大学生物理竞赛电磁学(二)

1、法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律tidd 楞次定律楞次定律: :闭合回路中感应电流的方向，总是使它所闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。 baildBv)( Blv 整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体在整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体在稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。ab a b均均匀匀磁磁场场Bvl典型典型装置装置 例例. 半径为半径为 R 的铜盘，在均匀磁场中以角速度的铜盘，在均匀磁场中以角速度 w w 转转动，求盘上沿半径方向产生的感应

2、电动势。动，求盘上沿半径方向产生的感应电动势。w wOA解：解：ldvlBvid)(d lvBd llBdw w lBlidw w RllB0dw w221BRw w 0感应电动势的方向感应电动势的方向 O AOA 感生电动势感生电动势根据法拉第电磁感应定律根据法拉第电磁感应定律 SSBttddddd StBSd 当回路当回路L及其所围面积保持不变，则有及其所围面积保持不变，则有感生电动势：感生电动势：由于磁场随时由于磁场随时间变化而引起间变化而引起的感应电动势的感应电动势。动生电动势动生电动势: :导体在稳恒磁场导体在稳恒磁场中运动时中运动时, ,所产所产生感应电动势。生感应电动势。 Lkl

3、Ed感生电场的计算感生电场的计算（1 1） 原则原则StBtlESLdddd 感生（2 2） 特殊特殊空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。平行柱轴，如长直螺线管内部的场。磁场随时间变化磁场随时间变化 感生电场具有柱对称分布。感生电场具有柱对称分布。 B t 具有某具有某种对称性才有种对称性才有可能计算出来可能计算出来感生感生EB解：设场点距轴心为解：设场点距轴心为 r , ,根据对称性，取根据对称性，取以以O为心，过场点的圆周环路为心，过场点的圆周环路L L，方向如图，方向如图rEl dEL 2感生感生 dtd

4、BS 例例. . 空间均匀的磁场限制在半径为空间均匀的磁场限制在半径为 R 的圆柱内，的圆柱内， 的方向平行柱轴，且有的方向平行柱轴，且有求：求：E 感生感生 分布分布BctB ddrLdtdBrE2 感生dtdBrRE22 感生 r RrEl dEL 2感生感生 dtdBR2 LOrStBtlESLdddd 感生“-”表示表示E与与L方向相反方向相反例例. 在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由自由转动的刚性扇形封闭导体回路转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径其半径OA=L，回回路总电阻为路总电阻为R，在在OMN区域内为均匀磁场区域内为均匀磁

5、场B，已知已知OA边进入磁场时的角速度为边进入磁场时的角速度为w w，则此时导体回路内的电流，则此时导体回路内的电流 i = _ , 因此导体回路所受的电磁阻力矩因此导体回路所受的电磁阻力矩M = _ 。 MNOBABlBvd ）（） 1 LllB0dw w22BLw w Ri ）2 NBAOBBliF dd）3lBiFdd lFM dd）4RLBliBlML4420w w d方向：方向：OAFdldv竞赛题讲解竞赛题讲解例例. 如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将

6、两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 的水银流过矩形管，流速为的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为应强度为B。求加磁场后水银的流速求加磁场后水银的流速vablB解：设加磁场后水银的流速解：设加磁场后水银的流速 v水银中产生感应电动势水银中产生感应电动势Bva blaR 水水银银的的电电阻阻： BvblRI

7、感感应应电电流流反反向向与与水水银银所所受受磁磁场场力力：vvablBBIaF 2 vlBabFP2 管管两两端端附附加加压压强强差差PP 0管管两两端端的的实实际际压压强强差差：vPlBPPPvv020001 据据题题设设02001PlBvvv ablB例例. 一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的环的底部受两个固定挡的限制底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动使其不能滑动, 现环受一扰动现环受一扰动偏离竖直面偏离竖直面0.1弧度弧度, 并开始倒下并开始倒下. 已知已知B=0.5T, 环半径环半径r1=4cm, 截面半径截面半径r2 =1mm,

8、金的电导率金的电导率 =4.0 107/m, 设环重设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.BSN 变变当当环环倒倒下下时时 dtd Ri BPMm sin121Br 时时当当）tBrtddcosdd 212 ）221221223rrrrR ）)2sin(5 PBM） cosiSB dtdBrr 2cos2223122 时时与与磁磁力力矩矩平平衡衡环环倒倒下下过过程程中中重重力力矩矩时时）6 sin2cos12223122FrdtdBrr dFBrrtsin2cos22

9、2212221 .0 )11. 2s（ BSN PdtdBrrRi 2cos4122 ）例例.t dd w w tAOvlAOAddcos 1)取回路取回路ABOA，通过回路的磁通量为，通过回路的磁通量为由运动学知识可知由运动学知识可知._,_(),(, outinEECdtditiinR管管外外的的感感生生电电场场强强度度则则管管内内的的感感生生电电场场强强度度常常量量），且且通通以以随随时时间间变变化化的的电电流流，单单位位长长度度内内的的匝匝数数为为管管的的半半径径为为例例：一一无无限限长长密密绕绕螺螺线线EinEout解：长直密绕螺线管内解：长直密绕螺线管内B= = 0niEBi产生涡

10、旋电场产生涡旋电场变变变变SddtBdldELS SddtBdldELSin ）12022rnCrdtdBrEin rnCEin20 202)2outErnCRrnCREout220 RrrABBOALOOkktBtBdOO 求求：沿沿棍棍的的感感生生电电动动势势的的金金属属棍棍角角，长长为为成成现现在在空空腔腔中中放放一一与与为为常常数数）线线性性增增长长，即即随随时时间间设设磁磁感感应应强强度度匀匀磁磁场场的的方方向向，表表示示两两圆圆柱柱间间存存在在的的均均截截面面，用用的的图图中中所所示示为为垂垂直直于于轴轴线线两两圆圆柱柱轴轴间间距距离离间间，轴轴平平行行地地挖挖出出一一圆圆柱柱空空

11、例例：一一无无限限长长圆圆柱柱，偏偏,60(,0 o. o ABd解：该磁场可视为大圆柱磁解：该磁场可视为大圆柱磁场场B 与空腔内磁场与空腔内磁场 B 的叠的叠加加空腔内的感应电场由这两部分产生空腔内的感应电场由这两部分产生dtdBrE211 r1E1E2r2dtdBrE222 SddtBdldELS r1E1E2r2OO y jEiEjEiEEEE cossincossin221121 xdtdBjrirjrir cos2sin2cos2sin22211jtBdEdd2 EO O EL Ll dE kLdLtBd433020 cosdd300各各取取何何值值？、离离开开小小圆圆区区域域，问问

12、点点中中的的某某一一点点，而而后后又又从从圆圆能能相相切切地地经经上上半半。为为使使方方向向角角，速速度度大大小小为为进进入入小小圆圆区区域域，初初点点，从从的的粒粒子子、电电量量为为为为两两圆圆切切点点。一一个个质质量量圆圆心心， 00NOMNP OP0vvqmN 例：例：krtBEkrtBE 2211dd21dd21StBlELSdddd 均匀电场均匀电场空腔内的感应电场由这两部分产生电场相减空腔内的感应电场由这两部分产生电场相减, 任意一点任意一点A该磁场可视为大圆柱磁场该磁场可视为大圆柱磁场B与小圆柱磁场与小圆柱磁场 B 相减相减E两式相比得两式相比得 由射高得由射高得qE = ma大

13、大小小。挤挤压压力力，并并计计算算此此力力的的力力还还是是转转而而在在环环内内产产生生的的是是张张时时刻刻圆圆环环因因旋旋电电流流。试试问问成成传传导导阻阻足足够够大大，环环内内不不会会形形绕绕圆圆心心旋旋转转，设设圆圆环环电电将将环环。由由于于电电磁磁感感应应，圆圆环环线线性性增增大大，比比例例系系数数为为随随时时间间，而而后后时时磁磁感感应应强强度度均均匀匀磁磁场场。设设向向上上的的场场，圆圆周周和和园园内内有有竖竖直直平平桌桌面面上上，圆圆环环外外无无磁磁静静放放在在光光滑滑绝绝缘缘水水的的匀匀质质带带电电刚刚性性细细圆圆环环电电荷荷量量为为、质质量量为为代代表表挤挤压压力力。将将半半径

14、径为为代代表表张张力力，力力。这这两两种种力力同同记记为为推推力力，则则称称环环内内有有挤挤压压果果均均是是，则则称称环环内内有有张张力力，如如部部分分的的作作用用力力均均是是拉拉力力余余弧弧，如如果果它它的的两两端端受受其其在在圆圆环环上上任任取取一一小小段段圆圆00000 tkBBtqmRTTT. .RB例例:解：解：tBREdd2 1 1）在稳恒电路的任一节点处，流入节点的电流强）在稳恒电路的任一节点处，流入节点的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和度之和等于流出节点的电流强度之和 节点电流定律节点电流定律( (基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律) )2 2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路

15、一周的电势降落）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的的代数和代数和等于零。等于零。 回路电压定律回路电压定律( (基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律) )欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式电电阻阻率率电电导导率率 1 EJSlSlR 例：例：10根电阻同为根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，的电阻丝连成如图所示的网络，试求：试求：A，B 两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由对称性知由对称性知AC与与BE，AF与与BD电流相同电流相同III1I2设：总电流为设：总电流为 I , 由节点电流关系得其他电流由节点电流关系得其他电流I-I1I2-I

16、1I - I2I1I-I1I - I2-I1由对称性由对称性 I - I2= I2由由AC间电压间电压2 R I1 = R ( I-I1）+R (I2-I1)II831 )(21121IIRRIRIIIURABAB RRAB815 22II 例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1 1 ，则则A, B两端点间的电阻为两端点间的电阻为ABCDOABCDO据对称性可将原电路等效成下据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同电路的电阻相同rrrrrR321211 23232111rRRRRAB总总电电

17、阻阻为为：例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感应强度为应强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正的正方形导线框在正交直导线上以匀速方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导滑动，滑动时导线框的线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线两点始终与水平直导线接触，竖直直导线则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电阻值均为阻值均为 r，试问：试问：1）导线框的）导线框的C, D两点移至竖直导两点移至竖直导线上时，流过竖直导线线上时，流过竖直

18、导线CD段的感应电流是多少？段的感应电流是多少？ 2）此时导线框所受的总安培力为多大？）此时导线框所受的总安培力为多大？BaABCDvABCD右右左左II CD2ar2arar2I左左I右右I CD2ar2arar2I左左I右右IvBavBa24cos2 势势均均为为解解：左左右右两两侧侧动动生生电电动动并并联联电电路路由由基基尔尔霍霍夫夫定定律律，或或串串rvaBaIBF）（21222 2）导线框所受磁场力大小就等于）导线框所受磁场力大小就等于CD段导线所受磁段导线所受磁场力的大小（也可根据场力的大小（也可根据 I左，左， I右右 具体计算各边受力）具体计算各边受力）022022 arIar

19、IarIarIIII左右右左rrvBararvBaI2222 例：半径为例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间随时间作线性变化作线性变化 B= kt （ k = 225/ T/s）. 用分别为用分别为 30 与与60 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用点用30 的直电阻丝的直电阻丝MON相连。相连。 求（求（1）电势差）电势差UMN; （2）在环外用多大阻值的电阻）在环外用多大阻值的电阻丝连接丝连接M, N点可使直电阻丝

20、点可使直电阻丝MON上电流为零。上电流为零。 MN30 30 60 KO解：总的电动势（设解：总的电动势（设L逆时针）逆时针）Vddd92 RtBlEL V5421. StBlELSdddd MN30 30 60 KO1 2 30 60 30 MNR3 1) K 断开，设电流方向如图断开，设电流方向如图1I 2I 3I 0303003060121232213 IIIIIII VIUIMN9 . 0301505 . 422 解解出出：2) K 合上，令合上，令I2 = 0, I4 如图如图4I 60300023112 IIUIMN得得：由由6043314 IRIII 例：无限长密绕螺线管半径为例

21、：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其为其分界面，半圆环电阻分别为分界面，半圆环电阻分别为R1 和和 R2，且且R1 R2,，如图，如图，当当B增大时，求增大时，求: Ua 0的空间，设线圈的自感为的空间，设线圈的自感为L，质量为质量为m，并设并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。考虑重力，框的电阻不计）。bayxv0

22、解：线框进入磁场后解：线框进入磁场后vBa 动动生生电电动动势势方向沿逆时针有电流产生 ,xIaBF 方向：方向：dtdvmIaBmaF LIv 产产生生变变变变00 IRRL 圈圈由由全全电电路路欧欧姆姆定定律律，线线LvBadtdIdtdILvBa 022dtvdmdtdIaBdtdvmIaB vmLaBdtvd2222 由上两式：由上两式：谐振动二阶微分方程谐振动二阶微分方程mLaB222 w w令令：)cos( w w tAv)sin( w ww w tAx0, 0,0,00 vAvvxt时时由由初初始始条条件件：0)sin(0 xtvxw ww w例：一半径为例：一半径为 a 的小圆

23、线圈，电阻为的小圆线圈，电阻为R，开始时与一开始时与一个半径为个半径为b（ba）的大线圈共面且同心，固定大线的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以使小线圈绕其直径以匀角速匀角速 w w 转动如图（线圈的自感忽略）。转动如图（线圈的自感忽略）。 求：求：1）小线圈中的电流；）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势大线圈中的感应电动势Iabw w解：解：1） b a ，小线圈内的磁场近似均匀，小线圈内的磁场近似均匀tabIBSSBw w co

24、s2cos20 dtd1 tabIw ww w sin220 Ri1 tabRIw ww w sin220 2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动BPMMm 磁磁外外2220sin2IatbRww tiSBMw wsin外外3）当小线圈当小线圈i 变化时，大线圈中也有互感电动势产生变化时，大线圈中也有互感电动势产生通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数MtabIMw w cos220 过过大大线线圈圈的的磁磁通通量量？小小线线圈圈电电流流的的磁磁场场，通通iM tabw w cos220 ta

25、bRIw ww w sin220 tRbIatiMw ww w 24224220cosdd 大大MI 例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距距l，上端与电动势为上端与电动势为 、内阻为、内阻为r的直流电源连接，电的直流电源连接，电源正、负极位置如图所示。另有一根质量源正、负极位置如图所示。另有一根质量m、长长l、电阻电阻R的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B，方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的最大加速度下运动过程中的最大加速度amax和最大速度和最大速度vmax。 rm, l, RBB解：依题意，由欧姆定律知，解：依题意，由欧姆