第2讲数列求和及综合应用

1、二轮二轮数学数学第第2 2讲数列求和及综合应用讲数列求和及综合应用二轮二轮数学数学 高考导航高考导航 热点透析热点透析 思想方法思想方法 阅卷评析阅卷评析二轮二轮数学数学 高考导航高考导航 演习真题演习真题 明确备考明确备考高考体验高考体验1.(20141.(2014 高考新课标全国卷高考新课标全国卷, ,文文 16)16)数列数列aan n 满足满足 a an+1n+1= =11na, , a a8 8=2,=2,则则 a a1 1= = . . 解析解析: :将将 a a8 8=2=2 代入代入 a an+1n+1= =11na, ,可求得可求得 a a7 7= =12; ; 将将 a a

2、7 7= =12代入代入 a an+1n+1= =11na, ,可求得可求得 a a6 6= =- -1;1; 将将 a a6 6= =- -1 1 代入代入 a an+1n+1= =11na, ,可求得可求得 a a5 5=2;=2; 由此可以推出数列由此可以推出数列aan n 是一个周期数列是一个周期数列, ,且周期为且周期为 3,3,所以所以 a a1 1=a=a7 7= =12. . 答案答案: :12 二轮二轮数学数学2.(20132.(2013 高考新课标全国卷高考新课标全国卷, ,文文 17)17)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前 n n 项项和和 S Sn n满足满

3、足 S S3 3=0,S=0,S5 5= =- -5.5. (1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)求数列求数列 21211nnaa 的前的前 n n 项和项和. . 解解: :(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为 d,d,则则 S Sn n=na=na1 1+ +12n n d.d. 由已知可得由已知可得11330,5105.adad 解得解得 a a1 1=1,d=1,d=- -1.1. 故故aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2=2- -n.n. 二轮二轮数学数学(2)(2)由由(1)(1)知知21211nnaa= = 13212nn=

4、 =12（123n - -121n ）, , 从而数列从而数列 21211nnaa 的前的前 n n 项和为项和为 12( (11- - 11+ + 11- - 13+ + +123n - -121n ) )= =12nn. . 二轮二轮数学数学3.(20143.(2014 高考安徽卷高考安徽卷, ,文文 18)18)数列数列aan n 满足满足 a a1 1=1,=1, nanan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n+n(n+1),n+n(n+1),nN N* *. . (1)(1)证明证明: :数列数列 nan 是等差数列是等差数列; ; (2)(2)设设 b bn n=3=3n

5、nna, ,求数列求数列bbn n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n. . (1)(1)证明证明: :由已知可得由已知可得11nan= = nan+1,+1,即即11nan- - nan=1.=1. 所以所以 nan 是以是以11a=1=1 为首项为首项,1,1 为公差的等差数列为公差的等差数列. . 二轮二轮数学数学(2)(2)解解: :由由(1)(1)得得nan=1+(n=1+(n- -1)1)1=n,1=n,所以所以 a an n=n=n2 2. . 从而从而 b bn n=n=n3 3n n. . S Sn n=1=13 31 1+2+23 32 2+3+33 33 3+ +n

6、+n3 3n n, , 3S3Sn n=1=13 32 2+2+23 33 3+ +(n+(n- -1)1)3 3n n+n+n3 3n+1n+1, , - -得得- -2S2Sn n=3=31 1+3+32 2+ +3+3n n- -n n3 3n+1n+1 = = 3 1313n- -n n3 3n+1n+1 = = 112332nn. . 所以所以 S Sn n= = 121334nn(n(nN N* *).). 二轮二轮数学数学高考感悟高考感悟1.1.考什么考什么(1)(1)数列的通项公式数列的通项公式; ;(2)(2)等差、等比数列的通项公式及前等差、等比数列的通项公式及前n n项和

7、公式项和公式; ;(3)(3)裂项相消法求和裂项相消法求和; ;(4)(4)错位相减法求和错位相减法求和. .2.2.怎么考怎么考(1)(1)考查角度考查角度: :以递推公式为背景求通项公式或前以递推公式为背景求通项公式或前n n项和项和, ,这类这类问题还常与函数的性质问题还常与函数的性质( (如周期性质如周期性质) )综合命题综合命题; ;以等差数列、等比数列为背景构造新数列以等差数列、等比数列为背景构造新数列, ,利用分组转化、裂利用分组转化、裂项相消、错位相减法求和项相消、错位相减法求和; ;根据条件构造等差、等比数列根据条件构造等差、等比数列, ,求通项公式或前求通项公式或前n n项

8、和项和. .(2)(2)题型及难易度题型及难易度: :选择题、填空题、解答题选择题、填空题、解答题, ,中档题中档题. .二轮二轮数学数学 热点透析热点透析 典例剖典例剖析析 方法迁移方法迁移热点一热点一求数列的通项求数列的通项解解:(1):(1)当当n=1n=1时时,T1=2S1-12.,T1=2S1-12.因为因为T1=S1=a1,T1=S1=a1,所以所以a1=2a1-1,a1=2a1-1,解得解得a1=1.a1=1.二轮二轮数学数学(2)(2)当当 n n2 2 时时,S,Sn n=T=Tn n- -T Tn n- -1 1=2S=2Sn n- -n n2 2- -2S2Sn n- -

9、1 1- -(n(n- -1)1)2 2=2S=2Sn n- -2S2Sn n- -1 1- -2n+1,2n+1, 所以所以 S Sn n=2S=2Sn n- -1 1+2n+2n- -1,1, 所以所以 S Sn+1n+1=2S=2Sn n+2n+1,+2n+1, - -得得 a an+1n+1=2a=2an n+2.+2. 所以所以 a an+1n+1+2=2(a+2=2(an n+2),+2), 即即122nnaa=2(n=2(n2).2). 当当 n=1n=1 时时,a,a1 1+2=3,a+2=3,a2 2+2=6,+2=6,则则2122aa=2,=2, 所以当所以当 n=1n=1

10、 时也满足上式时也满足上式. . 所以所以aan n+2+2是以是以 3 3 为首项为首项,2,2 为公比的等比数列为公比的等比数列, , 所以所以 a an n+2=3+2=32 2n n- -1 1, , 所以所以 a an n=3=32 2n n- -1 1- -2.2. 二轮二轮数学数学规律方法规律方法(1)(1)已知已知a1+a2+an=f(n)a1+a2+an=f(n)求求an,an,用作差法用作差法. . 求通项公式的常用方法(2)(2)已知已知 a a1 1a a2 2a an n=f(n)=f(n)求求 a an n, ,用作商法用作商法: : a an n= = 1 ,1,

11、2.1fnf nnf n (3)(3)已知已知 a an+1n+1- -a an n=f(n)=f(n)求求 a an n, ,用累加法用累加法:a:an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+)+(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1(n(n2).2). (4)(4)已知已知1nnaa=f(n)=f(n)求求 a an n, ,用累乘法用累乘法: : a an n= =1nnaa12nnaa21aaa a1 1(n(n2).2). 二轮二轮数学数学(5)(5)已知递推关系求已知递推关系求 a an

12、n, ,用构造法用构造法( (构造等差、等比数列构造等差、等比数列).). 特别地特别地, ,形如形如 a an n=ka=kan n- -1 1+b+b、 a an n=ka=kan n- -1 1+b+bn n(k,b(k,b 为常数为常数) )的递推数列的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为都可以用待定系数法转化为公比为 k k 的等比数列的等比数列, ,再求再求 a an n; ;形如形如 a an n=pa=pan n- -1 1+q+qp pn n(p(p、 q q 为常数为常数) )的递推数列的递推数列, ,可两端同时除以可两端同时除以p pn n, ,得得nnap- - 11

13、nnap=q=q 化为等差数列化为等差数列; ;形如形如 a an n= =11nnakab的递推的递推数列都可以用倒数法求通项数列都可以用倒数法求通项. . 二轮二轮数学数学热点训练热点训练1:(20141:(2014咸阳二模咸阳二模) )已知数列已知数列anan的前的前n n项和为项和为Sn,Sn,且且Sn=4an-3(nNSn=4an-3(nN* *).).(1)(1)证明证明: :数列数列anan为等比数列为等比数列; ;(2)(2)若数列若数列bnbn满足满足bn+1=an+bn(nNbn+1=an+bn(nN* *),),且且b1=2,b1=2,求数列求数列bnbn的通项公式的通项

14、公式. .(1)(1)证明证明: :当当 n=1n=1 时时, ,由由 S S1 1=4a=4a1 1- -3 3 得得 a a1 1=4a=4a1 1- -3,3,得得 a a1 1=1;=1; 当当 n n2 2 时时, ,由由 S Sn n=4a=4an n- -3 3 及及 S Sn n- -1 1=4a=4an n- -1 1- -3,3,得得 S Sn n- -S Sn n- -1 1=4(a=4(an n- -a an n- -1 1),), 即即 a an n=4(a=4(an n- -a an n- -1 1)(n)(n2),2),即即1nnaa= =43(n(n2),2),

15、 因此数列因此数列aan n 是以是以 1 1 为首项为首项, ,以以43为公比的等比数列为公比的等比数列. . 二轮二轮数学数学(2)(2)解解: :由由(1)(1)知知,a,an n= =( (43) )n n- -1 1, ,得得 b bn+1n+1- -b bn n= =( (43) )n n- -1 1, ,所以所以 b bn n=(b=(b2 2- -b b1 1)+(b)+(b3 3- -b b2 2)+(b)+(b4 4- -b b3 3)+)+(b+(bn n- -b bn n- -1 1)+b)+b1 1 = =( (43) )0 0+ +( (43) )1 1+ +( (

16、43) )2 2+ + +( (43) )n n- -2 2+b+b1 1 = =14113413n+2+2 = =- -1+31+3( (43) )n n- -1 1. . 二轮二轮数学数学热点二热点二求数列的前求数列的前n n项和项和解解: :(1)(1)设设aan n 公比为公比为 q(q0),q(q0),设设bbn n 公差为公差为 d.d. 由已知得由已知得1513,243,a qa q 11,3,aqa an n=3=3n n- -1 1, , 又又113,51035,bbd13,2,bdb bn n=2n+1.=2n+1. 二轮二轮数学数学(2)T(2)Tn n=1=13+33+

17、35+35+32 27+7+3+3n n- -1 1(2n+1),(2n+1), 3T3Tn n=3=33+33+32 25+35+33 37+7+3+3n n- -1 1(2n(2n- -1)+31)+3n n(2n+1),(2n+1), 两式相减得两式相减得 - -2T2Tn n=3+3=3+32+32+32 22+2+3+3n n- -1 12 2- -3 3n n(2n+1)(2n+1) =3+2=3+2(3+3(3+32 2+ +3+3n n- -1 1) )- -3 3n n(2n+1)(2n+1) =3=3n n- -3 3n n(2n+1)(2n+1) = =- -2n2n3

18、3n n, , T Tn n=n=n3 3n n. . 二轮二轮数学数学规律方法规律方法(1)(1)错位相减法错位相减法: :适用于由一个等差数列和一个等比数列对应适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和项的乘积构成的数列的求和. .(2)(2)裂项相消法裂项相消法: :即把每一项都拆成正负两项即把每一项都拆成正负两项, ,使其正负抵消使其正负抵消, ,只余有限只余有限几项几项, ,可求和可求和. .适用于数列适用于数列( (1nnca a) )的求和的求和, ,其中其中aan n 是各项不为是各项不为 0 0 的等的等差数列差数列,c,c 为常数为常数. . 常用裂项公

19、式常用裂项公式: : 11n n = =1n- -11n ; ; 1n nk= =1k( (1n- -1nk) ); ; 二轮二轮数学数学112n nn= =12 11n n - -112nn ; ; 11nn= =1n - -n. . (3)(3)分组求和法分组求和法: :适用于由几个等差数列或等比数列的和差组适用于由几个等差数列或等比数列的和差组成的数列的求和成的数列的求和, ,求和时可以用分组求和法求和时可以用分组求和法, ,即先分别求和即先分别求和, ,然后再合并然后再合并; ;(4)(4)通项公式形如通项公式形如an=(-1)nnan=(-1)nn的数列的求和一般用并项法的数列的求和

20、一般用并项法. .并项时应注意分并项时应注意分n n为奇数、偶数两种情况讨论为奇数、偶数两种情况讨论. .二轮二轮数学数学热点训练热点训练 2:(20142:(2014 高考山东卷高考山东卷) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知公差已知公差d=2,ad=2,a2 2是是 a a1 1与与 a a4 4的等比中项的等比中项. . (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)设设 b bn n= =12n na, ,记记 T Tn n= =- -b b1 1+b+b2 2- -b b3 3+b+b4 4- -+(+(- -1)1)n nb bn n,

21、,求求 T Tn n. . 解解: :(1)(1)由题意知由题意知(a(a1 1+d)+d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+3d),+3d), 即即(a(a1 1+2)+2)2 2=a=a1 1(a(a1 1+6),+6),解得解得 a a1 1=2,=2, 所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2n.=2n. 二轮二轮数学数学(2)(2)由题意知由题意知 b bn n= =12n na=n(n+1),=n(n+1), 所以所以 T Tn n= =- -1 12+22+23 3- -3 34+4+(+(- -1)1)n nn n(n+1).(n+1). 因为因

22、为 b bn+1n+1- -b bn n=2(n+1),=2(n+1),可得当可得当 n n 为偶数时为偶数时, , T Tn n=(=(- -b b1 1+b+b2 2)+()+(- -b b3 3+b+b4 4)+)+(+(- -b bn n- -1 1+b+bn n) ) =4+8+12+=4+8+12+2n=+2n=4222nn= =22n n , , 当当 n n 为奇数时为奇数时,T,Tn n=T=Tn n- -1 1+(+(- -b bn n)=)=112nn- -n(n+1)=n(n+1)=- -212n . . 所以所以 T Tn n= =21,22,2nnn nn为奇数,为

23、偶数. 二轮二轮数学数学热点三热点三 数列的综合问题数列的综合问题 二轮二轮数学数学(1)(1)证明证明: :由题意得由题意得 a an+1n+1= =2na+2a+2an n, ,即即 a an+1n+1+1=(a+1=(an n+1)+1)2 2, , 所以所以aan n+1+1是“平方递推数列”是“平方递推数列”. . 对对 a an+1n+1+1=(a+1=(an n+1)+1)2 2两边取对数得两边取对数得 lg(alg(an+1n+1+1)=2lg(a+1)=2lg(an n+1),+1), 所以数列所以数列lg(alg(an n+1)+1)是以是以 lg(alg(a1 1+1)=

24、1+1)=1 为首项为首项,2,2 为公比的等为公比的等比数列比数列. . 解解: :(2)(2)由由(1)(1)知知 lg(alg(an n+1)=1+1)=12 2n n- -1 1=2=2n n- -1 1. . lg Tlg Tn n=lg(a=lg(a1 1+1)(a+1)(a2 2+1)+1)(a(an n+1)=lg(a+1)=lg(a1 1+1)+lg(a+1)+lg(a2 2+1)+1)+lg(a+lg(an n+1)=+1)=11212n=2=2n n- -1.1. 二轮二轮数学数学(3)b(3)bn n= =lg lg1nnTa = =1212nn=2=2- -( (12

25、) )n n- -1 1, , S Sn n=2n=2n- -112112n=2n=2n- -2+2+112n. . 又又 S Sn n4026,4026,即即 2n2n- -2+2+112n4026,n+4026,n+12n2014,2014, 又又 0012n1,0.0. 当当 n n1 1 时时, ,1nnbb= =12nnaa=2=2d d. . 所以所以, ,数列数列bbn n 是首项为是首项为12a, ,公比为公比为 2 2d d的等比数列的等比数列. . 二轮二轮数学数学(2)(2)解解: :函函数数 f(x)=2f(x)=2x x在在(a(a2 2,b,b2 2) )处的切线方

26、程为处的切线方程为 y y- -22a=(=(22aln 2)(xln 2)(x- -a a2 2),),它在它在 x x 轴上的截距为轴上的截距为 a a2 2- -1ln2. . 由题意由题意,a,a2 2- -1ln2=2=2- -1ln2, ,解得解得 a a2 2=2.=2. 所以所以,d=a,d=a2 2- -a a1 1=1,a=1,an n=n,b=n,bn n=2=2n n,a,an n2nb=n=n4 4n n. . 于是于是,S,Sn n=1=14+24+24 42 2+3+34 43 3+ +(n+(n- -1)1)4 4n n- -1 1+n+n4 4n n, , 4

27、S4Sn n=1=14 42 2+2+24 43 3+ +(n+(n- -1)1)4 4n n+n+n4 4n+1n+1. . 因此因此,S,Sn n- -4S4Sn n=4+4=4+42 2+ +4+4n n- -n n4 4n+1n+1 = =1443n- -n n4 4n+1n+1= =113443nn. . 所以所以,S,Sn n= =131 449nn. . 二轮二轮数学数学 思想方法思想方法 以例释以例释法法 举一反三举一反三分类讨论思想在数列求和中的应用分类讨论思想在数列求和中的应用审题策略审题策略: :由通项公式知由通项公式知, ,奇数项构成一个等差数列奇数项构成一个等差数列,

28、 ,偶偶数项构成一个等比数列数项构成一个等比数列, ,故应分故应分n n为奇数、偶数两种情况为奇数、偶数两种情况分析分析, ,将其转化为等差、等比数列的求和问题将其转化为等差、等比数列的求和问题. .二轮二轮数学数学解析解析: :易知易知a a1 1=1,a=1,a2 2=16,a=16,a3 3=13,a=13,a4 4=256,=256,数列数列aan n 的奇数项构成以的奇数项构成以a a1 1=1=1为为首项、首项、d=12d=12 为公差的等差数列为公差的等差数列, ,偶数项构成以偶数项构成以 a a2 2=16=16 为首项、为首项、q=16q=16 为为公比的等比数列公比的等比数

29、列. . 当当 n n 为偶数时为偶数时, ,数列数列aan n 中奇数项与偶数项各中奇数项与偶数项各2n项项, , 所以有所以有 S Sn n=S=S奇奇+S+S偶偶= = 2na a1 1+ +12 22n nd d + + 2211naqq= =12(3n(3n2 2- -5n)+5n)+ 115(4(4n+2n+2- -16).16). 二轮二轮数学数学当当 n n 为奇数时为奇数时, ,数列数列aan n 中奇数项共有中奇数项共有12n 项项, ,偶数项共有偶数项共有12n 项项, , 所以有所以有 S Sn n=S=S奇奇+S+S偶偶= = 12n a a1 1+ +111222n

30、nd d + +12211naqq= =12(3n(3n2 2+n+n- -2)+2)+ 115(4(4n+1n+1- -16).16). 所以所以 S Sn n= =22211135416 ,2151132416 ,215nnnnnnnn为偶数,为奇数. 二轮二轮数学数学方法点睛方法点睛 本题主要考查分类讨论思想和转化与化归思想本题主要考查分类讨论思想和转化与化归思想, ,题中通项公式是分段形式题中通项公式是分段形式,n,n为奇数、偶数时分别对应等差、为奇数、偶数时分别对应等差、等比数列等比数列, ,对对n n分奇数与偶数两种情况讨论分奇数与偶数两种情况讨论, ,将将SnSn转化为等差、转化

31、为等差、等比数列求和等比数列求和. .另外另外, ,若条件中含有若条件中含有(-1)n,(-1)n,也常常要对项数也常常要对项数n n分奇数、偶数讨论求解分奇数、偶数讨论求解. .二轮二轮数学数学解析解析: :当当 n=2k(kn=2k(kN N* *) )时时,a,a2k+12k+1+a+a2k2k=4k=4k- -1,1, 当当 n=2kn=2k- -1(k1(kN N* *) )时时,a,a2k2k- -a a2k2k- -1 1=4k=4k- -3,3, - -得得 a a2k+12k+1+a+a2k2k- -1 1=2,=2, (a(a1 1+a+a3 3)+(a)+(a5 5+a+

32、a7 7)+)+(a+(a5757+a+a5959)=2)=215=30;15=30; n=2k+1(kn=2k+1(kN N* *) )时时,a,a2k+22k+2- -a a2k2k+1+1=4k+1,=4k+1, + +得得 a a2k+22k+2+a+a2k2k=8k,=8k, (a(a2 2+a+a4 4)+(a)+(a6 6+a+a8 8)+)+(a+(a5858+a+a6060)=8)=8(1+3+5+(1+3+5+29)=8+29)=8129152 =1800,=1800,a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+ +a+a5959+a+a6060=30+1800

33、=1830.=30+1800=1830.故选故选 D.D. D D 二轮二轮数学数学审题策略审题策略: :(1)(1)解方程求出解方程求出a a2 2与与a a4 4, ,从而求出首项和公差从而求出首项和公差, ,得出通项得出通项公式公式;(2)a;(2)an n 为等差数列为等差数列, ,而而 12n 为等比数列为等比数列, ,利用错位相减法利用错位相减法求和求和. . 阅卷评析阅卷评析 易错警易错警示示 保分策略保分策略数列求和问题数列求和问题二轮二轮数学数学规范解答规范解答: : (1)(1)a a2 2,a,a4 4是方程是方程 x x2 2- -5x+6=05x+6=0 的根的根,

34、, 则则24245,6.aaaa1 1 分分 由题意得由题意得 a a2 2=2,a=2,a4 4=3.=3.2 2 分分 设数列设数列aan n 的公差为的公差为 d,d,则则 a a4 4- -a a2 2=2d,=2d,故故 d=d=12, ,3 3 分分 从而从而 a a1 1= =32. .4 4 分分 所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n= =12n+1.n+1.5 5 分分 二轮二轮数学数学(2)(2)设设 2nna 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n. . 由由(1)(1)知知2nna= =122nn, , 6 6 分分 则则 S Sn n= =

35、232+ +342+ + +12nn + +122nn. . 12S Sn n= =332+ +442+ + +112nn+ +222nn. .8 8 分分 两式相减得两式相减得 12S Sn n= =34+ +( (312+ + +112n) )- -222nn 9 9 分分 = =34+ +14( (1 1- -112n) )- -222nn. . 1111 分分 所以所以 S Sn n=2=2- -142nn. . 1212 分分 二轮二轮数学数学赋分细则赋分细则: : 第第(1)(1)问问: : 由方程的解与系数的关系列出关于由方程的解与系数的关系列出关于 a a2 2与与 a a4 4的方程组的方程组24245,6.aaaa可可得得 1 1 分分. . “由题意” 指的是 “由题意” 指的是 “aan n 是递增的等差数列”是递增的等差数列”, ,解题过程若无此说明解题过程若无此说明, ,应扣应扣 1 1 分分. . 利用利用 a an n=a=a2 2+(n+(n- -2)d=2+(n2)d=2+(n- -2)2)12= =12n+1.n+1. 求通项公式也可得全分求通项公式也可得全分. . 二轮二轮数学数学第第(2)(2)问问: : 若没写出数列若没写出数列