测量误差与数据处理

1、第一节第一节 测量误差分析与处理测量误差分析与处理要点：误差定义、分类、处理要点：误差定义、分类、处理主要内容主要内容第三节测量结果的评定和不确定度第三节测量结果的评定和不确定度要点要点 ：直接、间接测量的不确定度的合成：直接、间接测量的不确定度的合成第四节第四节 测量仪器有效数字的读取和处理测量仪器有效数字的读取和处理第五节第五节 实验数据处理的常用方法实验数据处理的常用方法要点要点 ：列表法、图解法、逐差法、最小二乘法：列表法、图解法、逐差法、最小二乘法第二节第二节 测量结果表示及误差的计算测量结果表示及误差的计算要点：直接、间接测量的误差计算要点：直接、间接测量的误差计算一、测量一、测量

2、 将被测物理量与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程将被测物理量与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程。即反映了被测量相对于某一测量标准在数字上的关系。即反映了被测量相对于某一测量标准在数字上的关系。测量包括测量过程和测量结果测量包括测量过程和测量结果 测量过程：测量过程：建立单位、选择测量工具、设建立单位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分析产计测量方法、研究分析测量结果、分析产生误差的原因及如何消除误差。生误差的原因及如何消除误差。 测量结果测量结果：比值、测量单位和精度评定。比值、测量单位和精度评定。 测量对象、测量单位、测量手段、测量不确定度测量对象、测量单位、测量手

3、段、测量不确定度称为测量称为测量的的四要素。四要素。 第一节第一节 测量误差分析与处理测量误差分析与处理测量分类：测量分类：根据测量结果的获取方式划分根据测量结果的获取方式划分 直接测量直接测量间接测量间接测量根据测量条件划分根据测量条件划分等精度测量等精度测量非等精度测量非等精度测量比较、放大、补偿、转换、干涉比较、放大、补偿、转换、干涉测量方法：测量方法：二、误差定义：二、误差定义：误差误差= =测量结果测量结果- -真值真值真值：真值：某一物理量在一定条件下所具有的客观的、不随测量方法某一物理量在一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数（量）值，一般无法通过测量得到。改变的真实

4、数（量）值，一般无法通过测量得到。测量结果都有测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程中。误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程中。常用理常用理论值或标准值论值或标准值x x0 0近似表示真值，也称约定真值或公认值。近似表示真值，也称约定真值或公认值。误差误差= =测量值测量值 x0反映了测量结果的准确程度反映了测量结果的准确程度三、误差的来源三、误差的来源 在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量仪器、在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量仪器、测量方法、测量环境、测量人员等几个方面的来源。测量方法、测量环境、测量人员等几个方面的来源。四、误差的分类及

5、特征四、误差的分类及特征系统误差系统误差随机误差随机误差粗大（过失）误差粗大（过失）误差分类分类误差的原因误差的原因误差的鉴别误差的鉴别系统误差系统误差（1）仪器结构不）仪器结构不良；良；（2）周围环境的）周围环境的改变。改变。（1）观测值总往一个方向偏，或）观测值总往一个方向偏，或者周期性变化；者周期性变化；（2）误差大小和符号在多次重复）误差大小和符号在多次重复测中几乎相同；测中几乎相同；（3）已知标准值时）已知标准值时可经过修正减可经过修正减小乃至几乎消除的误差。小乃至几乎消除的误差。随机误差随机误差在多次测量的过程在多次测量的过程中某些难以控制的中某些难以控制的偶然因素。偶然因素。在等

6、精度测量下服从正态在等精度测量下服从正态分布：（分布：（1）有界性；（）有界性；（2）单峰性；（单峰性；（3）对称性；）对称性；（4）抵偿性。）抵偿性。粗大误差粗大误差粗枝大叶造成的观粗枝大叶造成的观测误差或计算误差测误差或计算误差（1）观察结果与事实不）观察结果与事实不符；（符；（2）认真操作）认真操作可以可以消除的误差。消除的误差。五、误差的处理五、误差的处理: :绝对误差法、相对误差法、标准偏差。绝对误差法、相对误差法、标准偏差。 1、绝对误差法、绝对误差法x：一般所说的一般所说的误差就是绝对误差误差就是绝对误差。测量值测量值 约定真值约定真值0iixxx （1）误差具有确定的大小、单位

7、和）误差具有确定的大小、单位和“+”、“-”号组成。号组成。系系统误差、随机误差均可用绝对误差表示。统误差、随机误差均可用绝对误差表示。iixxx（2）对一般物理实验而言，）对一般物理实验而言，若没有约定真值，将等精度条件下若没有约定真值，将等精度条件下多次测量的平均值近多次测量的平均值近 为最佳值。为最佳值。每个测量值误差的大小具每个测量值误差的大小具有随机性，多次测量可得到随机误差的统计规律：有随机性，多次测量可得到随机误差的统计规律：x单次测量的残差单次测量的残差nx)x.xx(nxniin 1211 2 2、相对误差法：、相对误差法： 0100% xrx 相对误差的应用说明：相对误差的

8、应用说明： （1 1）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数“%”%”表示。表示。相对误差相对误差= =绝对误差平均值绝对误差平均值/ /公认值（平均值）公认值（平均值） %xxr100 （2 2）对于不同的物理量测量结果，可采用相对误差来评定不）对于不同的物理量测量结果，可采用相对误差来评定不同测量的精度。同测量的精度。 一般物理实验中用公认值一般物理实验中用公认值x x0 0（或平均值（或平均值 ）近似表示真值，）近似表示真值，故也可表示如下：故也可表

9、示如下：x例：例：用电压表测得电压，用电流表测得电流值如下，试比较用电压表测得电压，用电流表测得电流值如下，试比较两测量结果精度的高低。两测量结果精度的高低。100.0V1.0V5 0A0.2AUUI.I 解：解：两测量结果的相对误差分别为：两测量结果的相对误差分别为：4%5.00.21%100.01.0IUIIrUUr 通过比较可知电压表的精通过比较可知电压表的精度高于电流表的精度度高于电流表的精度3 3、随机误差的处理：标准偏差、随机误差的处理：标准偏差 如被测量的标准值不知道，仅用测量列各值（如被测量的标准值不知道，仅用测量列各值（x xi i）的平均值来）的平均值来表示测量列的表示测量

10、列的最佳估计值来最佳估计值来处理每次测量的残差是不够的。处理每次测量的残差是不够的。iixxx对等精度多次测量的误差服从统计规律对等精度多次测量的误差服从统计规律测量列的算术平均偏差测量列的算术平均偏差11niixxn 同一测量列的标准偏差同一测量列的标准偏差211inixxSn 多组重复测量列平均值的标准偏差多组重复测量列平均值的标准偏差21(1)inxixxSSn nn 它们反映测量值与平均值之它们反映测量值与平均值之间的偏离程度，数值越小，偏离间的偏离程度，数值越小，偏离程度越小，精密度越高。程度越小，精密度越高。1123,xxxxSSSS2xS3xSX第二节第二节 测量结果表示及误差的

11、计算测量结果表示及误差的计算 仪器误差仪器误差 包括引用误差、显示数值误差、偏心差等，一包括引用误差、显示数值误差、偏心差等，一般在仪器说明书有注明或由物理实验室提供。如：般在仪器说明书有注明或由物理实验室提供。如： 仪仪示值误差示值误差= =量程量程引用误差（级别）引用误差（级别）（1 1）已知仪器精度时，如电压表、电流表。其仪器误差大小就）已知仪器精度时，如电压表、电流表。其仪器误差大小就为示值误差：为示值误差：（2 2） 对连续读数的仪器，如直尺、千分尺，天平可取对连续读数的仪器，如直尺、千分尺，天平可取仪器最小仪器最小刻度值的一半刻度值的一半，而无法进行估计的非连续读数的仪器，如游标卡

12、，而无法进行估计的非连续读数的仪器，如游标卡以尺、分光计、数字式仪表，则取其以尺、分光计、数字式仪表，则取其最末位数的一个最小单位最末位数的一个最小单位。1 1、单次直接测量误差估计及结果表示：、单次直接测量误差估计及结果表示：x 仪仪（） 单单位位测量结果（测量的最佳值测量结果（测量的最佳值 测量误差值）（单位）测量误差值）（单位） 2 2、多次直接测量误差估计及结果表示、多次直接测量误差估计及结果表示3 3、间接测量误差估计及结果表示、间接测量误差估计及结果表示x()()()xxxx SIxxSSIxxSSI 粗粗略略估估算算等等精精度度一一组组测测量量等等精精度度多多组组测测量量 既然直

13、接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之间的关系式称为误差的传递公式。间的关系式称为误差的传递公式。待测量待测量y与各直接测量值与各直接测量值x1 , x2 ，x n 之间有函数关系之间有函数关系 nxxxfy, 21 111xxx 各直接观测量的测量结果分别为各直接观测量的测量结果分别为222xxx nnnxxx 123,yfx xx 将各个直接测量量的近似真实值（平均值）代入将各个直接测量量的近似真实值（平均值）代入函数表达式

14、，即可得到间接测量的近似真实值函数表达式，即可得到间接测量的近似真实值()()ryyy SIE 相相对对误误差差1212nnfffyxxxxxx 间接测量的误差传递：间接测量的误差传递：r1212lnlnlnnnyfffExxxyxxx间接测量相对误差；间接测量相对误差；注意：注意：对函数表达式仅为对函数表达式仅为“和差和差”形式，形式，先求出先求出 ，再，再求出求出 ；若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为；若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式应采用先求出复杂的形式应采用先求出 ，再求出，再求出 。y ryy E rErE4 4、间接测量的标准误差传递公式、间接测量的

15、标准误差传递公式见教材见教材P12P12，表，表1 12 21 12221212lnlnln()()()yynnSfffESSSxxxy 相对不确定度相对不确定度yEyySy E 1,212,iix xxSy直直接接测测量量对对应应的的标标准准误误差差为为S S，S S则则间间接接量量值值的的标标准准误误差差估估算算要要用用误误差差的的“方方、和和、根根”合合成成 上式中各直接测量上式中各直接测量 用各量的标准误差用各量的标准误差S Si i代替，得到间接测代替，得到间接测量的标准误差的传递公式量的标准误差的传递公式2221212()()()ynnfffSxxxsss ix 第三节第三节 测量

16、结果的评定和不确定度测量结果的评定和不确定度精确度越高、不确定度小，表示对测量对象的属性了解越精确度越高、不确定度小，表示对测量对象的属性了解越透彻，测量结果可信度越高，使用价值越高。透彻，测量结果可信度越高，使用价值越高。 由于测量的由于测量的系统误差与随机误差系统误差与随机误差始终存在，仅用随机误差的始终存在，仅用随机误差的统计规律来评估测量结果与统计规律来评估测量结果与真值真值的接近程度显然不够完善的接近程度显然不够完善。现。现代误差理论中代误差理论中用用“不确定度不确定度”来表示测量精度的高低，通常用来表示测量精度的高低，通常用表示。表示。 xx 不要错误认为真值一定就落在不要错误认为

17、真值一定就落在 之间、误差在之间、误差在 之间。之间。x ,xx 2,2xx3,3xx 一个完整的测量结果的表示三要素是：一个完整的测量结果的表示三要素是：测量最佳值、合成不确定度、单位测量最佳值、合成不确定度、单位 xx（单位）（单位）100%Ex 一、不确定度一、不确定度定义定义 物理实验中的合成不确定度，一般主要来源于测量方法、测物理实验中的合成不确定度，一般主要来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对象变化等等。计算合成不确定度时，量人员、环境波动、测量对象变化等等。计算合成不确定度时，是先将可修正的系统误差修正后是先将可修正的系统误差修正后，再对不同来源的误差按计算，再对不同来源的

18、误差按计算方法分两类进行处理，然后再合成而得。方法分两类进行处理，然后再合成而得。 222211nmABAiBiij 或或二、不确定度的两类分量的处理二、不确定度的两类分量的处理 实际实验中，由于测量次数有限，测量误差不完全服从正态实际实验中，由于测量次数有限，测量误差不完全服从正态分布规律，但可通过对测量次数分布规律，但可通过对测量次数n n的置信概率的置信概率p p，将，将A A类和类和B B类类不不确定度的进行简化处理。确定度的进行简化处理。 221111nniiiiAxxxxSnn 1 1、A A类不确定度类不确定度A A： 对测量次数对测量次数n=5 n=5 1010，用测，用测量列

19、的平均标准误差来计算量列的平均标准误差来计算 2 2、B B类不确定度：类不确定度： 是指用非统计方法求出或评定的不确定度。如实验室中的测是指用非统计方法求出或评定的不确定度。如实验室中的测量仪器不准确、量具磨损老化、相关信息的不确定等所产生系量仪器不准确、量具磨损老化、相关信息的不确定等所产生系统误。物理实验中直接将统误。物理实验中直接将B B类不确定度简化处理为仪器误差。类不确定度简化处理为仪器误差。B 仪仪2222ABxS 仪仪在物理实验中，对测量结果不确定度的计算通常用：在物理实验中，对测量结果不确定度的计算通常用： 在相同条件下（等精度）对某量直接进行重复测量，得到的在相同条件下（等

20、精度）对某量直接进行重复测量，得到的n n个测量值个测量值x x1 1, x, x2 2, , x xn n可。可。以算术平均值代表最佳测量结果以算术平均值代表最佳测量结果nxxnii 1三、直接测量结果的不确定度的计算三、直接测量结果的不确定度的计算 ()211niixxxSn 测量结果的不确定度测量结果的不确定度1 1、单次直接测量时：、单次直接测量时：A A=0=02B 仪仪说明：说明：2 2、多次直接测量时：当、多次直接测量时：当1133xxSS 仪仪仪仪或或22x= S 仪仪总不确定度值可表示总不确定度值可表示 或或=B 仪仪x=SA 与标准误差的传递公式形式上完全相同，将各直接测量

21、标准与标准误差的传递公式形式上完全相同，将各直接测量标准偏差偏差S Si i用各量的不确定量用各量的不确定量i i代替，得到间接测量结果的合成不代替，得到间接测量结果的合成不确定度计算公式确定度计算公式2221212()()()ynnfffxxx 2221212lnlnln()()()yynnfffExxxy 间接测量的相对不确定度间接测量的相对不确定度yEyyy E 四、间接测量结果的不确定度四、间接测量结果的不确定度 一、在效数字的定义一、在效数字的定义 实验数据是通过测量到的，读出的数字位数反映了实验仪器的精度，不能实验数据是通过测量到的，读出的数字位数反映了实验仪器的精度，不能随意增减

22、。随意增减。1.65cm有效数字有效数字“可靠数字可靠数字”“一位估计数一位估计数” 第四节第四节 测量仪器有效数字的读取和处理测量仪器有效数字的读取和处理关于有效数的说明：关于有效数的说明：2.00cm1、直接测量量的有效数字、直接测量量的有效数字有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。（游标卡尺有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。（游标卡尺、分光计例外）、分光计例外）所有直接测量值所有直接测量值x xi i必须以必须以有效数字记录有效数字记录 1.3m1.3103mm 1300mm 1300mm1.300 m 1.3m2 2、单位换算时有效数字的位数不变。单位换算时有效数字的位

23、数不变。注意：数字中和尾的零都属于有效位数。注意：数字中和尾的零都属于有效位数。2222980/9.80/0.00980/9.8/cm Sm Skm Sm S 2500. 025. 0 cm00.25m25. 0 333333V3.6 56,0.07;V(3.60.07)2%;V3. 456,045.7;V(3.0.7);196%6cmxcmcm rcmxcmcmr3 3、实验结果、实验结果( (间接测量间接测量) )的有效数字的有效数字由误差确定由误差确定,有效数字的有效数字的末末位位与误差与误差位位对齐。对齐。例：判断下列数据有效数字位数：例：判断下列数据有效数字位数： 15.86； 5.

24、320； 0.0532； 5.32; 0.052030。5 5、有效数据的舍弃原则：、有效数据的舍弃原则：4 4舍舍6 6入入5 5凑偶法凑偶法x x= 0.112 0.1 ； x = 0.550 0.6 Er= 1.25 % 1.3% 1% ； Er= 12.52 % 13%4、绝对误差（或不确定度）只取、绝对误差（或不确定度）只取1位有效数字，也是估读所在位有效数字，也是估读所在位；相对误差（或相对不确定度）一般取位；相对误差（或相对不确定度）一般取12位有效数字。位有效数字。二、有效数字的运算规则（自学）二、有效数字的运算规则（自学）1 1、加减法运算规则、加减法运算规则 以小数位数最少

25、以小数位数最少的数据位数为准的数据位数为准 ，其余各数据中间过程多取一位小，其余各数据中间过程多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的位数相同（数，但最后结果应与小数位数最少的位数相同（即末位对齐即末位对齐）。）。 27171.3-0.7536.26271.3-0.86.3271348123.500-0.78634.07156.782 2、乘除与开方运算规则、乘除与开方运算规则 以以有效数字位数最少的为准有效数字位数最少的为准，其余数据在中间运算过程中可比位数最少，其余数据在中间运算过程中可比位数最少的数据多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。的数据多取一位数字，而最后结果

26、应与有效位数最少的数据位数相同。 39.54.084370.0013=39.54.080.0013=0.209508=0.2132237.52.4 10 ;4.002.00;2.000.104.003 3、其他函数运算：先估算出计算结果的误差大小，再确定所、其他函数运算：先估算出计算结果的误差大小，再确定所取位数。取位数。 第五节第五节 实验数据处理常用方法实验数据处理常用方法 一、一、 列表法列表法 列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。1.列表法的特点列表法的特点（1）记录和表示数据）记录和表示数据简单明了；

27、简单明了；（2）便于表示物理量）便于表示物理量之间对应关系之间对应关系2. 列表的要求列表的要求（1）栏目清楚，项目分明。写明表名称，标）栏目清楚，项目分明。写明表名称，标明物理量、单位及数量级。明物理量、单位及数量级。（3）表中所列数据应是正确反映测量结果的）表中所列数据应是正确反映测量结果的有效数字。有效数字。（4）注明测量日期、说明和必要的实验条件。）注明测量日期、说明和必要的实验条件。举例：举例： 伏安法测伏安法测100 电阻数据表电阻数据表 2004/2/10注明注明：（1）电压表量程电压表量程 7.5V，精度，精度等级等级 1.0；电流表量程；电流表量程 50mA，精度等级精度等级

28、 1.0。（2）采用电流表外接法。）采用电流表外接法。将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表示出来，并且通将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种过所作图线求解未知量或经验方程，是一种最常用的粗略的最常用的粗略的数据处理方法。数据处理方法。1.作图法的优点作图法的优点（1）能够直观地反映各物理量之间的变）能够直观地反映各物理量之间的变化规律，找出合适的经验公式。化规律，找出合适的经验公式。（2）可从图上用外延、内插方法求得实）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。验点以外的其它点。（3）可以消除某些）可以消除某些恒

29、定系统误差。恒定系统误差。二、二、 作图法作图法 2. 作图要求作图要求（1）用）用坐标纸正确建立坐标轴的比例和标度。注明图名和坐标轴代表的坐标纸正确建立坐标轴的比例和标度。注明图名和坐标轴代表的物理量、单位和数值的数量级。物理量、单位和数值的数量级。（2）测量数据点应采用比较明显的标志符号，如测量数据点应采用比较明显的标志符号，如“、”表示表示 。（3）变化规律容易判断的曲线平滑连线，曲线不必通过每个实验点，但）变化规律容易判断的曲线平滑连线，曲线不必通过每个实验点，但应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的曲线可以用折线连接。应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的曲线可以用折线连接。三、逐差法三

30、、逐差法例例2 2：拉伸法测钢丝的倔强系数：拉伸法测钢丝的倔强系数： xFxFkkxF 如每次增加法码质量如每次增加法码质量0.10.1千克，即千克，即F F每次等额增加：每次等额增加： +11()iiiFFFN +1111iiiikkxxxx当原长当原长X X0 0存在系统误差存在系统误差时，倔强系数也有系统误差时，倔强系数也有系统误差 。如果连续增重。如果连续增重8次，则可次，则可读得读得8个个X的值，分别为：的值，分别为：x1、x2、x3x8，其每次差值为：，其每次差值为：110221887,xxxxxxxxx8880878231201821xxx)xx()xx()xx()xx(xxxx

31、 可见其结果与中间测量值无关，与一次性增加可见其结果与中间测量值无关，与一次性增加0.8千克单次测量等价。千克单次测量等价。 把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项相减，差值作因变量的多次测量值。然后求出算组实行对应项相减，差值作因变量的多次测量值。然后求出算术平均值的处理数据的方法。术平均值的处理数据的方法。 为了使其保持多次测量的优越性，只为了使其保持多次测量的优越性，只要在数据处理方法上作一些变化即可。要在数据处理方法上作一些变化即可。通常可把测量数据等分为二组（每组数通常可把测量数据等分为二组（每组数据为据为n/

32、2)：87654321x,x,x,x;x,x,x,x一组：一组：二组：二组：X Xi i取相应项的差值取相应项的差值: :484373262151xxx,xxx,xxx,xxx 此方法称为逐差法。此方法称为逐差法。1、逐差法的优点：、逐差法的优点：（）充分利用了测量所得的数据，对数据具有取（）充分利用了测量所得的数据，对数据具有取平均的效果。平均的效果。（）可以消除一些定值系统误差，求得所需要的（）可以消除一些定值系统误差，求得所需要的实验结果。实验结果。 则则 差值的弹簧平均伸长量为：差值的弹簧平均伸长量为：123451627384()()()()1616xxxxxxxxxxxxx +11(

33、)iiiFFFN 44()iiiFFFN 在测量弹簧伸长量为在测量弹簧伸长量为 与与 之间法码变化为：之间法码变化为：ix4ix ()iivxx 最小二乘法在最小二乘法在1805年由勒让德（年由勒让德（Legendre）所提出后得到了迅速的发展，）所提出后得到了迅速的发展，已成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，并广泛地应用于各种测已成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，并广泛地应用于各种测量及科学实验的数据处理中。它给出了数据处理的一条准则量及科学实验的数据处理中。它给出了数据处理的一条准则最佳结果最佳结果（或最可信赖值）应使测量值的绝对误差（残差）（或最可信赖值）应使测量值的绝对误差（残差） 平方