第3章时域分析法(2)

1、 3.28 (s)iXE(s)(s)e (s)e(s)iX)(E(s)e(t) ，即的误差传递函数，记作之比被定义为控制系统拉氏变换的与控制系统输入信号的拉氏变换控制系统误差信号tix 3.29 (s)(s)XslimsE(s)lime(t)lime 27. 33.28(s) ie0s0stsse），得）代入式（将式（的稳态误差，可以立即求出控制系统递函数根据控制系统的误差传对于图3.14所示的反馈控制系统，其误差传递函数 根据式（3.26）可计算如下： )(se)()(11.)(1)()()(11.)(1)()(1)()(1)()()(1)()()()()()()()()()()(sHsGs

2、HssHsGsHsHsGsGsHsXsXsHsXsHsXsHsXsXsHssXsEseioioiiie即)26. 3.(.)()()(SHSSE)30. 3(将式（3.30）代入式（3.29）得该反馈控制系统的稳态误差 为 由此式可见，控制系统的稳态误差 取决于系统的结构参数G（s)和H(s)以及输入信号 的性质。)(.)()(11.)(1lim)()(lim00sXsHsGsHssXsseisiessssse)(sXisse对于单位反馈系统，因为对于单位反馈系统，因为H(S)=1H(S)=1，所以其稳态误，所以其稳态误差差e essss为：为： )32. 3.(.).()(11lim0SXS

3、GSeisss1 1稳态误差系数的定稳态误差系数的定义义 对于图对于图3 31414所示的反馈控制系统，当不同类型所示的反馈控制系统，当不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此，的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此，应应该根据不同的输入信号来定义不同的稳态误差系该根据不同的输入信号来定义不同的稳态误差系数，进而用稳态误差系数来表示稳态误差数，进而用稳态误差系数来表示稳态误差。 (1)单位阶跃输入单位阶跃输入 根据式（3.31)，反馈控制系统在单位阶跃单位阶跃输入信号 作用下的稳态误差 为：)()(lim11.)0(11.)()(11.)(1lim00sHsGHssHsGsHsessss

4、ssessXi1)( 定义 为稳态位置误差系数，于是可用 来表示反馈控制系统在单位阶跃输入时的稳态误差，即 （3.33）)0()0()()(lim0HGsHsGKsppKpssKHe11.)0(1)()(1lim.)0(1)()(1lim.)0(11.)()(11.)(1lim0020sHsGsHsHsGssHssHsGsHsesssss21)(ssXipssspKeGSGK11),0()(lim0(2)(2)单位速度输入单位速度输入 根据式（3.31)，反馈控制系统在单位速度单位速度输入信号 作用下的稳态误差 为sse 3.34 K1.H(01e KsG(s)H(s)limK vssv0sv

5、）即度输入时的稳态误差，反馈控制系统在单位速来表示于是可用为稳态速度误差系数，定义(3)(3)单位加速度输入单位加速度输入 K1e sG(s)limK vss0sv，有对于单位反馈控制系统 G(s)H(s)slim1H(0)1G(s)H(s)ss1 limH(0)1 s1G(s)H(s)11.H(s)1slim e es1(s)X3.3120s220s30sssss3i为作用下的稳态误差位加速度输入信号），反馈控制系统在单根据式（ 3.35 K1.H(01e KG(s)H(s)slimK assa20sa）即度输入时的稳态误差，反馈控制系统在单位速来表示，于是可用为稳态加速度误差系数定义 K1

6、e G(s)slimK ass20sa，有对于单位反馈控制系统pKaK 以上说明了反馈控制系统在三种不同的典型输入信号的作用下，其稳态误差可以分别用稳态误差系数 、 和 来表示。这三个稳态误差系数只与控制系统的开环传递函数G(s)H(s)有关，而与输入信号无关，即只取决于系统的结构和参数。vK2 2系统的类型系统的类型 T.TT. K (3.36) ) 1s).(T1s)(T1s(T) 1s).(1s)(1sK( G(s)H(s) 3.14v-n21m21v-n21vm21。时间常数为、和、为系统的开环增益，其中，数乘积的形式，即数一般可以写成时间常其开环传递函所示的反馈控制系统，类型作分析。

7、图面对系统的的结构和参数有关。下稳态误差系数只与系统S当当 =0=0，即没有积分环节时，称系统为，即没有积分环节时，称系统为0 0型系统型系统，其开，其开环传递函数可以表示为环传递函数可以表示为 当当 =1=1，即有一个积分环节时，称系统为，即有一个积分环节时，称系统为型系统型系统，其开环传递函数可以表示为其开环传递函数可以表示为式（式（3.363.36）中的）中的V V即表示即表示“系统的类型系统的类型”，或系统的，或系统的“型型”。型系统的开环增益。为其中，0K (3.37) ) 1s).(T1s)(T1s(T) 1s).(1s)(1s(K G(s)H(s) 0n21m210当当 =2=2

8、，即没有积分环节时，称系统为，即没有积分环节时，称系统为型系统型系统，其开环传递函数可以表示为其开环传递函数可以表示为3 3不同类型反馈控制系统的不同类型反馈控制系统的稳态误差系数稳态误差系数 型系统的开环增益。为其中，IK (3.38) ) 1s).(T1s)(T1ss(T) 1s).(1s)(1s(K G(s)H(s) 1n21m211此类推。型系统的开环增益。余为其中，IIK (3.39) ) 1s).(T1s)(T1s(Ts) 1s).(1s)(1s(K G(s)H(s) 22-n212m2120G(s)H(s)slimK 0sG(s)H(s)limK KG(s)H(s)limK KK

9、 K020sa0sv00spavp分别为和、系数差计算出上述三种稳态误型反馈控制系统，可以对于(2)(2)I I型型系统系统 0G(s)H(s)slimK KsG(s)H(s)limK G(s)H(s)limK KK KI20sa10sv0spavp分别为和、系数差计算出上述三种稳态误型反馈控制系统，可以对于4 4不同类型反馈控制系统在不同类型反馈控制系统在三种典型输入信号三种典型输入信号作用下的作用下的稳态误差稳态误差 220sa0sv0spavpKG(s)H(s)slimK sG(s)H(s)limK G(s)H(s)limK KK KII分别为和、系数差计算出上述三种稳态误型反馈控制系统

10、，可以对于 0 K11e K II 0 K11e K I K11 K11e KK 0pssppssp0pss0p，则型系统，对于，则型系统，对于，则型系统，对于的稳态误差分别为反馈控制系统作用下，不同类型单位在单位阶跃输入信号的 0 K1e K II K1 K1e KK I K11e 0K 0vssv1vss1vpssv，则型系统，对于，则型系统，对于，则型系统，对于的稳态误差分别为反馈控制系统作用下，不同类型单位在单位速度输入信号的 K1K1e KK II K1e 0K I K1e 0K 02ass2aassaassa，则型系统，对于，则型系统，对于，则型系统，对于的稳态误差分别为位反馈控制

11、系统的作用下，不同类型单在单位加速度输入信号表表3.43.4概括了概括了0 0型、型、I I型和型和型单位反馈控制系统在不同型单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差。输入信号作用下的稳态误差。在对角线上，稳态误差为在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为线以下部分，稳态误差为0 0由表由表3.43.4可得如下结论可得如下结论：(1)(1)同一个系统，如果输入的控制信号不同，其同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差稳态误差也不同。也不同。 (2)(2)同一个控制信号作用于不同的

12、控制系统，其同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差稳态误差也不同。也不同。 (3)(3)系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。 t21 1 t 0 1 )( 1 0 0 11 0 2avpsskktKevn例例3 34 4 已知两个系统如图已知两个系统如图3.193.19所示，当系统输入的所示，当系统输入的控制信号为控制信号为 时，试分别求出两个系统的时，试分别求出两个系统的稳态误差。稳态误差。2364)(tttx

13、i K2C KBK1Ae CBA CtBtA(t) x 1avpss2i误差为稳态原理可以证明，系统的为常数。根据线性叠加、其中线性组合，即速度函数三种输入的跃函数、速度函数和加）如果系统的输入是阶（解 3t 3t6t4(t)xa0K 03*22.5614 K2C KBK1Ae a0K , 5 . 2KK,K5 . 2KIa ) 1s25. 0s(5 . 2(s)G a222iaavpssa1vp1a，稳态误差为无穷大。的加速度分量的输出不能跟踪输入，系统也就是说，因为的稳态误差为，可得系统，则有型系统，其开环增益为为系统常数表达式为的开环传递函数的时间）系统（ 4 . 2 2.53*2614

14、 K2C KBK1Ae b5 . 2KK ,K,K5 . 2KIIb ) 1s25. 0(s) 1(s5 . 2(s)G b3avpss2avp22a的稳态误差为，可得系统，则有型系统，其开环增益为为系统常数表达式为的开环传递函数的时间）系统（在计算系统总误差时必须考虑扰动在计算系统总误差时必须考虑扰动n(t)n(t)所引起的误差。所引起的误差。根据线性系统的叠加原理。根据线性系统的叠加原理。系统总误差等于输入信号和扰动系统总误差等于输入信号和扰动单独作用于系统时所分别引起的单独作用于系统时所分别引起的系统稳态误差的代数和系统稳态误差的代数和(见图见图249所示所示)1 1输入信号输入信号Xi

15、(t)Xi(t)单独作用下单独作用下 的系统稳态误差的系统稳态误差 e essissi(s)X(s)XH(s)1(s)H(s)X(s)H(s)X-(s)X(s)H(s)X(s)(s)X(s)E(s) (s)(t)x2.490,N(s)0,n(t) ioioiiiiieieii为数单独作用下误差传递函输入信号所示的闭环控制系统在图假设扰动(3.40) (s)X.H(s)()(1H(s)1s.lim(s)(s)Xslime eH(s)()(1H(s)1H(s)()(1)()(H(s)1 i210siei0sssissi212121sGsGsGsGsGsGsGsG为则此时系统的稳态误差2 2扰动扰动

16、 n(t)n(t)单独作用下的系统稳态误差单独作用下的系统稳态误差essnessn H(s)()(1)(N(s)(s)X- H(s)N(s)(s)H(s)X-(s)XH(s)N(s)(s)N(s)(s)E(s) (s)n(t) 2.490,(s)X 0,(t)x 212ooinneneniisGsGsG为函数单独作用下的误差传递扰动所示的闭环控制系统在图假设输入信号(3.41) N(s).H(s)()(1)(s.lim(s)N(s)slime e 2120sen0sssnssnsGsGsG为则此时系统的稳态误差(3.42) eee e e 3.ssnssissssss为统总误差根据线性叠加原理

17、，系系统总误差 CR. )(limKKK1K )s1.CR.(- )(KKK1sTK-slim (s)N(s)slime e)(KKK1sTK-K1sTK)(K11sTKN(s)(s)E(s) (s) M10sc212M1c21M20sen0sssnssn1c21M2cM211M2nenensGsGsGsG则系统的稳态误差为函数单独作用下的误差传递馈控制系统，在扰动量该系统是一个非单位反解：0CR.)sK1 (limKKK1KeK5sK1(s)GKCKKRe1KKK1CR.KKK1Ke1(s)GM30sC212ssn3311Mc1ssnc21Mc212ssn1统的稳态误差为为常数，此时系章），

18、其中制（详见第时，称为比例加积分控当差越小。越大误倍数点与偏差信号间的放大，这就是说，扰动作用时，有；当回路增益时，系统的稳态误差为当3 36 61 1 稳定的概念稳定的概念 1 1稳定现象举例稳定现象举例 2.2.稳定的定义稳定的定义 系统的系统的稳定性定义稳定性定义：系统在任何：系统在任何足够小的初始偏差足够小的初始偏差的作用下的作用下，其时间响应随着时间的推移而逐渐衰减并，其时间响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋向于零，则该系统是稳定的；否则，该系统是不稳趋向于零，则该系统是稳定的；否则，该系统是不稳定的。定的。 稳定性稳定性是控制系统自身的固有特性它取决于系统是控制系统自身的固有特性它取

19、决于系统本身本身的结构的结构和和参数参数，而与输入无关。，而与输入无关。 3 3稳定程度稳定程度 如果系统的时间响应逐渐衰减并趋于零，则系统稳定。如果系统的时间响应逐渐衰减并趋于零，则系统稳定。如果系统的时间响应是发散的，则系统不稳定。如果系统的时间响应是发散的，则系统不稳定。如果系统的时间响应趋于某一如果系统的时间响应趋于某一恒定值恒定值或或成为等幅振荡成为等幅振荡，则系统处于稳定的边缘，即则系统处于稳定的边缘，即临界稳定状态临界稳定状态。 显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能正常显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能正常工作的。工作的。而且即使没有在临界稳定状态，只要与临界稳

20、定状态接而且即使没有在临界稳定状态，只要与临界稳定状态接近到某一程度，系统在实际工作中就可能变成不稳定。近到某一程度，系统在实际工作中就可能变成不稳定。 (1)(1)建立系统的数学模型时，建立系统的数学模型时，忽略了一些次要因素忽略了一些次要因素，用，用简化的数学模型近似地代表实际系统。简化的数学模型近似地代表实际系统。 (2)(2)用一些物理学基本定律来推导元件的运动方程时，用一些物理学基本定律来推导元件的运动方程时，运用了线性化的方法运用了线性化的方法，而某些元件的实际运动方程可，而某些元件的实际运动方程可能是非线性的。能是非线性的。 (3)(3)元件的运动方程中包含的元件的运动方程中包含

21、的参数都不可能精确求得参数都不可能精确求得，例如质量、转动惯量、阻尼、放大系数、时间常数等例如质量、转动惯量、阻尼、放大系数、时间常数等等。等。 (4)(4)如果系统的数学模型是用实验方法求得的，那么，如果系统的数学模型是用实验方法求得的，那么，由于实验仪器精度、实验技术水平和数据处理误差等由于实验仪器精度、实验技术水平和数据处理误差等，都会使求出的系统特性与实际的系统特性有差别。都会使求出的系统特性与实际的系统特性有差别。 (5)(5)控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能产生变化。产生变化。 为常数。、和、为输出信号，为输入信号，其中，方程为设

22、线性定常系统的微分n10n10oiimi1 -m1 -mi1 -m1mim0ono1 -n1 -no1 -n1non0b.bba.aa(t)x(t) x(3.43) m)(n (t)xbdt(t)dxb.dt(t)xdbdt(t)xdb (t)xadt(t)dxa.dt(t)xdadt(t)xda 根据上述稳定性的定义，可用以下方法得出根据上述稳定性的定义，可用以下方法得出线性线性定常系统定常系统稳定的条件。稳定的条件。 N(S) SXbSb.SbSb SXaSa.SaSa im1 -m1 -m1m00n1 -n1 -n1n0）（）（）（）（D(s)N(s)(s)X 0(s)X3.44 sN(

23、s)G(s)D(s)M(s) D(s)N(s)(s)XD(s)M(s)(s)X 3.43 bSb.SbSbM(s) aSa.SaSaD(s) oiiOm1 -m1 -m1m0n1 -n1 -n1n0应为下系统的零输入时间响得到仅在初始状态影响）中取在式（为零输入响应。因此可系统的时间响应，也称仅在初始状态影响下是分析不存在外作用、根据定义，研究稳定性多项式。是与初始条件有关的是系统的传递函数，其中，）两边作拉氏变换，得对式（考虑初始条件不为零，设设）45. 3(数。是与初始条件有关的系。可见，其中，响应各不相同时，有零输入当系统传递函数的极点，为系统的特征根，也即设系统的特征方程ipsin1i

24、tpi1o1oiin1 -n1 -n1n0AD(s)dsdD(s),D(s)N(s)A )47. 3(eAD(s)N(s)(s)X(t) x p n),., 2 , 1(ip )46. 3(0aSa.SaSaD(s) iiLL (t)xlim p0(t)xlim 0pRe p(3.47) otiotii。这样的系统就是不稳定的推移而发散，即输入响应就会随着时间根具有正的实部，则零中有一个或多个征根。反之，如果系统的特这样的系统就是稳定的减到零，即则零输入响应最终将衰的实部均为负数，即征根可知，如果系统所有特由式系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件是系统的全部特征根都必是系统的全部特征根

25、都必须具有负实部；反之，如果系统的特征根中只要有一须具有负实部；反之，如果系统的特征根中只要有一个或多个根具有正实部，则系统就是不稳定个或多个根具有正实部，则系统就是不稳定的。的。 系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件也可以表述为：如果系也可以表述为：如果系统闭环传递函数的全部极点均位于统闭环传递函数的全部极点均位于SS平面的左半平平面的左半平面，则系统稳定；反之，如果系统有一个或多个极面，则系统稳定；反之，如果系统有一个或多个极点位于点位于SS平面的右半平面，则系统不稳定。平面的右半平面，则系统不稳定。 如果有一对共轭复数极点位于虚轴上，而其余极如果有一对共轭复数极点位于虚轴上，而其

26、余极点均位于点均位于SS平面的左半平面。或者有一个极点位平面的左半平面。或者有一个极点位于原点，而其余极点均位于于原点，而其余极点均位于SS平面的左半平面，平面的左半平面，这就是前述的这就是前述的临界稳定状态临界稳定状态。工程控制的实际来看，工程控制的实际来看，一般认为临界稳定往往会导致不稳定。一般认为临界稳定往往会导致不稳定。 试说明系统是否稳定)54)(54)(9)(8()16)(6()()()(jSjSSSSSSXSXSio答答:特征方程特征方程:(S+8)(S+9)(S+4-j5)(S+4+j5)=0特征根：特征根：S1=-8; S2=-9; S3=-4+j5; S4=-4-j5系统稳

27、定系统稳定稳定。负的实部，所以该系统是一对共轭复根，具有为解特征方程，得特征根系统的特征方程为：系统闭环传递函数为解试说明系统稳定否？环传递函数为一个单位反馈系统的开实例 2411:0)(1)()(: ) 1()(: 22, 122TTKSKSTSKSTSKSGSGSTSSKSG线性定常系统稳定的条件是其特征根全部具有负实线性定常系统稳定的条件是其特征根全部具有负实部。因此，判别系统的稳定性，就要部。因此，判别系统的稳定性，就要解出解出系统系统特征特征方程的方程的根根，并检验这些特征根是否都具有负实部。，并检验这些特征根是否都具有负实部。但是，当系统但是，当系统的阶数高于的阶数高于4 4阶时，

28、在一般情况下，求解其特征方程的根阶时，在一般情况下，求解其特征方程的根将会遇到较大的困难将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并。因此，通过直接求解特征方程，并根据其特征根来分析系统稳定性的方法是不方便的。根据其特征根来分析系统稳定性的方法是不方便的。于是，就提出了这样的问题，是否可以于是，就提出了这样的问题，是否可以不用直接求不用直接求解特征方程的根解特征方程的根，而是，而是根据特征方程的根与系数的关系去根据特征方程的根与系数的关系去判别判别系统的特征根是否全部具有负实部，并以此来分析系系统的特征根是否全部具有负实部，并以此来分析系统的稳定性。这就是统的稳定性。这就是“劳思稳定判据

29、劳思稳定判据”的思路！的思路！设系统的特征方程设系统的特征方程( () )为：为： 0.122110nnnnnaSaSaSaSa劳思稳定判据的劳思稳定判据的必要条件必要条件：所有系数 均为正值(实际上就是：ai0)。 naaaa.210、劳思稳定判据的劳思稳定判据的充分条件充分条件：劳思阵列劳思阵列中第一列所有元素中第一列所有元素的符号均为正号。的符号均为正号。 劳思判据的内容：劳思判据的内容：0)(表达式的分母闭环传递函数S gfee.cccc.bbbb.aaaa.aaaa sss.ssss 112143214321753164200123-n2-n1 -nn.111170611617071

30、601315041141505140121302112130312011aaaaaaaaaaaaaaabaaaaaaaaaaaaaaabaaaaaaaaaaaaaaabn各系数计算如下：各系数计算如下： gfee.cccc.bbbb.aaaa.aaaa sss.ssss 112143214321753164200123-n2-n1 -nn.111141711714141711313151151313151121302113121213111bbaabbabbabbaabcbbaabbabbabbaabcbaaaababbabbaabc每一行的各个元素均计算到等于零为止。每一行的各个元素均计算到

31、等于零为止。 劳思稳定判据劳思稳定判据还指出：在系统的特征方程中，其实部为还指出：在系统的特征方程中，其实部为正的特征根的个数，等于劳思阵列中第一列元素的符号改正的特征根的个数，等于劳思阵列中第一列元素的符号改变的次数。变的次数。 gfee.cccc.bbbb.aaaa.aaaa sss.ssss 112143214321753164200123-n2-n1 -nn 极点。的右半平面有两个闭环平面即在程有两个正实部的根，这说明系统的特征方到和从到变了两次，即从第一列中元素的符号改所以系统不稳定。而且的符号不全为正号，以看出，第一列中元素由劳思阵列的第一列可其次，排列劳思阵列统稳定的必要条件。系

32、数均大于零，满足系首先，特征方程的各项解别系统的稳定性。试应用劳思稳定判据判设系统的特征方程为例 s50025-25-4 00500100 50025-41 0500100s4ss 3.6 012323SSSS对于对于二阶和三阶等二阶和三阶等低阶系统，可以简化劳思稳定判据，低阶系统，可以简化劳思稳定判据，以便直接进行稳定性判别以便直接进行稳定性判别o o (1)(1)二阶系统二阶系统(n(n2)2) 二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为 )52. 3.(.02120aSaSa 0a, 0a, 0a0aabaa sss 210221002定。数均为正值，则系统稳二阶系统，如果各项系。即对分必

33、要条件是：可得二阶系统稳定的充劳思阵列为可得 可得三阶系统稳定的充分必要条件是：a00， a10， a20， a30，a1a2a0a3。即对于三阶系统，如果各项系数均为正值，而且中间两项系数之积大于首尾两项之积，则系统稳定。 极点。的右半平面有两个闭环平面即在程有两个正实部的根，这说明系统的特征方到和从到变了两次，即从第一列中元素的符号改所以系统不稳定。而且的符号不全为正号，以看出，第一列中元素由劳思阵列的第一列可劳思阵列为三阶系统的特征方程为 s50025-25-4 00aa acaaaaabaa (3.52) 0asasasa 3231130211100123322130SSSS时系统稳定

34、。即当必要条件可得：据三阶系统稳定的充分此系统为三阶系统，根刚系统的特征方程为系统的闭环传递函数为解30KK,*15*0,6K0Ks5s6sKs5s6sK) 1)(s5s(sK1) 1)(s5s(sK(s)X(s)X 2323io在应用劳思稳定判据中，有时会遇到一些特殊的在应用劳思稳定判据中，有时会遇到一些特殊的情况，使判别无法进行下去。一般有以下两种情况情况，使判别无法进行下去。一般有以下两种情况 (1)(1)劳思阵列中某一行的第一列元素为零，而该行劳思阵列中某一行的第一列元素为零，而该行其余元素至少有一个不为零其余元素至少有一个不为零。 在这种情况下，因为这一行的第一列元素为零，则在这种情

35、况下，因为这一行的第一列元素为零，则在计算下一行时，就会使下一行的各个元素变为无穷在计算下一行时，就会使下一行的各个元素变为无穷大，从而使劳思阵列无法计算下去。大，从而使劳思阵列无法计算下去。为了克服这一困难，可以用一个很小的为了克服这一困难，可以用一个很小的正数正数 来代替来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳思阵列中其余第一列等于零的元素，然后继续计算劳思阵列中其余各个元素，最后令正数各个元素，最后令正数 趋于零，然后再按照前述方法趋于零，然后再按照前述方法进行判别。进行判别。 闭环极点。平面的右半平面有两个根，即在程有两个正实部，这说明系统的特征方元素的符号改变了两次。而且第一列中正号，所以系统不稳定列中元素的符号不全为以看出，第由劳思阵列的第一列可时，当列劳思阵列的必要条件，其次，排足系统稳定各项系数均大于零，满解：首先，特征方程的别系统的稳定性。试应用劳思稳定判据判设系统的特征方程为例s, 0)22(lim0 00100121 122021sssss 01s2s2ss 3.8 00234234在这种情况下，可以用该零行的上面一行的元在这种情况下，可以用该零行