循环平稳信号分析

1、机械工程及自动化研究所现代信号处理技术及应用现代信号处理技术及应用第四章 循环平稳信号分析西安交通大学机械工程学院研究生学位课程西安交通大学机械工程学院研究生学位课程第四章第四章 循环平稳信号分析循环平稳信号分析4.1 4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义4.2 4.2 信号的循环统计量信号的循环统计量4.3 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4 4.4 循环平稳信号处理的工程应用循环平稳信号处理的工程应用引言引言在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用，在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用，最常用的统计量有均值（一阶统计量

2、）、相关函数最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、四阶等高阶统计量。四阶等高阶统计量。在非平稳信号中有一个重要的子类，在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量它们的统计量随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循环平稳信号。环平稳信号。具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。

3、雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。引言引言机械循环平稳信号具有以下特点：机械循环平稳信号具有以下特点：n(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。量基本不随时间变化。n(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。n(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法，因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法

4、，对机械故障诊断具有重要的意义。对机械故障诊断具有重要的意义。第四章第四章 循环平稳信号分析循环平稳信号分析4.1 4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义4.2 4.2 信号的循环统计量信号的循环统计量4.3 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4 4.4 循环平稳信号处理的工程应用循环平稳信号处理的工程应用4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期时变的联合概率密度函数时变的联合概率密度函数011( , )( ,)NNiiiip x tp x tnT

5、w循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即N统计阶数，统计阶数，T0是基本循环平稳周期，是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数是一个给定的整数 011( )()NNiiiiEx tEx tnTw阶循环平稳过程的定义：阶循环平稳过程的定义：若随机过程若随机过程 从一阶到从一阶到 阶的各阶时变统计量都存阶的各阶时变统计量都存在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同），循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同），则称该随机过程为则称该随机过程为 阶循环平稳过程。阶循环平

6、稳过程。(4.1.1)(4.1.2)4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义具有周期变化的统计量称为循环统计量。具有周期变化的统计量称为循环统计量。循环统计理论的研究迅速发展是在循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪世纪80年代年代中期。中期。对二阶循环统计量研究最有影响的是对二阶循环统计量研究最有影响的是W.A.Gardner，他提出的谱相关理论和冗余概念。，他提出的谱相关理论和冗余概念。近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生，近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生，循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理

7、论在谐波恢陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障诊断领域具有重要意义诊断领域具有重要意义第四章第四章 循环平稳信号分析循环平稳信号分析4.1 4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义4.2 4.2 信号的循环统计量信号的循环统计量4.3 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4 4.4 循环平稳信号处理的工程应用循环平稳信号处理的工程应用4.2 信号的循环统计量信号

8、的循环统计量4.2.1 一阶循环统计量一阶循环统计量4.2.2 一阶循环统计量一阶循环统计量循环均值循环均值4.2.3 二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数4.2.4 功率谱密度函数功率谱密度函数4.2.1 一阶循环统计量一阶循环统计量循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量，接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循环频率并用循环频率时间滞后平面分布图来描述信号，时间滞后平面分布图来描述信号，抽取信号时变统计量中的周期信息。抽取信号时变统计量中的周期信息。循环统计量的一般表达

9、式为循环统计量的一般表达式为210( )lim( , )TjtxkxkTTCc tedt(4.2.1)一阶循环统计量一阶循环统计量对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率（包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个，（包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个，所有循环频率的总体构成循环频率集所有循环频率的总体构成循环频率集循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循环平稳特性。环平稳特性。循环基频循环基频011( ,

10、)( ,)NNiiiip x tp x tnT0/n T 循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样，循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样，都表示信号的频率都表示信号的频率4.2.2 一阶循环统计量一阶循环统计量循环均值循环均值循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是时间的周期函数。时间的周期函数。00( )cos(2)( )x txf tn t0000( )( )cos(2)( )cos(2)xm tE x tE xf tE n txf tw可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳

11、信号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。w对上述循环平稳信号以对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样为周期进行采样，则这样的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均来估计其均值来估计其均值01( )lim()21NxNnNMtx tnTN的统计平均的统计平均(4.2.2)(4.2.4)(4.2.3)一阶循环统计量一阶循环统计量循环均值循环均值可以看出式可以看出式(4.2.4)是是T0的周期函数的周期函数,2( )jtxxmMtM e00/22/201( )TjtxxTMMt edtTw将式（

12、将式（4.2.4）代入式（）代入式（4.2.6）中，）中，00/ 220/ 20/ 222/ 21lim()(21)1lim( )( )NTjtxTNnNTjtjttTTMx tnT edtNTx t edtx t eT 傅里叶展开傅里叶展开其中其中(4.2.5)(4.2.6)(4.2.7)一阶循环统计量一阶循环统计量循环均值循环均值4.2.3 二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以写成写成( ; ) ( )(xR tE x t x t w假定此时变自相关函数具有周期性，并且周期为假定此时

13、变自相关函数具有周期性，并且周期为T0 ，则可以用时间平均将相关函数写成，则可以用时间平均将相关函数写成001( ; )lim()()(21)NxNnNR tx tnT x tnTN0/m T 取取，相关函数的傅里叶展开为，相关函数的傅里叶展开为0(2/)2( ; )(jTmtjtxxxmmR tReRe(4.2.9)(4.2.10)二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数式（式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数）中的傅里叶系数称为循环自相关函数00/ 22/ 201( )( ; )TjtxxTRR tedtT w将式（将式（4.2.9）代入式（）代入式（4.2.

14、11）得）得0000/2*200/20/2*200/2011( )lim()()211lim()()(21)NTjtxTNnNNTjtTNnNRx tnT x tnTedtTNx tnT x tnTedtNT w将上式改写成将上式改写成2*22*21( )lim( )() ( )()TjtxTTjttRx t x tedtTx t x te（4.2.11）（4.2.12）（4.2.13）二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真分析分析0( )(1cos(2)cos(2)cx tAf tf t

15、2000201cos(2) 1cos(2) =0;22cos(2)cos(2) =; 2cos(2) =2; 2( )14cccxAffAfffAffRe 222002201cos(2) =2; 2cos(2) =(2); 4 =(22); 16jccjcjcAffAefffAeff（4.2.14）二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数二阶循环统计量二阶循环统计量循环自相关函数循环自相关函数循环自相关函数三维图及其切片图循环自相关函数三维图及其切片图4.2.4 功率谱密度函数功率谱密度函数对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱

16、密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函数可以描述信号二阶统计量的数字特征。数可以描述信号二阶统计量的数字特征。同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。根据维纳根据维纳-辛钦关系，循环谱密度（辛钦关系，循环谱密度（Cyclic Spectrum Density，简写，简写CSD）如式（）如式（4.2.17）所示。所示。2( )( )jfxxSfRed（4.2.17）功率谱密度函数功率谱密度函数为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信

17、号模为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模型型0( )( )cos(2)x ta tf t其中，其中， a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件为零均值的平稳随机信号，满足条件2( )0(/2)(/2)0( )0(/2)(/2)0 0ttjttjtta ta ta ta t ea ta te 功率谱密度函数功率谱密度函数由式（由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度）可以求出该仿真信号的循环谱密度为为002011()() =0;441( )( ) =2 ; 40 aajxaSffSffSfeSff其它功率谱密度函数功率谱密度函数给式（给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历

18、白噪声）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数时的取值完全相同。循环谱如图时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示所示功率谱密度函数功率谱密度函数循环谱切片图循环谱切片图功率谱密度函数功率谱密度函数循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的信息具有谱相关特性。信息具有谱相关特性。对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率的的2倍。倍。而调

19、制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。第四章第四章 循环平稳信号分析循环平稳信号分析4.1 4.1 循环平稳信号的定义循环平稳信号的定义4.2 4.2 信号的循环统计量信号的循环统计量4.3 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4 4.4 循环平稳信号处理的工程应用循环平稳信号处理的工程应用4.3 基于二阶循环统计量的仿

20、真信号解调分析基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.3.1 调频信号的解调分析调频信号的解调分析4.3.2 多载波调频信号的解调多载波调频信号的解调4.3.3 多调制源调幅信号的解调多调制源调幅信号的解调4.3.4 多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息和混频信循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律息的规律4.3.1调频信号的解调分析调频信号的解调分析)2sin(2cos)(tftfAtxnz4.3.2 多载波调频信号的解调多载波调频信号的解调1020( )cos(2sin(2)cos(2sin(2)ccx tf tf tf tf t多载波

21、调频信号的解调多载波调频信号的解调4.3.3 多调制源调幅信号的解调多调制源调幅信号的解调0102( )1cos 2cos 2cos 2cx tf tf tf t4.3.4 多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调0102( )1 cos(2)cos(2) 1 1.5cos(2)cos(2)( )ccx tf tf tf tf tn t多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调多载波调幅信号的解调4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律和混频信息的规律(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与如果循环频率高频段的循

22、环谱切片图的循环频率信息与该图片相对应的频率信息具有该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相倍的关系，并且切片图中相应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两边均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）边均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）具有载波频率特征，循环频率是载波频率的具有载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中倍，并且图中所对应的边频带频率信息就是调制频率信息。所对应的边频带频率信息就是调制频率信息。(2) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中，频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中，一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调制边频带出现。一般在表示循环频率域