曲线与方程(导师教研讲稿改)

1、设 计: 曲 线 与 方 程(涂荣豹)师：我们先来看一个问题：在直角坐标系、象限内，到坐标轴距离相等的点的轨迹是什么？(实际是创设情境)生：构成，象限的角平分线。师：(画图)有没有不同意见。生：原点不在这条直线上。师：也就是不包括原点。因为原点不属于，象限。这个轨迹的方程是什么？生：y=x。师：(板书)y=x,有什么要求？生：x0。师：(板书)y=x，x0。这时，我们就说这个方程是这个轨迹直线的方程。建立直线方程是前段时间研究的对象。我们每每按照一定条件画出一条直线就能根据直线写出直线的方程，并且认定它是直线的方程。你们对这样的认定有没有产生过什么疑问？(暗示)画一条直线，我们就可建立一个方程

2、，然后就说这个方程是直线的方程。再画一条直线又可建立一个方程，然后又说这个方程是直线的方程。对这样的说法，你们有没有产生过疑问？(提示)直线是什么?几何图形。方程是什么?代数等式。那我们能不能提出什么疑问?(提示)有没有考虑过一个问题：为什么你能够说，求得的方程就是原来直线的方程？(几经提示仍不得要领，教师提出)凭什么说这个方程就是这条直线的方程？(板书)这是不是一个疑问？这个问题是不是还没有解决呀？今天我们就来解决的这个问题。怎么来解决呢？(启发研究方法)盯着目标！我们的问题究竟是什么?“凭什么说这个方程就是直线的方程？”这节课采用的引入方法先提出已知问题，希望由已知知识出发提出新问题，从而

3、提出本节课的课题。如果希望以一种探究式的方式学习新知识，还应该考虑：如何引导学生自己提出本节课的课题。本节课是“曲线与方程”的关系(这里课本的标题不很准确)，要引导学生自己找到和提出这个课题并非易事。为此，教学设计可以这样的问题作为出发点：前一阶段我们学习了建立直线方程，每画一条直线(满足一定条件)就可以写出它的方程。对这样的一个工作过程，你们是否产生过疑问？比如对自己的结论是不是确信无疑？学习建立直线方程的时候，你的问题是什么，得到的结论是什么？比如以这个问题为例，你得到了什么结论？“y=x(x0)是满足条件的直线的方程”。对这个结论你是否放心？一个是几何图形，一个是代数等式。它们风马牛不相

4、及，现在你说这个代数方程是这条直线的方程，有什么根据？如此来引导学生提出本节课的课题，是一种较合理的选择。“凭什么？”根据什么。要找“根据”，这就涉及一个新的问题：如何判断“方程是直线的方程，直线是方程的直线”？这句话是什么意思？能不能换一种说法？换一种说法可以怎么说？“凭什么说”是什么意思？就是“根据什么判断”的意思吧？现在把我们的问题说得明确一些，就是：根据什么来判断“方程是直线的方程”？或者“直线是方程的直线”？(板书)怎么来解决这个问题呢？好象无从下手。怎样才是解决了这个问题呢？(方法论意义) 首先我们要干什么？首先把问题弄弄清楚吧？这是遇见一个新问题，不会做的问题首先要做的。(方法论

5、)“根据什么来判断”是什么意思？意味着要求我们做什么？寻找什么？是不是要寻找一种判断的依据吧？也就是寻找必须满足的条件吧？所以我们的任务是：(板书)寻找判断方程是直线方程的依据。 好，“寻找依据”！这是我们的任务。现在我们明白了，(明确目标，强化目标)怎样才是解决了这个问题呢？找到了判断的依据，找到了满足的条件就是解决了问题了。(方法论意义)那么，你的思想中满足了什么条件就是问题解决了? (预期和启发猜想-元认知方法论)就能够确认这个方程是曲线的方程了？大家讨论一下。注意！盯着问题(板书)，盯着目标，理理思路。师：(启发)直线是几何图形，方程是代数等式，是两个不同方面的问题。现在它们之间形成了

6、一种联系。(板书) 直线方程f(x)=0它们是怎么联系起来的呢?(认知性提示语) 一个是几何图形，一个是代数方程，它们怎接下来就是解决问题的过程了，因此把后面的教学设计成为探索解决问题的过程。“怎样才是解决了这个问题？”“达到什么要求,就算解决这个问题了?”或者“要达到的目标是什么？”这些问题其实是“元认知提示语”，蕴藏了思考问题的基本方式。这里体现了思考方法的教学，解决新问题的思考方法，或者是一般科学研究的方法。“大家看着这个问题，盯着目标，理理思路”波利亚提示语。这是对问题的结论提出猜想的过程，因而要经过一个很长的探索过程。不能急于求成，而要耐心引导启发。(板书)直线?方程(几何图形) (

7、代数等式)如何形成一种联系问题：“它们如何建立联系的？”“这个方程是通过什么建立的？”“通过点。”“为什么通过点就能把直线与方程联系起来呢？”(强调·)“因为直线是点的集合”“为什么直线看成点集就能与方程联系起来呢？”“因为有点就有坐标。”(板书)点(x,y)。“果真有点就有坐标吗？任画一点它有坐标吗？”“必须在坐标系内”。“坐标系”。(板书)“有了坐标系，点才有了坐标。”么联系起来的呢？建立直线方程是通过什么来建立的？(认知性)生：通过点(应该是直角坐标系里的点)。师：通过点就能建立方程吗？我任意画一个点就能建立方程了吗？(画一个点)在哪里？点才有坐标。(引出坐标系是联结点)在直角

8、坐标系里，点就可以用坐标表示了。于是直线就能用方程表示了。(自问自答,省时)师：(板书)要注意我们是在直角坐标系里说话，是通过直角坐标系点的坐标建立联系的。那为什么通过直角坐标系点的坐标，就能把直线与方程联系起来呢?点与线有什么关系？我们可以把直线看成是什么？看成点的什么？把点看成点的集合。(比较明显的，自问自答)师：把直线看成“点的集合”，通过点的坐标，就能把直线与方程联系起来了。是不是?(思路性、研究性的问题，也是小总结，小概括)我们能不能利用这个例子说的具体点？直线l上点的坐标与方程有什么关系？生：l上点的坐标是方程的解。(坐标适合方程)师：l上点的坐标是方程的解。l上一个点吗？生：所有

9、的点。师：直线l上所有的点的坐标都是方程的解。这句话怎么用数学语言表示？(强调数学表示)在l上任取一点M(x0,y0),(板书)(方法论)因为x0=y0，即x0-y0=0，“所以直线与方程究竟通过什么联系呢？”(这个问题的意义在：暗示了判断“一个点是否在方程的曲线上”的方法。后面就要用到这个方法)(路径出现的先后无所谓，但序号不能乱)由的路线图，得出了一个结论：“直线上所有点的坐标都是方程的解。”进而概括出“一点不多”的特征来。(直线上所有点的坐标都是方程的解，一点不少)这种言简意骇的概括很有意义或价值，形象生动，通俗易懂，便于理解，便于掌握，也便于记忆，便于运用。监控反思，这是元认知，是探索

10、过程中的思考方法检验。“既然证明了直线上每一点的坐标都是方程的解，那么是否就可以肯定方程就是直线的方程了呢？”“既然直线上每一点坐标都是方程的解，那是否就能说方程刻画了直线啦？”“不能”，“你怎么知道不能呢？”“你认为不能说它是直线的方程，那你怎么来说明呢？”“也就是如何来说明结论未必正确呢？”“那就要寻找这个结论的漏洞。”说明(x0,y0)是方程y=x，x0的一个解。直线l®点M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解这样一来就怎么样呢？l上所有点的坐标都是方程的一个解。也就是说，直线上没多出来一点，它的坐标不是方程的解。“一点不多”吧？(板书) 一点不多直线

11、上没有多余的点，它的坐标不是方程y=x，x0的解。我们得出了一个结论： (板书)“直线上所有点的坐标都是方程的解。”一点不多直线上所有点的坐标都是方程的解。师：现在我们已经发现直线上所有点坐标都是方程的解。那得到这个结论，我们是不是就可以认定这个方程是曲线的方程？是不是就可以把它作为判断方程是直线的方程的条件了?我们的目标是什么？是寻找判断方程是直线方程的条件吧？是不是满足了这个条件，就能确认这个方程是直线的方程啦？能不能确认？(反思，反省思维，元认知、方法论意义)怎么来检验，怎么来研究呢？(方法论意义)师：回想一下，我们前面提到过，这个问题涉及两个方面几何的直线和代数的方程。刚才是从哪个方面

12、研究的？(反思)我们来回顾刚才的研究过程：(反思)直线l®点M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解这样研究是不是就行了？这是从哪个方面来研究的？(反思)是从“直线”这个方面研究的。仅仅从“直线”一个方面研究行不行?还应该从哪个方面来研究？(这里蕴含了思考问题的方法，否定一个结论就是只要寻找漏洞反例。但是寻找反例并不是一件容易的事情，因为这是寻找满足条件却不能肯定结论的例子。所以要耐心引导。)借用已经研究过的问题作为反例是极好选择，因为学生对它很熟悉，容易理解和建立联系。这是变式的运用变式反例。整个教学过程时时刻刻贯穿了一般科学研究方法的学习，在提出问题解决问

13、题过程中贯穿思考策略的学习，即是探索能力的培养。其间，用于启发引导学生的问题，问的准确，能起到很好的引导效果。不仅问题问的准，而且起启发作用的联结性解释也设计到位，如引出，而隐喻“一点不少”；又引出，又引出了。这完全在一种合情推理的进程中把探索引向深入，这个问题很好，但可以考虑在其前面添加一个问题：“只满足一个条件不能解决问题，那该怎么办呢？”这可以让学生想到需要再补充一个条件，从而由学生把的答案提出来。这里体现了一个原则：尽可能让学生提出问题，提出有价值的问题，而这个问题的解答其实并不难，但提出这个问题就不简单了，可见“问题教学”中教师提出问题固然可以，但最佳选择是学生提出问题。(如果不行，

14、为什么？(方法论意义)是不是会有什么漏洞？(方法论意义)你能不能找出漏洞来？你能不能找出一个反例？(也可不要学生找)现在(联系图形)，直线l不含原点，如果把方程y=x(x0)中的限制条件去掉，也就是把(x0)条件去掉，你还能不能说这个方程y=x (已去掉x0)是直线l的方程了?(反例启发)生：不能。师：不能！为什么？直线上所有点不-还是方程的解吗？生：因为方程有一个解(0,0)为坐标的点不在“直线l”上。师：噢！(重复回答)这是从哪个方面来看的？ 从直线还是从方程？)生：从方程的方面来研究(看的)。(看的什么呢?)师：从方程方面怎么研究？研究什么？(看以方程的解为坐标的点是否都在直线上。所以还

15、需要从方程的方面提出判断的条件。你觉得应该提出什么条件呢？)刚才从直线方面研究，提出了判断条件：直线上所有点的坐标是方程解。(已知®未知) 现在从方程方面是研究什么？ 是不是应该从相反的方向进行研究？ 那你觉得研究什么？可以提出什么判断条件？生：以方程的解为坐标的点都在直线上。师：哦！从方程的方面提出条件是：(边板书)以方程所有解为坐标的点都在直线上。 用数学的语言怎么表示？(强调数学表示,方法论)设(x0, y0)是方程y=x, x0的任意一个解，则x0=y0。(边板书)以这个解为坐标的点为M(x0, y0)，x0= y0，点M(x0, y0)在直线l上。方程与它的解集合等价，由方

16、程可得到方程的解（x,y）(板书)每一了解对应了解为坐标的点(x,y)(板书路径)，点(x,y)符合作轨道的直线的条件，表明点(x,y)在直线上(板书)，于是由路线图得出了一个结论：“方程所有的解为坐标的点都在直线上。进而概括出“一点不少”特征。这个路径框图的设计是“关系映射反演原理”的应用，体现了一种探索解决新问题的方法论思想，是这一原理在数学教学过程(不是解题)的非常典型的运用。这十分典型地体现出以知识为载体的学习，既获得了知识,又学习了探索解决新问题的科学方法，从而获得思维的发展，这个框图清晰明了，有利于学生的思维建构，抓住一切能发展学生探索能力的机会，不放过任何一个可以由学生提出问题的

17、机会。到这里就把这节课的主要内容探究出来了，始终是沿着“引导提出问题解决问题”的探索性进程层层深入，一个问题一个问题的解决，并把思考策略、解决问题策略贯穿其中。接下来强化对“曲线与方程关系”的认识，方法是利用已经学过的曲线及其变式，不断深化对“曲线与方程关系”意义的建构，与更多的已知知识和经验去建立多方位、多角度联系。这不是刺激联结的机械记忆，而是加强意义的联系和建构，这说明，方程没有出现一个解，以它为坐标的点不在直线上。“一个不少”吧？(板书) 一个不少方程y=x，x0所有的解为坐标的点都在直线上。我们得出了一个结论： (板书)“方程所有的解为坐标的点都在直线上”。一个不少方程所有的解为坐标

18、的点都在直线上师：我们回顾一下研究的过程：直线上¬点(x0,y0)¬x0=y0¬方程解(x0,y0)这样我们又从方程的方面说明了，以方程的解为坐标的点都在直线上。现在，我们找到了两个条件来判断方程是直线的方程，一个是从直线方面的：(小结)一点不多直线上所有点的坐标都是方程的解。一个是从方程方面的：(小结，教师、学生都可做)一个不少方程所有的解为坐标的点都在直线上。一点不多，一点不少。恰恰好。这时我们可以放心大胆地说：方程是直线的方程。这样就解决了一开始提出的问题：怎样判断方程的直线？现在我们就知道了：满足了这两方面的条件，方程是直线的方程，或者直线是方程的直线。刚

19、才我们研究的是直线，如果是曲线呢？怎么来判断方程是曲线的方程？其实直线就是曲线的一种，那么我们就可以用同样的方法判断“曲线的方程”或“方程的曲线”。(主题)现在你们能不能把刚才的判断条件，表述为“曲线的方程”的判断条件？生：如果曲线上所有点的坐标都是方程的解，并且以方程的解为坐标的点都在曲线上，就称：曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。师：一个是从直线方面的：(边板书) 一点不多曲线上所有点的坐标都是方程的解。一个是从方程方面的：一个不少方程所有的解为坐标的点都在曲线上。它就成为，判断方程是某条曲线方程的依据，或证明曲线是某个方程的曲线的依据。多方位多角度的联系，丰富各种表征，同时也达到强化意

20、识的作用(如何判断曲线是方程的曲线和方程是曲线的方程)。并且用已知的、熟悉的知识和经验去认识新的数学对象和意义，使得新旧两方面联系更加紧密牢固，同时也是对原有认知结构改组和重建，原有的知识和经验获得了新的意义。利用“变式”，一个问题变成了两个问题，由于变式涉及到本质和非本质属性的变化，从而起到强大的辩析作用，使学生对意义建构在熟悉而又变化的情境之上。这就能够比较容易达到更加深刻把握本质属性的目的。用已学过的内容学习新的知识是这节课的基本思想，从直线抛物线双曲线圆，由简单到复杂，从特殊到一般，梯度适中，线索清楚，每个例子既都由学生提出，调动了学生的积极性，每个例子又都不时机地适当变化，揭示出数学

21、的本质，表现出创造性的设计，这不但激发学习的兴趣，而且在不知不觉中把问题引向深入，学生轻松地或不很吃力地学到新知识、新方法、新思想。学生的能力，特别是探索解决新问题的能力得到了潜移默化的发展，思考方法、思想策略渗透其中，出自于不经意之中，十分自然。这节课学生始终处在提出问题，思考问题，解决问题之中，处于积极的思想活动的状态，全身心地投入到教学活动之中，表现出极大的主动性，教师以亲切师：现在大家能不能以这两个条件为依据来判断一个方程是某一曲线的方程？或者判断一条曲线是某一个方程的曲线？以前我们学过一些曲线，比如抛物线。师：比如y=x2。这是一函数，能不能看作是方程？什么是方程？含有未知数的等式。

22、y=x2是不是含有未知数的等式?是的。所以我们可以把y=x2看作是一个方程。取5个点把图画出来，大概就是这样形状。对这个方程，我们能把这条曲线叫作方程的曲线吗？你怎么来说明？怎么说明所画的抛物线就是这个方程的曲线？根据什么来说明？就是根据刚才得到的两个条件，从两个方面来说吧？(只要有两方面，不必说清从哪个方面)生：方程所有的解都在抛物线上。师：能不能说的再到位一些。（不否定而是鼓励）生：以方程所有解为坐标的点都在抛物线上，抛物线上所有点的坐标都是方程的解。师：好，再请一个同学说一说。现在我们是不是清楚了？满足了这两个条件，就可以说，这个方程是抛物线的方程，抛物线是这个方程的曲线。我们来进一步运

23、用这个判断的依据。我们来研究一个关于圆的问题。“求圆心在原点、半径为5的圆的方程”。大家动笔，怎么求这个方程。(画圆)求直线的方程，我们会，求圆的方程呢？怎么处理?(边等待,边提示)大家想，圆是一条曲线，求它的方程，是解析几何问题吧？解析几何问题在哪里解决？在坐标系里。好，我们来建立坐标系。(画坐标系) 的口吻，交谈的方式，在与学生的对话中推动教学的进程，师生人格平等，课堂气氛和谐，教师用诸如“能不能重新组织一下”，“能不能说得更到位一些”，特别是分析了学生回答的不足后，不是否定回答，而是说“统一到这个形式”(正确的)，充分保护学生的自尊和人格，使人感到与学生的交流是一种“心的交流”，学生活泼

24、愉快，发言踊跃，渗透了一种健康的情感关系，有利于学生心理的健康发展。前面一直是对曲线与方程关系进行探索和意义的理解，没有涉及曲线与方程关系定义的运用，比如“如何证明曲线上所有点的坐标是方程的解”，“如何证明以方程的解为坐标的所有点都在曲线上”。教学中选择就圆与其方程的关系作为判断论证的例子，蕴含匠心。一方面学生此前只学过求直线方程，而没学过求曲线的方程，另一方面学生对圆熟悉，图形简单特点突出，因此对学生这是既老又新的问题，既是挑战，又力所能及，属于“最近发展区”的范围内。最终学生得到的结果(2个方程)都在情理之中，正好构成辩析曲线与方程关系本质特征的典型问题。用圆来让学生学习如何证明符合两个条

25、件，很合适。因为其证明过程不是很难，这就可以突出主题：证明符合两个条件；如果证明本身很难，就容易偏离主题，使学生关注非本质的方面，偏离主题。有的教师偏爱难题，其实反而冲淡主题，适得其反。著名求什么？求圆的方程。方程是什么？含有未知量的等式。也就是求一个等式。根据已知条件能不能建立这样的等式?大家思考一下，把这个方程写出来。师：(3分钟后)哪位同学说说看？生：x2 + y2 = 25。师：他求出来了。有没有不同意见？生：y= (-5x5)。师：(板书)2个结果，分别叫它们方程、方程。现在同一条曲线圆，出现了两个方程，哪一个是圆的方程呢？需要判断吧？根据什么来判断呢？前面我们得到的结论应该有用了吧

26、？大家思考一下，哪一个方程是原的方程。生：方程是圆的方程，不是。师：你根据什么说方程的不是圆的方程呢？要从两方面考虑吧？从哪两个方面？生：从曲线和方程两个方面。师：你想先从哪个方面来说？怎么说？生：方程里y取不到负值。师：y取不到负值说明什么？生：师：你能不能举一个例子来说明？(抽象表述难些)生：能，(0, -5)这点，在圆上；但不是方程的解。(思考方法寻找反例)师：所以呢？生：方程不是圆的方程。(这个“统一到”用的好)师：好, 我们把所求方程统一到方程的形式。师：你怎么说明方程是所求圆的方程呢？要说明它满足两方面的条件吧？(反复强调)我们来简单地证明一下。从曲线方面要说明什么？生：圆上每个点

27、的坐标都是方程的解。师：圆周上有无数个点，你总不能把每个点拿来验证一下吧？显然不行！怎么办？假如现有1000件产品，它的合格率是100%，你怎么来检查？需不需要每件都来检查一遍?(用简单例子启发)生：不需要,只要随便抽取一个检查一下就行了。师：那在我们这个问题中呢？(类比，迁移)(这个过程前后约3-4分钟给学生留有较充分的时间)数学家策莫罗有一句名言：“请把你的听众当作笨驴”。意在说明要用简单的易懂的东西说明复杂困难的对象，才是教学的最佳选择。在分析第二种形式方程不符合本质的过程中，暗示思考方法，引导寻找反例，突出判断的两个条件缺一不可，深入揭示曲线与方程关系的本质。如何检验和证明无数个对象的

28、性质，这是一个基本思考方法的问题，但是要讲清这个方法。也是只需要用最简单明白的例子就行了，能揭示方法的实质以及如何用就行了。这些地方都反映了学生始终处于问题之中，思考之中，发现之中，交流和讨论之中，尝试和调节之中。教学过程中始终贯穿着思想方法：拿到一个问题应该怎么去想，如何由不知到知，由不会到会，由不明白到明白。问题目标是：证明M点坐标是方程的解。首先看已有的条件点M(x0，y0)。它是什么？是圆上的任一点。有什么性质?到原点距离为5，如何表示？=5(也可从图上看出来，实际教学如此)得到+ =25。这个结果表明(x0，y0)是方程生：只要在圆上任意取一点来判断就行了。师：好，在圆上任取一点，如

29、M(x0，y0)（板书）下面要判断什么？(问题是什么？求或证什么？)生：判断(x0，y0)是方程的解。(当作解题过程处理)师：你怎么来证明(x0，y0)是方程的解呢？生：把坐标代进去。师：把(x0,y0)代到哪里？你知道+=吗？师：哪个同学有办法？生：由点M(x0，y0)作x轴和y轴的垂线，连接OM，就有+ = |OM|2=25。(板书)师：这是利用了圆周上的任意一点M(x0，y0)这个条件吧？这个等式表明了什么？生：圆上的任意一点M的坐标是方程的解。师：这样，就证明了一个方面的条件满足了。(完了没有？没有。)还要证明什么？生：还要证：这个方程的解为坐标的点都在圆周上。(这是要判断的第二个条件

30、)师：怎么证呢？方程的解也是无数个，那同样也是取一般情况吧？假设(x0，y0)是方程任一组解。(板书)如何证明以(x0, y0)为坐标的点在圆周上？(x0, y0)要满足什么条件？生：要满足点(x0, y0)到圆心距离等于5。师：用数学符号怎么表示？生：要满足= 5。因为(x0，y0)是方程的解，所以适合方程，也就是 + = 25。两边开方，取算术根，得= 5。师：=5说明了什么？生：说明以(x0，y0)为坐标的点在圆周上！师：(板书)所以点(x0，y0)在圆上。证明了这两方面的条件，我们就可以放心地说明一个什么结论？师：说明方程x2+y2=25是圆的方程，这个圆是方程的曲线。师：如果我问点P

31、(3，-4)在不在圆周上？生：在！ 师：你怎么来判断的？生：把P(3，-4)代入方程看看，32 + (-4)2 = 25。师：这说明P(3，-4)坐标适合这个方程，而这的解。所以“怎么办”这个问题提得必要且恰到好处：对不明白的人是一种引导， (这个“怎么办”问的好，引发学生思考。始终注意一般研究方法的渗透和培养)对明白的人是一种策略学习进一步去思考：“它是什么？”“它有什么性质”“它反映了什么问题？”对第二个条件的判断，要证明：“以(x0，y0)为坐标的点在圆上是否到原点距离等于5？是否有 =5？”这还是要经历上述的思考过程。已有条件一组解(x0，y0).它是什么？是x2+y2=25一组解；有什么性质?代入方程等式成立；怎么表示？ + =25（*）。只要在(*)式两边开方，取算术根就得到=5。点(x0，y0)到原点距离