131二项式定理

1、1.3.1二项式定理二项式定理(a+b)2 (a+b)3 那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是什么呢？C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= a2 +2ab+b2 展开下面式子(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数

2、为C22(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对对(a+b)2展开式的分析展开式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数问题每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C

3、42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4(a+b)n=?二项展开式定理*C 110NnbbaCbaCaCbannnkknknnnnnn每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2.恰有k个取b的情况

4、有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk.恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1Cnk ： 二项式系数各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ +Cnr xr + xn注例1.126的展开式求xx661212xxxx解63121xx分析:先化简再运用公式61524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192

5、240160 xxxxxx=解:练习411x展开4443342241441111111xCxCxCxCx43214641xxxx例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数 .1239的系数的展开式中求xxx注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数：Cnr；项的系数：二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数 .1239的系数的展开式中求xxx解(1) (1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3(2x)3 =3523x3 =280 x3 的展开式的

6、通项是912xxrrrrrrxCxxC2999911分析: 先求出x3是展开式的那一项,再求它的系数例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数 .1239的系数的展开式中求xxx9-2r =3r =3x3系数是 (-1)3C93=-84求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:912 99399 112220.TC xax a练习(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解:练习的展开式常数项求933xx 求求 的展开式的中间两项的展开式的中间两项 93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。49 44354 193(