【全程复习方略】(湖南专用)2014版高中数学5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提能训练

1、-1 -K12.设 0vmvnvavb,函数 y=f(x)在 R 上是减函数，下列四个函数值f(),aa亠n王)的大小顺序依次是b n1=(c a)2b2,12=(b c)2a2,13=、(a b)2c2，则11l2,12l3,12：l3中最小的一个是_ .2n 1 | 2n-11sin-ajjcos- G14. 用数学归纳法证明一+cosa+cos3a+ +cos(2 n-1)a=-22-(akn,k Z,n 2sinaN+),在验证 n=1 时,左边计算所得的项【全程复习方略】(湖南专用)2014 版高中数学 5.2 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课时提能训练理 新人教 A 版

2、课时提能演练1.若 x 工 3 或 y 工-1,M=x2+y2-6x+2y,N=-10,则 M 与 N 的大小关系是2.1当 a 0 且 a丰1 时,loga(1+)与 loga(1+a)的大小关系为ax + x1已知 f(x)=lgx, 其中 X1 0 ,x2 0,xX2,则 f(1-)与 f(x1)+f(x2)中较大的一个是22已知|a+b|v-c(a、b、c R)，给出下列不等式：av-b-c;a-b+c;avb-c;|a|v|b|-c;|a|v-|b|-c.3.4.其中一定成立的不等式是 _(注：把成立的不等式序号都填上)a、b 满足 a3-b3=a2-b2,则 a+b 的取值范围是

3、_ .16.(2012 益阳模拟)已知 0vxv1, a=2.x ,b=1+x,c=,则 a、b、c 的大小关系为1 -x5.设两个不相等的正数7.设 a=,3-、2,b =-、,5,c=时7 - ,6,则 a、b、c 的大小关系是5 si n1sin2sinn8. 设 an=2n，则对任意正整数2 2 29. 若 f(n)=. n21-n,g(n)=n-、n2-1, $ (n)=-1、m,n(m n),则|an-am与一的大小关系为2-m10. 设 m n, n Nk, a=(lgx) (Igx)-m, b=(lgx)11211. 已知 a,b,c 是厶 ABC 的三边，且V ,则/ C 的

4、取值范围是abc,则 f(n),g(n),$ (n)的大小顺序为_2nn+(lgx)-n, x 1,则 a 与 b 的大小关系为f(a),f( ),f(b a m13.若 a b c 0,l(n+n)=2n 1 3 (2n-1)(n N+)成立时，从 k 到 k+1 左边需增乘-2 -是 _.15. 用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)的代数式是_.16. 若 mvn, pvq，且(p-m)(p-n)17. (2012 郴州模拟)锐角三角形1sinA+sinBvA+B2A+sinBvB+sinAv0, (q-m)(q-n)v0，贝Um,n,p,q 的大小顺序是ABC 中，内角 AvB,则下列

5、结论中正确的有-3 -3Asi nAvBsinB4BsinAvAsinB18.若 Ti=2s,T2=n)，则当 s,m,n 均为正数时，与 T2的大小关系是m n2mn19.若 f(x)=,且记 A=4loga(x-1),B=4+2Aloga(x-1):，若 a 1,则一与 1 的大小关系是B尸2卄卄lx x -8020.若 M=x|x 满足 21ijg(x -1)3，且 t M,则 t .2t2-t+2(填“”或“v”).21.已知 a,b,c 均为正数，则IM与丄.a b.1L的大小关系是c. ab . bc、ac11 122. 记S=ROio102 2 1 2 223. 设偶函数 f(x

6、)=loga|x+b| 在(0,+24. 若 av0,bv-1,则 a,a，弓的大小关系是b b1峠一，则 S 与 1 的大小关系是_.2 -1a)上单调递减，则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系是25.A=1+亠 +士 + 士 与 Vn (n M)的大小关系是.2,3. n26. 若 x,y R,贝 U sin x+si ny 与 1+s in xs iny 的大小关系为 _ .27. 已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,贝 U a,b,c 的大小关系是28. 设 a b 0,m= 掐 一 Jb,n= Ja b ,贝 U m 与 n 的大小关系

7、是 _ .1 1 129. 已知 a0,b0,若 P 是 a,b 的等差中项，Q 是 a,b 的正的等比中项，一是的等差中项，则 P、Q RR b按从大到小的排列顺序为 _.30. 若 x+y+z=1,且 x,y,z R,则 x2+y2+z2与-的大小关系为 _ .3-4 -答案解析1.【解析】M-Nnf+yNx+Zy+IOxt)2+(y+1)2又x丰3 或 y丰-1,2 2 M-N=(x-3) +(y+1) 0,即 M N.答案：M N12.【解题指南】因为 loga(1+)与 loga1【解析】/ loga(1+a)-loga(1+ )=loga(1+ a)的底数相同,故可考虑利用作差法比

8、较大小1 a .=logaa=1 0,1 -a1 loga(1+a) loga(1+).a1答案:loga(1+a) loga(1+)a3.【解析】/ f(x2)=lg2.f(x1x2)f(x1)g)2 2当 X1=X2时等号成立，x1x22 lg ,.X；X；=1(lgxi+lgx2)=f(Xl)g) x& X2,. f(f(X1)f(X2).2 2答案:f( 3)24.【解析】 |a+b|v-c , cva+bv-c.av-b-c , a -b+c，成立.又 |a|-|b|v|a+b|v-c , |a|v|b|-c,成立. 当 a=3,b=-3 , c=-1 时，虽 |a+b|=0

9、v-c , 但 3-3+1,|3|-卜3|+1，故不成立.答案：5.【解析】 a3-b3=a2-b2(a丰b),2 2 2a +ab+b =a+b, (a+b) -ab=a+b,2a + b2ab=(a+b) -(a+b),又 0vabv(),22a + b20v(a+b)2-(a+b)v()2,24解得 1va+bv .34答案：(1 ,)36.【解析】由于 0vxv1,那么 a,b,c 均为正数，由 a2-b2=(2 -、x)2-(1+x)2=-(1-x)2v0, 知 avb;因为=1-x2v1,所以 bvc,所以 avbvc.1 -x-5 -答案：avbvc=:(igx)m-(igx)n

10、 : 1-m-n:.(igx严/ x 1, igx 0.7.【解析】分子有理化得a=、3r2,b=,6.：,c=.7.6/ a b c.答案：a bc8.【解题指南】 利用|a+b|w|a|+|b|及|sinx| w 1 解决.si n(n 1) sinm【解析】|a n-a m=| -p +|2n 1w isin(n11),.，snm |n 12m=1r1八心=尹-(2)12n1答案：|a n-a m v 29.【解题指南】 将 f(n)与 g(n)转化为分数后再比较大小【解析】f(n)=g(n)=n-又-1 +nv2nv+n f(n)v(n)vg(n). 答案：f(n)v (n)vg(n)

11、10.【解析】a-b=(lgx)m+(lgx)-m-(lgx)n-(lgx)-n=(igx)m-(igx)八(igx)n(igx)m=(igx)m-(igx)n.(lgx)m(lgx)n(igx)m(igx)n1(igx )m(igx)n12* 1=:(igx)m-(igx)-6 -当 0vigxv1 时，a b;当 igx=1 时，a=b;-7 -当 Igx 1 时，a b.综上,a b.答案：a b11.【解题指南】 利用三角形的三边关系及余弦定理求解1 1【解析】T(a+b)() 4, a b42v2，即a b c0vZCv -.2答案：(0,上)212. 【解析】/aV V1VbV匚巴

12、，根据函数的单调性，知 f() f(M) f( -) f().bbn aa-mb bn a a-m答案：f(a) f() f(b) f(口)b b n a a - m13. 【解题指南】 因该题求最小值，故可利用特殊值法求解.【解析】利用特殊值法比较，令 a=3,b=2,c=1 , 则丨1=J20,i218,i356.-1112=J360,1213=468,12=J324,13=订676.I2最小.2答案:l214. 【解析】当 n=1 时左边最后一项为 cos(2X1-1)a=cosa,1即左边所得项是1+cosa.21答案:+cosa215. 【解析】根据题意可以先写出n=k 时左边=(k

13、+1)(k+2)(k+k)，再将左边的式子中的n 用 k+1 来代入，得出 n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)，然后比较两式，得出等式左边从k 到 k+1 需增乘(k+k+1)(k+k+2)=2(2k+1).在写 n=k+1 时的左k+1边的式子时，要注意左边式子的结构，它是k+1 个式子的乘积且后一个因式比前一个因式增加1，要避免重复和遗漏.答案:2(2k+1)16. 【解析】 由(p-m)(p-n)v0, (q-m)(q-n)v0 可知，p-m 禾廿 p-n 异号,q-m 与 q-n 异号,又Tmvn, pvq,114-+ -ba由余弦定2 ,

14、 2:cosC=- - -2aba2- b2-c221 /2a - 2ab - b (a +b-2ab21I22-)=(3a -2ab+3b ) 0.8ab-8 - p 禾口 q 在 m 与 n 之间， mvpvqvn.答案：mvpvqvn-9 -17.【解析】/ sinAvA, sinBvB,/ sinB+sinAvB+A,故正确；由正弦函数的图象知sinB7皿v1,因而 A+sinBvB+sinA，故正确，B -A锐角三角形中，AvB, 0vsinAvsi nB,贝UA- si nAvB- si nB,故正确；31T当A=_, B=_时，B- si nA A- si nB，从而不正确43答

15、案：218【解析】.旦戶m n)nm_(mn) m +n2mn2mn(m +n)=-如-n)2三 o,2mn (m n)- TiwT2.答案：Ti 0,B 0.2又 B-A= : loga(x-1)-2 : 0,A - BA,即w1.BA答案：Aw1B20.【解析】 此题的关键在于化简集合M由 lg(x-1) 知 x 1, x2|x|-80,即 x 8, x 2, M=x|x 2又 t M,. t 2.322 t -(2t -t+2)=(t-2)(t+1) 0,即 t3 2t2-t+2.答案：21.【解析】a b c . ab .be -ac11 L L L a b e . ab be . a

16、e19.【解析】f(x)=X2(X【3)的定义域为x|x 3，又 a 1,答案:-10 -22.【解析】 用放缩法,2101vc111S=+21021012102 21111d10 1010101.210个1 1210，2102v2110答案：Sv123.【解析】函数 f(x)为偶函数， b=0,即 f(x)=log又函数 f(x)在(0,+a)上为单调递减函数，0vav1,f(b-2)=loga2,f(a+1)=loga(a+1),而 a+1v2.f(b-2)vf(a+1).答案:f(b-2)vf(a+1)|x|.1 124.【解题指南】 可先比较 1,丄，的大小，然后再比较bb21 1【解

17、析】/ bv-1, v pv1.b b又 av0,a弓a.b b答案:av弓vab2ba,-02的大小.b b211125.【解析】A=1 + = -v2 V3Vn111 nn. n_丘.nn26.【解析】/ sinx+siny-(1+sinxsiny)=sin x+s iny -1-s inxsiny=si nx(1-si ny)-(1-s iny)=(1-si ny)(si nx-1)/ -1 sinx 1,-1 siny 0,sinx-1 0, (1-siny)(sinx-1) 0即 sinx+siny 1+sinxsiny.答案:sinx+siny 0, c b.2又Tb+c=6-4a+3ac-b=4-4a+a-(b+c)-(c-b)=2+2a2 2b=a +1.-11 -2123-b-a=a -a+1= (a ) + 024 b a, c b a.答案：c ba28.【解题指南】 可转化为比较 m2与 n2的大小,由 m,n0 得 m 与 n 的大小关系/ m-n 2=( 、.a_.、b)2-(.b) =a- 2、ia