大学物理第7章机械波

1、第第7章章 机机 械械 波波形变：形变：u 什么是波？什么是波？ 1. 机械波机械波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波. .u 波的分类波的分类 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波形成机械波. . 产生条件产生条件波源：作机械振动的物体波源：作机械振动的物体弹性介质：承担传播振动的物质弹性介质：承担传播振动的物质2. 电磁波电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波. .3. 物质波物质波物质波物质波（也称概率

2、波）（也称概率波）是微观粒子的一种属性，具有完全是微观粒子的一种属性，具有完全不同的性质，遵从量子力学理论不同的性质，遵从量子力学理论. .干涉、衍射干涉、衍射第第7章章 机机 械械 波波横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波.（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波峰和波谷.7.1 机械波机械波纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部

3、和疏部.水面波是什么波水面波是什么波?纵波与横波的合成纵波与横波的合成波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。的指向表示波的传播方向。波阵面：波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成在波动过程中，把振动相位相同的点连成的的面面( (简称波面简称波面) )。波前：波前：在任何时刻，最前方的波面即是波前。在任何时刻，最前方的波面即是波前。平面波平面波波波线线波波阵阵面面球面波球面波波波阵阵面面波波线线7.1.3 波的几何描述波的几何描述7.1.4 波长、周期、频率和波速波长、周期、频率和波速2 波长波长 ：沿波的传播方向，

4、两个相邻的、振动状态完全：沿波的传播方向，两个相邻的、振动状态完全相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-ux2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间.T2 频率频率 ：即：即单位时间内波动所传播的完整波的数目单位时间内波动所传播的完整波的数目.2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播的距离的距离.uT1TuuTu纵、横波波速纵、横波波速固体中固体中纵波波速纵波波速横波波速横波波速气、液中纵波波速气、液中纵波波速绳中横波波速绳中横波

5、波速 Yu杨氏模量杨氏模量质量密度质量密度 Gu切变模量切变模量 Bu容变容变模量模量 Tu张力张力质量线密度质量线密度如声音的传播速度如声音的传播速度sm4000sm343空气，常温空气，常温左右，左右，混凝土混凝土取决于取决于介质的弹性模量介质的弹性模量和和密度密度),(txyy 各质点相对平衡位各质点相对平衡位置的置的位移位移波线上各质点波线上各质点平平衡衡位置位置7.2.1 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移）相对其平衡位置的位移（坐标为（坐标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称为波函数称为波函

6、数.( , )y x tyx简谐波的波函数简谐波的波函数0( , )cos()y x tAtkx-7.2 平面简谐波平面简谐波传播过程中各质元均做同频率、同振幅的简谐振动的平面波点点O 的振动状态的振动状态tAyOcos点点 Puxt t 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-x/u时刻点时刻点O 的运动的运动 以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的轴正向传播的平面简谐波平面简谐波 . 令令原点原点O 的初相为的初相为零，其振动方程零，其振动方程 tAyOcos)(cosuxtAyP-点点P 振动方程振动方程时间推时间推迟方法迟方法00,0 x0cos()OyAt点点 O 振动方程振动方程 沿沿

7、轴轴正正向向 ux0cos ()xyAtu-yxuAA-O 如果原点的如果原点的初相位初相位不不为零为零0cos2yxtA-22uu，0( , )cos 2txy x tAT-0( , )cos 2xy x tAt - 7.2.2 波函数的物理意义波函数的物理意义0cos2yxtA-00cos2Atyx- (1) x = x0 ，给出，给出 x0 处质元振动方程处质元振动方程(2) t = t0 ，给出，给出 t0时刻的波形图时刻的波形图00cos2xtyA-(3) x 和和 t 都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布. .yxuxt时刻时刻tt时刻时

8、刻),(),(xxttxt)(2cosxTtAy-)(2)(2xxTttxTt-xTtxu t v波速波速 u 也称作相速度也称作相速度. .PoXYxu1x2x1102xxt-点相位：2202xxt-点相位：:两点相位差1200(2)(2)xxtt-2122xxx-波程差波程差1221xxx-x27.2.3 相位差与波程差（重要）相位差与波程差（重要）0cos2yxtA-00:cos()xyAt参考点X点相位滞后0 xx -波程差)(20 xx -相位差0)2cos(xtxyA-x0 xxyu00:cos()xyAt0px点相位超前0cos(2)xxyAt-02xx-PoXYxux0t+dt

9、时刻oXYut时刻t+dt时刻uoXYt时刻沿X轴正向传播的波，曲线上升段各质点速度为负，沿X轴负向传播的波，曲线上升段各质点速度为正，由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向曲线下降段各质点速度为正曲线下降段各质点速度为负cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u xp例例. 波形如图波形如图0t cm1A cm12 s2 . 11012uT s/rad35T2 先写先写 点振动方程点振动方程o0 3 y3 )3t35cos()tcos(Ay00 波动方程波动方程025coscos363xxytt-s ,g,cm(制制)（1）写出波动方程。）写出波动方程。关键确定关

10、键确定由图可知由图可知解：（解：（1）ocm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （2）求）求 两处质点振动位相差。两处质点振动位相差。 cm11x,cm5x21解：解：位相差位相差2122()(11 5)12xx-x2 反位相反位相（3）各质点振动速度、加速度表达式）各质点振动速度、加速度表达式025coscos363xxytt-振动速度振动速度tyv振动加速度振动加速度22yat02sinxt -7.3.1 波动能量的传播波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能其平衡位置附近振动，

11、因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. xxOxdxOyyyd以固体棒中传播的以固体棒中传播的纵波纵波为例分析波动能量的传播为例分析波动能量的传播.7.3 机械波的能量机械波的能量 22k11ddd22EmVvv)(sinuvxtAty-2 振动动能振动动能222k1ddsin()2xEVAt-uxxOxdxOyyydcos()xyAtu-平面简谐纵波在直棒中传播：平面简谐纵波在直棒中传播：1.动能动能长变杨氏模量长变杨氏模量FyYSxYu)(sinuxtAuxy-YSkx)(sind21222uxtVA-221dd()2dpyd

12、EuVx22P11()22yEkyYS xx2 2.弹性势能弹性势能xxOxdxOyyydyFYSx21()2PEkl弹簧伸长弹簧伸长 时弹簧的弹力：时弹簧的弹力：lFkl弹性势能：ky 体积元的总机械能体积元的总机械能kpdddEEE222k1ddsin()2xEVAtu-2 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零. 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、势能、总机械能均随总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且

13、变化是同相位同相位的的., x t222P1ddsin()2xEVAt-u222dsin()xVAtu-oXYuABCBACDE从波形图理解动能与势能同相变化从波形图理解动能与势能同相变化dydx：波形图上斜率2P1ddd ()2dyEYS xxXYo 2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传波动是能量传递的一种方式递的一种方式 .222ddsin()xEVAtu- 能量密度能量密度：单位体积介质中的波动能量：单位体积介质中的波动能量.222dsin()

14、dExwAtVu-平均平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.20211d2Tww tTA220AdV结论：结论：机械波的能量与机械波的能量与振幅的平方振幅的平方、频率的平方以及介质、频率的平方以及介质的密度成正比的密度成正比。1、能流：SuuPwuS3、平均能流密度（波的强度）：2212uwuSIPA22IAu、单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。单位面积上通过的平均能流2212PwusA uS2、平均能流：波的强度与振幅的平方成正比7.3.2 能流和能流密度能流和能流密度 例例 证明球面波的振幅与证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，离开其

15、波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数并求球面简谐波的波函数.证证 介质无吸收，通过两个球面介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等的平均能流相等.1s2s1r2r1221rrAA)(cos00urtrrAy-2211uSuS2222221221421421ruAruA式中式中 为离开波源的距离，为离开波源的距离， 为为 处的振幅处的振幅.r0rr 0A波在传播过程中，振幅越来越小，称为波的衰减。称为介质的吸收系数或波的衰减系数。xxAxdxAdA设波沿 方向传播，在 处振幅为 ，在处振幅为。AdxdA-AdxdA- 即xeAA-0 则有0 0AAx处设xeII20-0(0)Ix 为处的波的强

16、度dAAdx -2IA7.3.3 波的吸收和衰减（选讲）波的吸收和衰减（选讲）001 AxAdAdxA-即 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射7.4 惠惠 更更 斯斯 原原 理理球球 面面 波波平平 面面 波波 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前新的波前.7.4.1 7.4.1 惠更斯原理惠更斯原理O1R2Rtu 波的衍射波的衍射 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物波在传播过程中遇到障碍物时，

17、能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播. 7.4.2 波的衍射波的衍射N界面界面7.4.3 波的反射和折射波的反射和折射RN界面界面IiirL用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明.2） 1）反射线、入射线和界面反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；的法线在同一平面内； ii 反射定律反射定律i i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii时刻时刻 t+t 波的折射波的折射 用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明.时刻时刻 ti i i A1A2A3B2B3B1NNAId1）折射线、入射线和界折射线、入射线和界

18、面的法线在同一平面内；面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2） N界面界面RN界面界面IiirL时刻时刻 t+tB2B3B1NNAIrrBRri i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 t时刻时刻 t+ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133sinsinuuABBAri所以所以7.5.1 波的叠加原理7.5 波的干涉波的干涉2 几列波相遇之后，几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频仍然保持它们各自原有的特征（频、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进

19、，好象没有遇到过其他波一样前进，好象没有遇到过其他波一样.2 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和点所引起的振动位移的矢量和.7.5.1 波的叠加原理频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为弱的现象，称为波的干涉现象波的干涉现象.7.5.2 波的干涉波的干涉相干条件相干条件1s2sP*1r2r波源振动1011cos()yA

20、t2022cos()yAt)2cos(1111rtAyp-)2cos(2222rtAyp-点点P 的两个分振动的两个分振动)cos(21tAyyypppcos2212221AAAAA12122rr -常量常量讨讨 论论1 ) ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的布随位置而变，但是稳定的.,2, 1 ,02kk, 2 , 1 , 0) 12(kk2121AAAAA-其他其他21AAA振动始终振动始终加强加强21AAA-振动始终振动始终减弱减弱2 ) )cos2212221AAAAA12122rr -波程差波程差12rr -若若

21、则则212-21AAA-振动始终振动始终减弱减弱21AAA振动始终振动始终加强加强,2, 1 ,0)21(kk2121AAAAA-其他其他, 2, 1 , 0kk3 ) )讨讨 论论cos2212221AAAAA12122rr - 例例1 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波两点为同一介质中两相干波源源.其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 适为波谷适为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.解解15m20mABPm25m201

22、522BPm10. 0m10010u 设设 A 的相位较的相位较 B 超超前，则前，则 .-BA2011 . 0152522-APBPAB点点P 合振幅合振幅021-AAA求：（求：（1）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？1020 m2510u - -krr21 - - -k)xl (x)m(k52k2lx 由由 取值在取值在 之间之间x0l5 ,4,3,2,1 ,0k 10,9 ,8 ,7 ,6 ,5x 0 ,1 ,2,3,4)m(加强加强m04. 0A2A1 l1s2sxxl - -例例2. 设两相干波源设两相干波源 、1s2sm10l m02. 0

23、AA21 Hz5 02010 s/m10u （2）延长线上合振动如何？）延长线上合振动如何？ - -5m10lrr21加强加强两边延长线上合振动始终加强两边延长线上合振动始终加强（3）能否改变）能否改变 使延长线上合振动减弱？使延长线上合振动减弱？l可以！可以！2)1k2(l 半波长的奇数倍即可。半波长的奇数倍即可。l1s2s1r2r4 1spp1r1r2r2r解：解：左边延长线上左边延长线上 点：点：p右边延长线上右边延长线上 点点：p0422)rr(2121020- -)4(22)rr(2121020加强加强减弱减弱合振幅合振幅合振幅合振幅1A2A 0A 例例3. 两相干波源两相干波源 超

24、前超前 ，2s1s2 4l 相距相距 ， 。讨论。讨论延长线上干涉情况延长线上干涉情况21AA 2s7.6.1 驻波的产生驻波的产生振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.7.6 驻波驻波驻驻 波波 的的 形形 成成驻波的振幅驻波的振幅与位置有关与位置有关2cos 2cosxAt7.6.2 驻波方程驻波方程1cos(2)xyAt-正向正向2cos(2)xyAt负向负向21yyy各质点都在作同各质点都在作同频率的简谐运动频率的简谐运动cos

25、(2)cos(2)xxAtAt-2cos2 cosxyAt 驻波方程驻波方程 讨论讨论x2cos,2, 1 ,02kkx, 2 , 1 , 0)21(2kkx10 x波腹波腹波节波节AAkk2, 1 , 02max相邻相邻波腹（节）波腹（节）间距间距 24相邻波相邻波腹腹和波和波节节间距间距 1）振幅振幅 随随 x 而异，而异， 与时间无关与时间无关.xA2cos2min1()0,1,02 2kkA 2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在两侧振动相位相反，在波节波节处产生处产生 的的相位跃变相位跃变 .（与行波不同，无相位的传播）（

26、与行波不同，无相位的传播）.2 cos2cosxyAtx2cos,44,0-x2 cos2 cosxyAt2 cos2cos()xyAt,434, 0 xx2cosxyo22-4x为为波节波节例例设入射波在该点的振动方程为设入射波在该点的振动方程为cosA设反射波在该点的振动方程为设反射波在该点的振动方程为cosAcoscos0AA 1、反射点为波节、反射点为波节x设沿方向的入射波在B点的振动方程12cosBByAtx-x-则沿方向的反射波在B点的振动方程22cosBByAtx-2、反射点为波腹、反射点为波腹x-则沿方向的反射波在B点的振动方程22cosBByAtx7.6.3 相位跃变相位跃变

27、（半波损失）（半波损失） 当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介被反射到波疏介质时形成质时形成波节波节. 入射波与反射波在此处的相位时时入射波与反射波在此处的相位时时相反相反, 即反射即反射波在波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个波长的波，相当于出现了半个波长的波程差，称程差，称半波损失半波损失.波密波密介质介质u较大较大波疏介质波疏介质较小较小u 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射被反射到波密介质时形成到波密介质时形成波腹波腹. 入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相

28、位时时位时时相同相同，即反射波在分界处，即反射波在分界处不不产生相位产生相位跃变跃变.7.6.4 驻波的能量驻波的能量2kdE()yt2pdE()yx 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.AB C波波节节波波腹腹xx位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时例例 在弦线上有一简谐波，其表达式为：在弦线上有一简谐波，其表达式为：212.0 10cos2 () ()0.02203txy-SI 为了在此弦线上形