定积分应用(平面图形面积)课件

1、定积分应用(平面图形面积)定积分应用(平面图形面积)回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 定积分应用(平面图形面积)ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(1ix ix求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; (2)近似求和: (3)取极限: niiixfA10)(lim 定积分应用(平面图形面积)二

2、、平面图形的面积 由曲线yf上(x)、yf下(x)及直线xa、 xb所围成的图形的面积如何求？ 所求图形的面积为：讨论：讨论： dxxfxfSba)()(下上。 y=f上(x)y=f下(x)Ox yabx x+dx定积分应用(平面图形面积)xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积|( )|baAf xdx曲边梯形的面积曲边梯形的面积21|( )( )|baAfxf xdx一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x 定积分应用(平面图形面积)例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积

3、.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 定积分应用(平面图形面积)例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( x326xxx,3 , 0)2( x23(6 )xxx2xy xxy63 定积分应用(平面图形面积)于是所求面积于是所求面积dxxxxA)6(2023 dxx

4、xx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式定积分应用(平面图形面积)ab S 4S1 4dxxaaba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyO y22xaab S1 则椭圆的面积为 解：解：设椭圆在第一象限的面积为S1。 S 4S1 4dxxaaba0220 由曲线yf上(x)、yf下(x)及直线xa、xb所围成的图形的面积为 dxxfxfSba)()(下上。 例 1 求椭圆12222byax所围成的图形面积。 例例3定积分应用(平面图形面积)解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2(

5、422xyxyxy22 4 xy选选 为积分变量为积分变量x0,8x(1)0, 2,x2(2 )2 2xxx (2)2,8,x2(4)xx28022 2( 24)18Axdxxxdx定积分应用(平面图形面积)讨论：讨论： 由曲线xj左(y)、xj右(y)及直线yc、yd所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdxj左(y)xj右(y)答案：答案： dyyySdc)()(左右jj。 所求图形的面积为： ydy y21|( )( )|dcSyydyjj定积分应用(平面图形面积)abxyOS1 则椭圆的面积为 解：解：设椭圆在第一象限的面积为S1。例 1 求椭圆12222byax所围成的图形面积。

6、 例例3选选 为积分变量为积分变量y0, yb2210440baSSbydyb2204baby dyb24.4ababb定积分应用(平面图形面积)解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y2424182yAydyxy22 4 xy定积分应用(平面图形面积)求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结三、小结定积分应用(平面图形面积)思考题思考题 设设曲曲线

7、线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.定积分应用(平面图形面积)思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydx

8、xfx 两边同时对两边同时对 求导求导x定积分应用(平面图形面积)yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 定积分应用(平面图形面积)一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面

9、区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题题定积分应用(平面图形面积)6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形

10、的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .定积分应用(平面图形面积)三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 . .定积分应用(平面图形面积