旋转到MEF的位置.

26、因AB=AE,所以B点与E点重合，而ZAEF+ZAED=/ABC+/AED=180,所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AF=AC,EF=BC.所以DF二DEEF=DEBC=CD.在MCD与MFD中，因为AC=AF,CD=FD,AD=AD,故MCD01AFD,因此/ADC=/ADF,即AD平分/CDE.逐庭作业5）1 .如图，已知MBC和MDE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC+CD相等的理由.答案：=AC=AB,ZCAE=ZBAD,AE=AD.1.mecmdbCE=BD又BD=BCCD=ACCDCE=ACCD2 .（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF_LDE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.答案：ZADC=NEDF.ADE=/CDF在MDE和MDF中4?DAE=.DCFAD=CDI/ADE=.CDFMDE9工DFDE=DF3.（2008山东）在梯形ABCD中,AB/CD,/A=9