大学物理第六章第7讲

1、6-11 6-11 电位移电位移 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理一、一、有介质时的高斯定有介质时的高斯定理理+ + + + + + + + + + +0+ + + + + +- - - - - - r- - - - - - - - - - -0S1 1、问题的提出、问题的提出以平板电容器中充有电介质为例讨论以平板电容器中充有电介质为例讨论取图示闭合的正柱面为高斯面取图示闭合的正柱面为高斯面S S，两端面平，两端面平行于平板行于平板01SSE dsq内真空中的高斯定理真空中的高斯定理)(1d00QQSES0rr1QQ电容率电容率r0r00dQSES00rQQQ)(1d00QQSES式中

2、式中 和和 分别为高斯面所包围的自由电荷和极化分别为高斯面所包围的自由电荷和极化电荷，前面讨论已知道，电介质中电场强度电荷，前面讨论已知道，电介质中电场强度 与与 有关，因此直接计算很困难的。有关，因此直接计算很困难的。0QQQE 寻找一种简化的计算方法！寻找一种简化的计算方法！写成写成0r0dSESQ （均匀各相同性介质）（均匀各相同性介质）iiSQSD0d电位移矢量电位移矢量EPD0（任何任何介质）介质）ED（均匀均匀介质）介质）电容率电容率r0极化电荷面密度极化电荷面密度nP电位移矢量电位移矢量EEDr0令令有介质有介质时的时的高斯高斯定理定理 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量在

3、静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。0rCCr0EE （均匀均匀介质）介质）注意注意有介质时先求有介质时先求 UED说明：说明：1、为什么要引入电位移矢量为什么要引入电位移矢量 ？D2、 是一个辅助量，没有直接的物理意义是一个辅助量，没有直接的物理意义它是为求电介质中电场强度而引入的它是为求电介质中电场强度而引入的。D3、 与与 的通量是两个不同的概念的通量是两个不同的概念。DD4、利用高斯定理求解电场强度时要求电介质及利用高斯定理求解电场强度时要求电介质及场强具有对称性。场强具有对称性。5、 适用范围适用范围0

4、rDEE 例例3 把一块相对电容率把一块相对电容率 的电介质的电介质,放在极放在极板间相距板间相距 的平行平板电容器的两极板之间的平行平板电容器的两极板之间.放入之前放入之前,两极板的电势差是两极板的电势差是 . 试求两极板间试求两极板间电介质内的电场强度电介质内的电场强度 , 电极化强度电极化强度 , 极板和电介极板和电介质的电荷面密度质的电荷面密度, 电介质内的电位移电介质内的电位移 .3rV1000EPDmm1d1316130mkV10mV10mV101000dUE解解r0EE 12mkV1033. 3260rmC1089. 5) 1(-EP26000mC1085. 8E26mC1089

5、. 5 P26000r0mC1085. 8-EED 例例4 一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度各为 和和 的电介质，它们的相对电容率分别为的电介质，它们的相对电容率分别为 和和 , 极板极板面积为面积为 . 求（求（1）电容器的电容；电容器的电容； （2）当极板上的当极板上的自由电荷面密度的值为自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化时，两介质分界面上的极化电荷面密度电荷面密度.1d2dr1r2S0+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - - + + + + + + 11+ + + + +

6、 + - - - - - - 221S1E2E解解：（：（1 1）设电介质中）设电介质中电场强度分别为电场强度分别为 和和 方向垂直于板面，取上方向垂直于板面，取上下底面积均为下底面积均为 的正的正柱面为高斯面，上底面柱面为高斯面，上底面在导体板内，下底面在在导体板内，下底面在 的电介质内则的电介质内则1E2E1S10dSSDS0D1r00r101DEr200r202DE10dSSDS仿此可得仿此可得两极板间电势差两极板间电势差2211ddEdElEUl0120r1r2()QddS + + + + + - - - - - + + + + + + + + +- - - - - - - - - +

7、 + + + + - - - - - 1d2d0112201S1E2E + + + + + - - - - - + + + + + + + + +- - - - - - - - - + + + + + - - - - - 1d2d0112201S1E2E12r21r2r1r00ddSUQC（2）应用已知公式应用已知公式0r1r1110r2r221由电容定义由电容定义设想设想 和和 是由介质是由介质1 1和介质和介质2 2分别构成的分别构成的两个电容器的电容，则电容两个电容器的电容，则电容 显然满足显然满足1011rsCd 1022rsCd 12111CCCC 例例5 常用的圆柱形电容器，是由半

8、径为常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长的长直圆柱导体和同轴的半径为直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，的薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的的电介质电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和和 .求（求（1）电介质中的电场强度、电位移和极电介质中的电场强度、电位移和极化强度；化强度；（）（）电介质内、外表面的极化电荷面密度；电介质内、外表面的极化电荷面密度；（）（）此圆柱形电容器的电容此圆柱形电容器的电容1R2Rr1R2R1R2RrlSDSdlrlD2rD2rDEr0r02)(2

9、1RrRrEPrr0r21) 1(解解：（：（1 1）电场分析）电场分析 , ,作一与圆柱同轴的作一与圆柱同轴的圆柱形高斯面，半径为圆柱形高斯面，半径为 ，长为，长为 ，则，则12()RrRrl1R2Rr（）（）由上题可知由上题可知rDEr0r021r012RE)(1Rr 2r022RE)(2Rr 1rr10r12) 1() 1(RE2rr20r22) 1() 1(RE1R2Rr（）（）由（）可知由（）可知rEr02)(21RrR21r02ddRRrrrEU120ln2RRrUQC 12r0ln2RRl0r C真空圆柱形真空圆柱形电容器电容电容器电容例例6、在半径为在半径为R R的金属球外，有

10、一外半径为的金属球外，有一外半径为 的同心均的同心均匀电介质层，其相对介电常数为匀电介质层，其相对介电常数为 ，金属球电量为，金属球电量为Q Q。试求：（试求：（1 1）场强空间分布；）场强空间分布； （2 2）电势空间分布。）电势空间分布。RrRRQrQPrP内SSqsdD0由由有有 QrD042)()(球外球内解解：由对称性知，电场中各点的：由对称性知，电场中各点的 矢量方向均矢量方向均沿径向，沿径向， 的大小具有球对称性的大小具有球对称性DD（1 1）在介质球壳内作一半径）在介质球壳内作一半径 为为 高斯球面，则高斯球面，则12()r RrRE 0（球内）（球内）DE 204rQr （介

11、质内）（介质内）204Qr（介质外）（介质外）RRQrQPrPQ0Q0：沿半径向外；：沿半径向外；Q0QEBEC UAUBUC (B) EAEBEC UAUBUC(D) EAEBUBUCCBA(A) EAEBEC UAUBUC 2 有一边长为有一边长为a的正方形平面，在其中垂的正方形平面，在其中垂线上距中心线上距中心O点点a/2处，有一电荷量为处，有一电荷量为q的正的正点电荷，如图，则通过该平面的电场强度通点电荷，如图，则通过该平面的电场强度通量为多少量为多少?aoqa/2aaoqa/2a解解作边长为作边长为a的立方体，的立方体，q位于立方体中央：位于立方体中央：006d61dd1qSESEq

12、SESSS(高斯面高斯面S) 3 已知一匀强电场的电场强度表达式为已知一匀强电场的电场强度表达式为，求点，求点a(3,2)和点和点b(1,0)间的电势差间的电势差Uab1mV ) 600 400(jiEV 000 2)20(600)31 (400dyExElEUyxbaab解解 4 真空中有一均匀带电球面真空中有一均匀带电球面,半径为半径为R，总，总电荷量为电荷量为Q(Q0)，今在球面上挖去一很小面，今在球面上挖去一很小面积积dS，设其余部分的电荷仍均匀分布，求挖，设其余部分的电荷仍均匀分布，求挖去后球心处的电场强度去后球心处的电场强度和电势和电势.QdS24 RQSqdd4022016d4d

13、dRSQRqERSQRqQU004d4d解解QdSE 5 真空中一半径为真空中一半径为R的半圆细环，均匀带的半圆细环，均匀带电电Q. 设无穷远处为电势零点，求圆心设无穷远处为电势零点，求圆心O处处的电势的电势U0 . 若将一带电荷量为若将一带电荷量为q的点电荷从的点电荷从无穷远处移到圆心无穷远处移到圆心O处，求电场力做的功处，求电场力做的功W.ROQqRqQqUqUWo0004RQU004解解 6 一圆盘半径为一圆盘半径为R，中间挖去一个半径，中间挖去一个半径为为a的同心小圆盘，余下部分均匀带电面密的同心小圆盘，余下部分均匀带电面密度为度为，求盘心处的场强和电势，求盘心处的场强和电势.Rard

14、rRadrdUU02rdrdq 2drrdqdU0024E=0解解)(20aRADq0qcqCDB解解:电场力做功电场力做功)(00BAABBAABVVqWl dEqWDBqCBqVADqACqVDCBDCA000044044JWcqAB580100 . 9100 . 2 7. 图示图示 且且 求将电荷求将电荷 从从 沿半圆沿半圆 移到移到 点电场力做功点电场力做功cqcqDc8810031003.=,.=mDBADAC21004.=cq801002.=AABB 8 一半径为一半径为a的导体球的导体球, 被围在内半径为被围在内半径为b、外半径为、外半径为c，相对介电系数为，相对介电系数为r 的

15、介质同的介质同心球壳内，若导体球带电荷量为心球壳内，若导体球带电荷量为Q, 求求D(r), E (r)和导体表面电势和导体表面电势.abcQr解解sqSDdqrD24rarQarD2400abcQrEDr0abcQrrcrQcrbrQbrarQarEr20202044400aarEudcQcbQbaQr0004114114abcQrrrQrrQrrQccbrbad4d4d4202020 9 一空气平行板电容器电容为一空气平行板电容器电容为C，两极板，两极板间距为间距为d, 充电后，两极板间相互作用力为充电后，两极板间相互作用力为F, 求两极板间的电势差和极板上电荷量的大小求两极板间的电势差和极板上电荷量的大小.d+Q- QF+ + + + + +- - - - - -解解dsC0sQE0022sQEQF022CdFsFQ220CdFCQu/2d+Q- QF+ + + + + +- - - - - - 10 一球型导体，带电荷量为一球型导体，带电荷量为q，置于，置于一任意形状的空腔导体内，当用导线将两一任意形状的空腔导体内，当用导线将两者连接后，与未连接前相比，系统的静电者连接后，与未连接前相比，系统的静电场能量将场能量将 （