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1、四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158有一个约束条件的条件极值有一个约束条件的条件极值推导三元函数在一个约束条件推导三元函数在一个约束条件下取得极值的必要条件下取得极值的必要条件四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158设函数设函数 u=f(x,y,z) 在点在点 (x, y, z) 处取得满足约处取得满足约束条件束条件 的极值。的极值。由隐函数知识，该约束条件的方程可以确定由隐函数知识，该约束条件的方程可以确定一个二元函数一个二元函数 z=z(x, y)。将这个二元函数代。将这个二元函数代入目标函数，则二元函数入

2、目标函数，则二元函数u=f(x, y, z(x, y)=u(x, y) 在点在点 (x, y) 处取得极值。由二元函数极值的处取得极值。由二元函数极值的必要条件，必要条件，( , , )0 x y z0(1)xzuzffxx0(2)yzuzffyy四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158另一方面，将二元函数另一方面，将二元函数 z=z(x, y)代入约束条代入约束条件方程，得恒等式：件方程，得恒等式：( , , ( , )0 x y z x y以上等式两端分别对以上等式两端分别对 x和和y 求偏导数，得求偏导数，得0(3)xzzx0(4)yzzy四川大学

3、数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158由由 (1), (2), (3), (4) 式得式得由此得到：由此得到：xxzzfzfx yyzzfzfy yxzxyzfff即两个梯度即两个梯度 和和在取得条件极值的点处平行。在取得条件极值的点处平行。这就是函数这就是函数 u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 处取得满足约处取得满足约束条件的极值的必要条件。束条件的极值的必要条件。,xyzffff ,xyz 四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158约束条件约束条件 ( , , )uf x y z函数函数 取得满足取得满足( , , )0 x y z/f的极值的必要条件是：的极值的必要条件是：命题命题yxzxyzfff即即四川大学数

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