第6章函数误差与误差合成

1、误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1 1第6章 函数误差与误差合成 作者：刘兆平部门：机电设备系主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2 2教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3 3教学重点和难点v函数系统误差v函数随机误差v函数误差分布的模拟计算v随机误差的合成v未定系统误差和随机误差的合成v误差分配v微小误差取舍准则v最佳测量方案的确定 主菜

2、单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4 4第一节函数误差主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5 5基本概念 间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函函数误差数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6 6一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-7 7间接测量数学模型间接测量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx 与被测量有函数关系的

3、各个直接测量值及其其他非测量值，又称输入量输入量 间接测量值，又称输出量输出量 12,nx xx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-8 8函数系统误差公式函数系统误差公式函数系统误差 的计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 (1,2, )ifx in12( ,)nx xxix 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用yifxix 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用yifx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-9 9几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线

4、性函数、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函数形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1010【例【例6-16-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 ，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。 50

5、mmh 500mml 50.1mmh 499mml 【解】【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1111车间工人测量弓高、弦长的系统误差 hl5050.10.1mmh 5004991mml 直径的系统误差 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的测量结果 013007.41292.6mmDDD计算结果误差传播系数为 主菜单结束误差理论与数据处理第六章

6、函数误差与误差合成6-6-1212二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1313数学模型数学模型 12( ,.,)nyf x xx变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 函数的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx121212(,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-14142222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijx

7、ixjijnijfffffxxxxx 1 1、 函数标准差计算函数标准差计算 或 第i个直接测得量 的标准差 xiix 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 ijijxixjD 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传播系数 ifxixy12( ,)nx xx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-151522222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 iifax令2

8、222221122yxxnxnaaa主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1616函数的极限误差公式 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i个直接测得量 的极限误差 xiix主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1717三角形式的函数随机误差公式函数形式为 12sin( ,.,)nf x xx函数随机误差公式为 22222212121cosxxxnnfffxxx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-1818【例【例6-26-2】用弓高

9、弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 50mmh 500mml 50.1mmh 499mml 【解】【解】0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有故修正后的测量结果 01292.6mmDDD0.13mmD主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-19192 2、 相关系数估计相关系数估计主菜单结束 误差理论与数据处理

10、第六章函数误差与误差合成6-6-2020相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式ij当相关系数当相关系数主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2121相关系数的确定直接判断法可判断 的情形 0ij断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一

11、个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 ixjx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2222相关系数的确定直接判断法可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关 ixjx1ij 1ij 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2323相关系

12、数的统计计算公式22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx根据 的多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 ( ,)ijx x,ikjkxx 、 分别为 、 的算术平均值 ixjxikxjkx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-24243 3、 函数误差分布的模拟计算函数误差分布的模拟计算 随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征 12( ,.,)nyf x xx1( )p x2( )px( )npx分布密度函数 ( )p y解析方法难以求得计算机数值仿真计算 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-

13、6-2525计算机随机模拟法的步骤计算机随机模拟法的步骤 输入各输入量 及其算术平均值 和标准偏差产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差分布的统计直方图按函数测量模型公式计算该样本数的间接量，并绘制该函数误差分布的统计直方图；统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及误差分布区间半宽度。 12,nx xx12,n y12,nx xx主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2626计算机模拟测量系统y0 xyFx = ( )xxsyFx = ( ) y sy ( )y ( )y主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差

14、合成6-6-2727【例【例6-36-3】1234561214536( ,)()yf x x x x x xxxx x xx x 用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下公式 假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算的方法分析该校准的误差分布及其标准差。【解】【解】222226226222222(25)(9.7)(50) ( 0.1) (0.58 10 )(50) 11.5 10(0.029)(25)(9.7)(2.9)(16.6)1002ynmnmmmmmnmnmnmnmnm（）32ynm故有主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差

15、与误差合成6-6-2828输入量的误差性质输入量1x2x3x4x6x5x名称分布 标准差数值受校块规长度值在20C时的校准长度 两块规长度差值在20C时的长度 标准块规的热膨胀系数 试验座温度偏离标准温度 两块规的热膨胀系数 两块规间温度差 50.000623mm215nm611.5 10o-1C0.1oC00正态正态均匀均匀均匀反正弦125nmx29.7nmx61.2 10o-1C0.41oC60.58 10o-1C0.029oC主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-2929六个输入量分布均值均值均值均值均值均值主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6

16、-6-3030输出量分布 Var_y1-=50.000838 s=0.000028Left=50.000743 Right=50.000920200100均值直方图主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3131第二节 随机误差的合成 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。 标准差合成极限误差合成 解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数

17、误差与误差合成6-6-3232一、标准差合成合成标准差合成标准差 211()2qqiiijijijiijaa a q个单项随机误差，标准差 12,q误差传播系数 12,qa aav由间接测量的显函数模型求得 v根据实际经验给出 v知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和 iiiyaiaiiiafx 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3333合成标准差的特殊情形各个误差互不相关，相关系数 21()qiiia21qii0ij1ia 合成标准差 用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差 当误差传

18、播系数 、且各相关系数均可视为0的情形 视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3434二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差 1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差 kiik 合成标准差 合成极限误差的置信系数 k主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3535合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进

19、行极限误差的合成 各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 ikk对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3636合成极限误差特殊情形211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布，此时 12qkkkk合成极限误差 若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间

20、常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3737第三节第三节 未定未定系统误差系统误差与随机误差的合成与随机误差的合成主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3838一、未定系统误差的合成一、未定系统误差的合成 对已定系统误差，在处理测量结果时应先修正而不宜合成 对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的

21、合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-3939二、未定系统误差与随机误差的合成 已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只要考虑未定系统误差与随机误差的合成。总误差可用极限误差来表示，也可用标准差来表示 按标准差合成按极限误差合成主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4040按标准差合成测量过程中q个单项随机误差的标准差个单项未定系统误差的标准差12,q212,rs ss2r 设各个误差传播系数均为1，则总的测量标准差为 22211rqijijsRR为各个误差间协方差之和

22、当各个误差之间互不相关 22211rqijijs主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4141n次重复测量情形 单次测量 最后结果的总标准差 22211rqijijsn次重复测量 测量结果平均值的标准差公式 222111rqijijsn主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4242按极限误差合成测量过程中q个单项随机误差的极限误差个单项未定系统误差的极限误差2r12,q 212,re ee 设各个误差传播系数均为1，则测量结果总的极限误差为 22211rqjhjhjhekRkk总R为各个误差间协方差之和 当各个误差之间互不相关 22211rqjh

23、jhe总主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4343n次重复测量情形 单次测量 最后结果的总误差 n次重复测量 总极限误差 22211rqjhjhe总222111rqjhjhen总在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差 在多次重复测量中的总误差合成中，则必须严格区分各个单项误差的性质 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4444【例【例6-46-4】 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为 ， ，已知工件的和高度为 。根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见

24、表。求测量结果及其极限误差 150.026mml 250.025mml 80mmH 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4545【例【例6-46-4】测量过程中主要的误差序号123456误差因素极限误差/m随机误差 未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差0.810.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4646【例【例6-46-4】的测量结果】的测量结果【解】【解】两次测量结果的平均值为 01211()(50.02650.025)mm50.0255m

25、m22Lll根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在 范围内的误差 ，此项误差为已定系统误差，应予修正 50mm0.0008mm 则测量结果 050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4747【例【例6-46-4】的极限误差计算结果】的极限误差计算结果设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果（两次测量的平均值）的极限误差为 当未修正光学刻尺刻度误差时23221122222121(10.8 )(11.250.35 )21.870.0019mmijije m测量结果可表示为 050.0255mm0.0019mmL

26、 当已修正光学刻尺刻度误差时 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4848【例【例6-56-5】 用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量 ，求测量结果的标准差 14.004gM 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-4949【例【例6-56-5】中的主要误差分析】中的主要误差分析(1)随机误差 天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为

27、 10.05mg(2)未定系统误差 标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差 砝码误差 天平称量时所用的标准砝码有三个即 的一个， 的两个，标准差分别为10g20g11120.4mg0.2mgss故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 221111220.49mgsss天平示值误差该项标准差为20.03mgs 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5050【例【例6-56-5】测量结果的标准差】测量结果的标准差 三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结

28、果的总标准差为 222112220.03 mg0.050.490.03 mg0.49mg0.0005gs最后测量结果应表示为（倍标准差） 14.004g0.0005gM 主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5151第四节第四节 误差分配误差分配主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5252基本思想基本思想 误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。 在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有 22212yyyyn给定，如何确定，满足yyi22212yyynyyiiiiifax

29、主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5353一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则 各分项误差对函数误差的影响相等，即 12yyyynn可得到 11/yyiiifxann极限误差表示 11/iiifxann 函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 i主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5454二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本

30、为代价。按等影响原则分配误差的按等影响原则分配误差的不合理性不合理性 (2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。 在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5555三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可

31、适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5656【例【例6-66-6】【解】【解】测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式 Dh24DVh求得体积，若要求测量体积的相对误差为1，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径及高度 的准确度。 V020mmD 050mmh Dh计算体积 0V2230003.1416 205015708mm44DVh体积的绝对误差 3301%15708mm1%157.08mmVV主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5757

32、按等影响分配原则分配误差，得到测量直径与高度的极限误差 Dh120.071mmVVDVDhnnD2140.351mmVVhVDnnh【例【例6-66-6】极限误差计算结果 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-5858用这两种量具测量的体积极限误差为 222278.54VDhVVmmDh因为 3378.54157.08Vmmmm【例【例6-66-6】理论理论极限误差查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm主菜单结束 误差理论与数据

33、处理第六章函数误差与误差合成6-6-5959调整后的实际测量极限误差为 22222128.1524VDhDhDmm因为 33128.15157.08Vmmmm因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。 显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。 0.08mm调整后的测量极限误差主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6060第五节第五节 微小误差取舍准则微小误差取舍

34、准则主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6161基本概念基本概念 微小误差微小误差 测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差 测量结果的标准差 22222212(1)(1)yyyy kyky kyn将其中的部分误差取出后，则得 yk若有 yy则称为微小误差 yk2222212(1)(1)yyyy ky kyn 主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6262测量误差的有效数字取一位测量误差的有效数字取一位 某项部分误差舍去后，满足 (0.4 0.3)yky13yky或则对测量结果的误差计算没有影响。 测量误差

35、的有效数字取二位测量误差的有效数字取二位 (0.14 0.1)yky或110yky对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。基本取舍准则主菜单结束误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6363第七节第七节 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定主菜单结束 误差理论与数据处理第六章函数误差与误差合成6-6-6464基本概念基本概念 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。 函数的标准差 2222221