高等数学(第五版)11-7 傅里叶级数.

1、第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 周期函数的展开式周期函数的展开式周期函数反映客观世界中的周期性现象，周期函数反映客观世界中的周期性现象，正弦函数是最简单的周期函数之一。正弦函数是最简单的周期函数之一。)sin( tAy( ( A为为振幅振幅, , 为为角频率角频率, ,为为初相初相 ) )如心脏的跳动（心电图）、波浪、单摆如心脏的跳动（心电图）、波浪、单摆的振动。的振动。一、三角级数一、三角级数.2 T周期周期问题：给定一个周期函数，能否展

2、开为简单问题：给定一个周期函数，能否展开为简单的周期函数（如正弦函数）的和？的周期函数（如正弦函数）的和？.)sin( 2 组组成成的的级级数数表表示示期期的的正正弦弦函函数数为为周周列列以以的的周周期期函函数数能能否否用用一一系系周周期期为为nntnATT 10?)sin()( nnntnAAtF 即即物理意义物理意义：将一个一般的周期运动分解为将一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。不同频率的简谐振动的叠加。谐波分析谐波分析)2 )( TtF的周期的周期)sincoscossin(10 nnnnntnAtnAA 10?)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf，得得令令xt

3、AbAaAannnnnn ,cos ,sin ,200三角级数三角级数)()( tFxf 其中其中)sin()(10?nnntnAAtF 问题问题: :能能否否展展开开成成三三角角级级数数？)( )1(xf?, )2( nnba如果可以，如果可以，),( xF .2 周期为周期为二、三角函数系的二、三角函数系的正交性正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,证证）上上的的积积分分等等于于零零（请请验验不不同同函函数数的的乘乘积积在在正正交交性性：其其中中任任意意两两个个 , 0cos1 nxdx, 0sin1 nxdx三角函数系：三角函数系：), 3

4、, 2 , 1( n)( 0sinsinnmnxdxmx )( 0coscosnmnxdxmx , 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中 2d11 x.dsin2 xxn xxn dcos2),2, 1( n.,积积分分不不等等于于零零上上的的在在而而两两个个相相同同函函数数的的乘乘积积 三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数:)1(0a求求 10) sin cos(2)(kkkdxkxbdxkxadxadxxf 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性. .,220 a dxxfa)(10 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf假设假设.

5、积分积分到到等式两边从等式两边从 :)2(na求求 nxdxxfcos)(cossincoscoscos210 nxdxkxbnxdxkxanxdxakkk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n. cos积分积分到到，然后从，然后从等式两边同乘以等式两边同乘以 nx. sin 积积分分到到，然然后后从从等等式式两两边边同同乘乘以以 nx nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxxfsin)(, nb sinsinsincossin210 nxdxkxbnxdxkxanxdxakkk nxdxbn2sin:)3(nb

6、求求 ),1,0(dcos)(1nxnxxfan ),2,1(dsin)(1nxnxxfbn.)()(,的的傅傅里里叶叶级级数数三三角角级级数数称称为为的的傅傅里里叶叶系系数数，相相应应的的称称为为其其中中xfxfbann问题问题: :?)()(xfxf于于的的傅傅里里叶叶级级数数是是否否收收敛敛 ，则则三三角角级级数数能能展展开开成成的的周周期期函函数数周周期期为为如如果果定定理理： 10 sincos2)( 2 nnnxnbxnaaxf 收敛定理（狄利克雷收敛定理（狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分条件）充分条件）.2)()(,)()2( xfxfxfx收敛于收敛于

7、的间断点时的间断点时是是当当.)(0,10,1)(),2)( . 1展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将上上的的表表达达式式为为的的周周期期函函数数，它它在在是是周周期期为为设设例例xfxxxfxf oyx11矩形脉冲的波形矩形脉冲的波形 先求傅先求傅里里叶系数叶系数 xnxxfandcos)(1 00dcos11dcos)1(1xnxxnx), 2, 1, 0( 0 n所给函数满足收敛定理的条件，所给函数满足收敛定理的条件，解解： xnxxfbndsin)(1 00dsin11dsin)1(1xnxxnx 00cos1cos1 nnxnnx nncos12 nn)1(12 , 6 , 4 ,

8、 2, 0, 5 , 3 , 1,4nnn kx 当当), 2, 1, 0 ,( kkx （连续点）（连续点） )(xf（间断点）（间断点），. 0211 级数收敛于级数收敛于oyx11 )12sin(1213sin31sin 4 xkkxx xysin4 )3sin31(sin4xxy )5sin513sin31(sin4xxxy )7sin715sin513sin31(sin4xxxxy )9sin917sin715sin513sin31(sin4xxxxxy 注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。全局逼近。xy0 2 2 .)(0,0,)(

9、),2)( . 2展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数将将上上的的表表达达式式为为的的周周期期函函数数，它它在在是是周周期期为为设设例例xfxxxxxfxf dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, 所给函数满足收敛定理的条件所给函数满足收敛定理的条件.三角波三角波 解解： nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 )( x所求函数的傅里叶级数展开式为所求函数的傅里叶级数展开

10、式为), 3 , 2 , 1( n )(xfoyx xxx5cos513cos31cos4222 .cos2)(.sin)(101nxaaxfnxbxfnnnn 余余弦弦级级数数常常数数项项和和余余弦弦项项的的级级数数是是只只含含有有是是偶偶函函数数，则则其其傅傅里里叶叶如如果果正正弦弦级级数数是是只只含含有有正正弦弦项项的的叶叶级级数数是是奇奇函函数数，则则它它的的傅傅里里定定理理：如如果果注意以上两个例子的结果，容易证明注意以上两个例子的结果，容易证明xoy例例3.上的表达式为上的表达式为), xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: xxfad)(

11、100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx 当当) 12(kx 级数收敛于级数收敛于22)(0 xoy2(D)

12、 0 (C) (B) 2 (A) ) ()( ,0,0,)(),2)( 处处收收敛敛于于的的傅傅里里叶叶级级数数在在则则上上的的表表达达式式为为的的周周期期函函数数，它它在在是是周周期期为为设设xxfxxxxxfxf解解：选择题：选择题：处处收收敛敛于于在在的的傅傅里里叶叶级级数数由由收收敛敛定定理理可可知知 xxf)( oyx.220 A,)(上上在在不不是是周周期期函函数数，只只定定义义如如果果 xf.)(),()()( 2)(), 的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开式式内内，即即得得在在后后限限制制展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数，最最。将将的的函函数数为为的的定定义义，使使其其成成为为周

13、周期期外外补补充充函函数数在在xfxxFxFxf :可可进进行行周周期期延延拓拓解：解： xxxxf5cos513cos31cos42)(22 )( xoyx 将将 f (x)延拓成以延拓成以2 为为周期周期的函数的函数 F(x) ,由例由例2结果可得，结果可得，.8)12(1513112222 n当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得,4131211 222 令令)614121()7151311( 222222 则则.4182 2224131211 .62 . 级级数数或或余余弦弦级级数数偶偶延延拓拓将将其其展展开开成成正正弦弦可可进进行行奇奇延延拓拓或或,0),(xxf)(

14、xF周期延拓周期延拓 F (x)(xF f (x)在在(0, 上展成正弦级数上展成正弦级数周期延拓周期延拓 F (x)奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy f (x)在在0, 上展成余弦级数上展成余弦级数xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf, 0)(上上只只定定义义在在如如果果 xfyxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓,例例5. .

15、将函数将函数)0()( xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . . 解解:根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数的正弦级数:x)0( x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1yxo级数的部分和级数的部分和 上在),逼近逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图.n1n2n3n4n5oyx再求余弦级数再求余弦级数.将将 作偶周期延拓作偶周期延拓 ,)(xf xxxx5cos513cos31cos4222 )0( x由例由例2结果可得，结果可得，四、周期为四、周期为2l的函数的傅里叶级数展开的函数的傅里叶级数展开周期为周

16、期为 2l 函数函数 f (x)伸缩伸缩)(xlf 将将 作傅氏展开作傅氏展开, 然后换元然后换元 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式周期为周期为 2 函数函数 )(xlf 定理定理：设周期为设周期为2 2l 的周期函数的周期函数f (x) 满足收敛满足收敛定理的条件定理的条件, ,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处)为为其中系数其中系数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln证明：证明：, t

17、xl 令令)()2()2(xlflxlfxlf .2 )( 为为周周期期以以函函数数 xlf),sincos(2)(10nxbnxaaxlfnnn nxdxxlfancos)(1其中其中 lldtltntfl cos)(1 . cos)(1 llndtltntflb 同理可证同理可证.sincos2)(10 nnnltnbltnaatf k2 xy2044 解：解：.)(, 2满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件xfl 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 na), 2 , 1( n 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20,

18、 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xxk2 xy2044 傅里叶傅里叶 (1768 1830)法国数学家法国数学家. 他的著作他的著作热的解析热的解析 理论理论(1822) 是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分, 他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献, 他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学