第二讲(第二章单自由度系统自由振动)

1、汽车振动学汽车振动学汽车振动学 2009年9月3日第一章第一章 概论概论一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题二、 汽车上的振动问题三、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法四、简谐振动、谐波分析及频谱分析 1、简谐振动 2、谐波分析 3、频谱分析函数表示法)2sin()2sin()sin(ftAtTAtAx)2sin()cos(tAtAx )sin()sin(22tAtAx 旋转矢量表示法（1）简谐振动）简谐振动4、简谐振动、谐波分析、频谱分析、简谐振动、谐波分析、频谱分析xtAx

2、22)sin( cossincossini ti tetitetitcos()sin()zAtiAt复数表示法 在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大小成正比，始终指向静平衡位置。小成正比，始终指向静平衡位置。()Im()sin()itxAeAt()()2ititxiA eA e 2()2()ititxAeAe ()itzAe简谐振动的合成01212( )coscos2sinsin22af tatatbtbt01sin()2jjjaAj t01=cos()sin()2jjjaaj tbj t（2 2）周期振动的谐波分

3、析）周期振动的谐波分析( )()0, 1, 2,f tf tnTn 2T基频一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在；（2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。002( )Taf t dtT02( )cos()Tjaf tj t dtT02( )sin()Tjbf tj t dtT22jjjAabarctanjjjab其中对方波信号0002( )2TtFf tFTtT 进行谐波分析。01,3,5,4sin( )jFj tf tj例题例题11（P11）0411sinsin3sin535Fttt（3 3）振动的频谱分析

4、）振动的频谱分析 将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。引入频谱分析的重要性在于：可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信号。对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数 （频响函数）( )H时域模型：微分方程描述 状态空间描述频域模型：传递函数描

5、述 频率特性描述 零极点描述物理特性模态特性响应特性响应模型:位移、速度、加速度 力学模型:质量、刚度、阻尼模态模型:固有频率、模态矢量模态质量、刚度、阻尼引出引出牛顿力学方程存在如下缺陷牛顿力学方程存在如下缺陷: 1）划分若干个分离体，分别列出方程，导致计算可能不必要质点间约束力及支反力。）划分若干个分离体，分别列出方程，导致计算可能不必要质点间约束力及支反力。 2）采用物理坐标，导致考虑约束条件，使问题复杂化。）采用物理坐标，导致考虑约束条件，使问题复杂化。振动的分析力学基础振动的分析力学基础2221221222121)()(1lyyxxlyx质点的物理坐标可以用广义坐标来表示。质点的物理

6、坐标可以用广义坐标来表示。一、虚功原理一、虚功原理(静动法，静动法，J.Bernoulli)011iNiiiNiirfrF01iNiirf理想约束理想约束2211222112111111coscossinsincossinllyllxlylx补充知识0),(11111121 jnjNijiijNinjjiiiNiijnjjiiniiqqrFqqrFrFWqqrrqqqrr0011jjnjjjjiNiiQqQWQqrF令令则则01iNiirFW一个系统如果在某些施加力作用下一个系统如果在某些施加力作用下达到静力平衡，则在系统的约束所达到静力平衡，则在系统的约束所允许的微小位移下，诸力所做的功允许

7、的微小位移下，诸力所做的功之和应当为零。之和应当为零。在理想约束下，在理想约束下，n个自由度的系统个自由度的系统处于静力平衡的充要条件是处于静力平衡的充要条件是n个广个广义力均为零。义力均为零。),(),(2121nNqqqVrrrVVnjjjiNiiqqVdVrFW1100jjjqVqVQ二、达朗伯（二、达朗伯（DAlembert）原理（动静法）原理（动静法）势能是系统的位形的函数势能是系统的位形的函数保守力在虚位移下所做的虚功保守力在虚位移下所做的虚功只在保守力作用下的系统，在其势能函数只在保守力作用下的系统，在其势能函数的驻点上实现静力平衡。的驻点上实现静力平衡。动能是系统的广义速度的二

8、次型函数动能是系统的广义速度的二次型函数srnrnsrsqqmT11210)(0)(01NiiiiiiiiiiiiiirrmFrrmfFrmfF 在理想约束下，对于任何动态系统，在理想约束下，对于任何动态系统，有效力在符合系统约束的任何无限小有效力在符合系统约束的任何无限小虚位移上所做的虚功之和为零。虚位移上所做的虚功之和为零。三、拉格朗日（三、拉格朗日（Lagrange）方程）方程jjjjnjjjjjnjjjNiiiinjjjNiiiNiNiiiiiiNiiiiiQqTqTdtdqQqTqTdtdqqTqTdtdrrmqQWrFrrmrFrrmF 000)(11111111施加力所做的虚功施

9、加力所做的虚功惯性力所做的虚功惯性力所做的虚功0jjjqVqTqTdtdjjjjQqVqTqTdtdjjjjjQqDqVqTqTdtd当施加力仅为保守力时，则保守系统的拉格朗日方程是：当施加力仅为保守力时，则保守系统的拉格朗日方程是：当施加力既有保守力又有非保守力时，则系统的拉格朗日方程是：当施加力既有保守力又有非保守力时，则系统的拉格朗日方程是：当施加力既有保守力又有非保守力，且把阻尼力从非保守力分离出来时，当施加力既有保守力又有非保守力，且把阻尼力从非保守力分离出来时，则系统的拉格朗日方程是：则系统的拉格朗日方程是：jjqTQnrnssrrsqqcD1121保守力保守力汽车振动学汽车振动学

10、2009年年8月月第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动（9学时）学时）第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理 四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波

11、分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法 一、单自由度振动系统一、单自由度振动系统 1、单自由度系统及其振动微分方程建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解1、单自由度系统及其、单自由度系统及其振动微分方程建立振动微分方程建立（1）单自由度振动系统( )( )( )( )mx tcx tkx tF tFNmx非线性函数令则( , )Nf x xNkxcx (0,0)(0,0),ffkcxx(0,0)(0,

12、0)(0,0)ffNfxxxx从而（2）单自由度系统振动方程的一般形式（3）单自由度系统振动方程的建立方法牛顿第二定律或达朗贝尔原理例题例题2-1建立如图所示振动系统的振动微分方程。（教材例题2.10）222120badmlxcxkkxlllfmxMJ0MJ0fmx能量法例题例题2-2 半径为r、重力为mg的圆柱体在半径为R的圆柱面内滚动而不滑动，如图所示。试求圆柱体绕其平衡位置作微小振动的微分方程。（教材例题2.11）203()gRr0dTUdtTUCont2、等效振动系统及外界激励、等效振动系统及外界激励 在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便当作运动坐标方向上只存在

13、一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。 同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振动会逐渐衰减，直至完全消失。振系中阻力有各种来源，如干摩擦、流体阻力、电磁阻力、材料内阻力等，统称阻尼。 在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻尼来处理。 通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。串联弹簧的刚度扭转刚度3DEAk

14、l12111kkk313BEIkl2pCGIkl（1）等效刚度拉压刚度弯曲刚度12kkk并联弹簧的刚度（2）等效质量 通常用能量法求复杂系统的等效质量，即按实际系统要转化的质量的动能与等效系统质量动能相等的原则来求系统的等效质量。例题例题2-42eqJml2teqkkamgl2eqJmL2teqkkamgL例题例题2-32221RmrmJmeq242231)()(RkkrkkkeqJmeq2421413232lGdlGdkeq例题例题2-5例题例题2-6例题例题2-7（教材例题2.4）例题例题2-8 （教材例题2.5）3eLmm22213vsAJm bm bma例题例题2-9（教材例题2.3、

15、2.6）求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量2121eeki kJi J 在工程实际中，往往根据在振动一周期内实际阻尼所耗散的能量与粘性阻尼所耗散的能量相等来求系统的等效粘性阻尼。系统作简谐振动时，粘性阻尼在振动的一周期内所作的功2222200cos ()TccWF xdtcXtdtc X 库仑阻尼流体阻尼结构阻尼4eqmgcX83eqAceqac（3）等效阻尼)sin(tXx)cos(tXx （4）外界激励)()()()(tFtkxtxctxm 单自由度系统的振动方程的一般形式0)(tF 如果系统受到外界持续激励（即 ），就会从外界不断地获得能量，补充阻尼所消耗的能量，使系统保持等幅振动。这种由外界持续激励引起的振动即是受迫振动或强迫振动。 当外界激励为零（即 ）时，系统仅在开始时受到外界干扰即初始干扰（如初始位移或速度），靠系统本身的固有特性而进行振动，即自由振动。0)(tF 由此可见，单自由度