高考数学总复习第五节　数列的综合与数列背景问题

1、关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第六章第六章 数列数列第五节第五节数列的综合与数列背景问题数列的综合与数列背景问题必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.了解数列是一种特殊的函数,会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 考点一等差、等比数列的综合问题考点一等差、等比数列的综合问题关键能力 突破 典例典例1(1)(2

2、019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是16.(2)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.求an的通项公式;求b1+b3+b5+b2n-1.关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析(1)设数列an的公差为d,则解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+2=16.(2)设等差数列an的公差为d.因为a1=1,a2+a4=10,所以2a1+4d=10,解得d=2.所以an=2n-

3、1.设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.又b1=1,所以q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.1111()(4 )70,9 8927,2ad adadad8 72则b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.312n关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 名师点评名师点评等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)基本量法:两组基本公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为关于基本量的方程(组)的求解问题.(2)设置中间问题:分

4、析已知条件和求解目标,为最终解决的问题设置中间问题,如解决求和问题时通常需要先求出通项公式.(3)注意解题细节:如果等比数列的公比不能确定,那么要看其是否有等于1的可能.关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (2020荆门龙泉中学模拟)已知正项等比数列an满足a1=2,a3a7=322,数列bn的前n项和Sn=n2-n.(1)求an与bn的通项公式;(2)设cn=求数列cn的前2n项和T2n.*n*na ,21,N ,b ,2 ,N ,nkknk k关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放

5、；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析(1)设正项等比数列an的公比为q(q0),由题意知,a3a7=322,则a5=a1q4=2q4=32,解得q=2或q=-2(舍去),则an=a1qn-1=2n,nN*.当n2,nN*时,bn=Sn-Sn-1=n2-n-(n-1)2+(n-1)=2n-2,当n=1时,b1=S1=12-1=0满足上式,所以bn=2n-2,nN*.(2)由题意知,当n为奇数时,cn=an,当n为偶数时,cn=bn,则T2n=c1+c2+c2n=c1+c3+c2n-1+c2+c4+c2n=(2+23+22n-1)+(2+6+4n-2)=+2n+

6、425a2 (14 )14n(1)2n n=+2n2-.2123n23关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 考点二数列在实际问题与数学文化问题中的应用考点二数列在实际问题与数学文化问题中的应用典例典例2(1)(2020课标理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(

7、不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块C关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (2)(2020四川宜宾高三期末)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层,每一层的数量是它下一层数量的2倍,这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有1016个“浮雕象”,则正中间那层的“浮雕象”的数量为()A.508B.256C.128D.64D关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超

8、链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析(1)由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,每一环扇面形石板的块数构成以a1=9为首项,9为公差的等差数列an,且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1,中层总数为S2,下层总数为S3,S3-S2=-9(n+1)n+9=9n2=729,解得n=9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)279+9=279+27139=27149=3402(块).故选C.(2)根据题意,可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2的等比数列an,设最下层的“浮雕象”的数量为a1,an的前n项和为

9、Sn,则S7=(1)9(21)92n nnn(1)2n n27262关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 =1016,解得a1=8,因为“浮雕象”共有7层,所以正中间那层为第4层,其“浮雕象”的数量为a4=823=64.71(1 2 )1 2a关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 名师点评名师点评数列应用问题常见模型(1)等差模型:如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值,那么该模型是等差模型,增加(或减少)的量

10、就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数,那么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系,或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (2020安徽六安高三月考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”

11、其大意为:“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第四天走的路程为()A.12里B.24里C.36里D.48里B关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析 该人从第一天起每天走得路程记为an,则an是公比为的等比数列,设an的前n项和为Sn,则S6=378,解得a1=326,an=327-n,a4=327-4=24.即该人第四天走的路程为24里.1261112112a关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有

12、“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 考点三数列的创新问题考点三数列的创新问题典例典例3(2020课标理,12,5分)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)=aiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001

13、D.110011m1mi15C关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析 C(1)=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a1),C(2)=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a1+a5a2),C(3)=(a1a4+a2a5+a3a6+a4a7+a5a8)=(a1a4+a2a5+a3a1+a4a2+a5a3),C(4)=(a1a5+a2a6+a3a7+a4a8+a5a9)=(a1a5+a2a

14、1+a3a2+a4a3+a5a4).对于A,C(1)=,C(2)=,故A不正确;对于B,C(1)=,故B不正确;对于D,C(1)=,故D不正确;对于C,C(1)=,C(2)=0,C(3)=0,C(4)=,C正确.1515151515151515152535251515关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 名师点评名师点评(1)数列中的创新问题的类型有:定义新概念、定义新规则、创设新情境等.(2)解决此类问题一般要仔细阅读并领会题目条件所给的新概念、新规则等,应用新概念、新规则解决问题,或把问题转化为等差、等比

15、数列问题加以解决.关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出,是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数(x)=n-x=+,我们经常从无穷级数的部分和+入手.已知正项数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=,则=18(其中x表示不超过x的最大整数).1n11x12x13x11x12x13x1xn121nnaa12100111SSS关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 解析解析当n

16、=1时,a1=S1=,即a1=,即=1,an0,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1,2Sn=an+=Sn-Sn-1+,Sn+Sn-1=,-=1,是以1为首项,1为公差的等差数列,=n,an0,Sn0,Sn=,2(-)=1时,2(-)+(-)+(-1)=2(-1)18,S2(-)+(-)+(-1)+1=2(-1)+1=19,即18SS10(2),Sn(3)Sn(2).所以工作时间等于或大于10天时,选择第三种方案.关键能力 突破 学科素养 提升 数列的实际应用问题一般以等差、等比数列为背景,最终转化为求数列的通项或求数列的和的问题,体现了数学核心素养中的数学建模和数学运算.关键能力 突破 学科素养 提升 某厂2019年的投资额和利润逐月增加,投入资金逐月增长的百分率相同,利