人大附中华杯赛资料：复杂图形的比例与面积

1、实用文档用心整理复杂图形的比例与面积基础知识：1 .三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。2 .在四边形ABCD对角线AGBD交于点Q(1)千里之行始于足下实用文档用心整理(2)(3)3.如图，在梯形ABCW,存在以下关系：(1)左、右部分的面积相等，即S=3;千里之行始于足下实用文档用心整理(2)S：&：&：0=4.燕尾定理:千里之行始于足下实用文档用心整理在三角形中，ad交于同一点千里之行始于足下实用文档用心整理例1.图中三角形ABC勺面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长白3倍，EF的千

2、里之行始于足下实用文档用心整理长是BF长白3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？答疑编号505721470101【答案】22.5【解答】ABDABC等高，所以面积的比为底的比，千里之行始于足下实用文档用心整理，所以180=90（平方厘米）千里之行始于足下实用文档用心整理同理有（平方厘米），X30=22.5（平方厘米）即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.千里之行始于足下实用文档用心整理例2.如图1,5个正方形拼在一起，图中三角形ABCB分的面积是60,则正方形的边长是答疑编号505721470102【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD它们的高的比是3:2,因此千

3、里之行始于足下实用文档用心整理三角形BCM面积是.于是三角形ACD勺面积是60+40=100.注意ACD勺底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100,所以小正方形的边长就是10（因为10X10=100）.例3.如图2,在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABCW面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.10千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号505721470103【答案】10【解答】如下图，三角形ABCW三角形BCD勺底边都是BC而高白比是3：2,所以三角形BCD勺面积是，那么三角形

4、AB曲面积就是120+80=200。三角形ABD勺面积是大三角形ADG勺面积减去三角形ABE长方形BEGF11千里之行始于足下实用文档用心整理三角形BDF勺面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200+2=100,那么边长为10。4个小三角形，其中例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了千里之行始于足下12实用文档用心整理小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷答疑编号505721470104【答案】21【解答】千里之行始于足下13实用文档用心整理，所以，三角形ABO勺面积是18公顷，三角形BOC勺面积是2

5、1公顷.所以，最大的三角形的面积为21公顷.例5.已知ABC比一个才形，B0=3ODAD=4,'aba12,则梯形的高是多少？梯形的下底BC是多少？14千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号505721470105【答案】12【解答】由于AB/口AO0等高的三角形，并且BO=3OD可得&aba3&ao因此Saao户4,这样&abd=12+4=16。换一个角度去观察钝角三角形ABD将AD作为它的底，将B作为它的顶点。从而根据Saabd=16和AA4可知ABD底边AD上的高为16X2+4=8,而这个高也是梯形的高。由于ABCRDBdb同底等高的三角形，所以Saab

6、c=Sadbc,从而Saabo=Sadoc=12。由于DOG口OBO等高的三角形，并且B0=3OD可得Saobc=3sdoc因此Saobc36,这样SaDBC=12+36=48。下面可以用两种方法去求BC的长度，如果把AD看成ABD勺底边，把BC看成DBM底边，那么AB丽DBO等高的，由于8db混Saabd的3倍，所以BC=3AD从而BC=12。或者可以利用梯形面积的计算公式去求BC的长度，由于梯形的面积=4+12+12+36=64,梯形的高为8,梯形的上底AD=4,于是下底BC=64X2+84=12。15千里之行始于足下实用文档用心整理例6.如图，ABC屋梯形，三角形ADE0积是1.8,三角

7、形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少？16千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号505721470106【答案】4.8【解答】设ADF的面积为“上”，BCF勺面积为“下”，ABF的面积为“左”，DCF的面积为“右”.左=右=9;上*下=左*右=9X9=81,而下=27,所以上=81+27=3.ADE勺面积为1.8,那么AEF的面积为1.2,则EF：D口千里之行始于足下17实用文档用心整理=1.2:3=0.4.CEFWCD用勺面积比也为EF与DF的比，所以有S>AACE=0.4X=0.4X(3+9)=4.8.即阴影部分面积为4.8.例7.如图，长方形ABC

8、D勺面积是2平方厘米，EC=2DEF是DG勺中点.阴影部分的面积是多18千里之行始于足下实用文档用心整理少平方厘米？答疑编号50572147010719千里之行始于足下实用文档用心整理【答案】【解答】如下图，连接FC,ADBFBFG勺面积相等，设为x平方厘米,FGCADFC勺面积相等，设为y平方厘米，那么DEF的面积为20千里之行始于足下实用文档用心整理=2x+2y=1,=x+21千里之行始于足下实用文档用心整理y=22千里之行始于足下实用文档用心整理所以有比较、式，式左边比式左边多2x,式右边比式右边大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.23千里之行始于足下实用文档用心整理

9、而阴影部分面积为X0.25=24千里之行始于足下实用文档用心整理25千里之行始于足下实用文档用心整理例8.如图，正方形ABCD勺边长是12,BF=CE=4,则四边形ABOD勺面积是答疑编号50572147010826千里之行始于足下实用文档用心整理【答案】【解答】如图，假设OB林口aOEC勺面积分别为x和V,那么OC侪口OED勺面积就分别为2x和2y.根据BECF口OCF勺面积，可以列方程组得：化简即得:27千里之行始于足下实用文档用心整理解得28千里之行始于足下实用文档用心整理所以四边形ABOD勺面积为:12X12-29千里之行始于足下实用文档用心整理例1.已知EF=2BF,AD=3BQ三角

10、形ABC勺面积为36,那么四边形ADFE勺面积是多少？分析：四边形ADF里一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。做辅助线连接D和E,将四边形ADFE成2个三角形4ADE口DFE三角形的面积就比较好求了。请大家想一想，除了公式以外，还可以利用什么方法去求三角形的面积？题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线段与线段的关系转化成图形与图形的关系，这样才有助于计算面积。比如：由EF=2BF,可知及dfe=2及dbf。这是连接D和E做辅助线的另外一个优点，它将线段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与图30千里之行始于足下实用文档用心整理形相互联系了起来。答疑编号

11、505721470201【答案】11【解答】由EF=2BF,可知S(ADFE=2SzDBF,SzEFC=2SzFBC,从而SzEDC=2SDBS由于AD=3BD可知SaADC=3ADBg如果设&DBC="1")那么SaEDC=“2”,SADC=“3”,所以Saade="1",SABC="4"。由于大三角形ABC勺面积为36,所以SxADE=“1”=36+4=9。下面求DFE的面积。由于AD=3BD可得&ade=3Sadbe，因此Sadbe=9+3=3。因为Sadfe=2SaDBF,而Sdfe+Sdbf=Sadbe,所以

12、Sdfe=3+3X2=2。由Saade=9,8dfe=2,可知四边形ADFE勺面积是11。31千里之行始于足下实用文档用心整理总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一个不规则的图形，通常需要添加辅助线将它分割成若干个可以计算面积的图形，例如分割成三角形、平行四边形或者梯形。如果题目中的条件给出了线段与线段之间关系，也可以利用添加辅助线的方法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样线段之间的关系就变成了三角形（或者其他图形）之间的关系，从而有助于计算图形的面积。例2.如图1,在rABB,DC=3BQrABCW面积是84,DEEA则阴影部分的面积是32千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号5

13、05721470202【答案】36【解答】连结DF,因为DREA所以三角形AC印面积与三角形CDE勺面积相等，三角形AEF的面积与三角形DEF勺面积相等.因此阴影部分的面积等于三角形CDF的面积，也等于三角形ACF的面积.又因为CD=3XBD所以三角形DEF勺面积是三角形CD丽积的,因此阴影部分的面积33千里之行始于足下实用文档用心整理34千里之行始于足下实用文档用心整理例3.如图1,已知三角形ABM面积为1,A已FD,BF=3FE则阴影部分的面积是答疑编号505721470203【答案】97.5【解答】连DE千里之行始于足下35实用文档用心整理由BF=3FE由AF=FD36千里之行始于足下实

14、用文档用心整理=2a,则37千里之行始于足下实用文档用心整理从而阴影部分的面积是38千里之行始于足下实用文档用心整理例4.如图，ABC勺面积是1,且面积是39千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号505721470204【答案】【解答】40千里之行始于足下实用文档用心整理OAB勺面积是BFD的面积是例5.在长方形ABC珅，E是AD的中点，F在CE上且EF：FG=3：1,已知三角形千里之行始于足下41实用文档用心整理60,则长方形ABCD勺面积是答疑编号505721470205【答案】192【解答】OE：O01：2,EF：FC=3：1,三角形BED勺面积：三角形BFD的面积42千里之行始于足下

15、实用文档用心整理因为三角形BFD勺面积是60,所以，三角形BED勺面积是48,则长方形ABCDJ面积是48X4=192.例6.如图，梯形ABCD7卜有一点E,使彳ABEADMEDC勺面积相等(1)证明：ABF和八尸庄勺面积相等；(2)证明：ADF和AHD勺面积相等；(3)如果已知ABF和4口6巾勺面积分别为3和1,求梯形ABCD勺面积.43千里之行始于足下实用文档用心整理答疑编号505721470206【答案】18【解答】（1）证明：因为ABEWADETB是以AE为底且面积相等，所以ABE在边AE上的高与ADEB边AE上的高相等.因为ABF与4AFD同底（AF）等高，所以ABF与4AFD的面积

16、相等。（2）证明：由（1）同理，AHDWHDCM积相等，所以ADFABD面积的一半，AHDAC面积的一半.因为梯形ABCDKABDWACM面积相等，所以ADFWAHD1积相等.（3）解：由ABF的面积是3,可得ADFHDC®积者B是3,所以AGD的面积是3-1=2.因为ABG与ADGT相同的高，且面积分别为4和2,所以BG是DG的2倍.因为CBGWCD¥相同的高，所以CBG勺面积是CDG勺2倍，为8,所以梯形ABCD勺面积为2+4+4+8=18.例7.如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形ABC?这6部分44千里之行始于足下实用文档用心整理组成，其中比多6平方厘米.那么三角形ABC勺面积是多少平方厘米？答疑编号505721470207【答案】48【解答】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且平行于EF,则四边形ADE叨梯形.在梯形ADE中有=，X:*，：;45千里之行始于足下实用文档