第8-9讲 力平衡微分方程

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第八讲第八讲Lesson Eight李振红李振红Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程学院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2022-4-272o 为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡微分方程形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡微分方

2、程和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关系方程和变形协调方程）；物理方程（包括塑性条件方系方程和变形协调方程）；物理方程（包括塑性条件方程和应力与应变关系方程）等。程和应力与应变关系方程）等。力平衡微分方程有力平衡微分方程有3个；个；几何方程有几何方程有6个；个；物理方程有物理方程有6个；个；塑性条件方程有塑性条件方程有1个个一般塑性加工力学问题需要建立这一般塑性加工力学问题需要建立这16个方程。本章着重个方程。本章着重讲解这些方程的导出及其相关的物理含义。讲解这些方程的导出及其相关的物理含义。2022-4-273第五章 变形力学方程主

3、要内容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服条件 o 应力应变关系方程 o 等效应力、等效应变 o 平面变形和轴对称变形 2022-4-2745.1 力平衡微分方程o 一般情况下，变形体内各点的应力状态一般情况下，变形体内各点的应力状态 是是不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变形体的受力情况。但是变形体内各示整个变形体的受力情况。但是变形体内各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足静力平衡关系应力分量必须满足静力平衡关系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-4-2755

4、.1.1 直角坐标系的力平衡微分方程 o 设变形体内有两相邻点设变形体内有两相邻点a及及a1，a点的坐标为点的坐标为x、y、z，a1点的坐标为点的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，通过通过a及及a1点各作互相垂直的三个坐标面，点各作互相垂直的三个坐标面，围成一个微分六面体。在此微分体上作用着围成一个微分六面体。在此微分体上作用着法线应力和切应力。法线应力和切应力。 2022-4-276zxydxxxxdzzzxzxdyyyxyxyxzxx2022-4-277o 通过通过a点的点的x平面上作用着平面上作用着 ，而，而通过通过a1点的点的x平面上作用着平面上作用着 zyxfx,zydxxfx,1

5、222,! 21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可简化为可简化为 dxxxxx1其它各应力分量同理可得。其它各应力分量同理可得。 2022-4-278o 如果不考虑惯性力，按静力平衡如果不考虑惯性力，按静力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxzxdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-4-279o 同理，由同理，由 、 有类似的结果有类似的结果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij0jijfi高速塑性加工时，高速塑性加工时，惯性力不可忽略惯性力不可忽略

6、 求和约定得形式求和约定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X2022-4-2710o 力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可用来分析和求解变形区的应力分布。用来分析和求解变形区的应力分布。 2022-4-27115.1.2 柱面坐标系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr2022-4-27125.1.3 应力边界条件及摩擦应力边界条件及摩擦 o 过变形体外表面上任意点，单位表面力与过过

7、变形体外表面上任意点，单位表面力与过该点的三个坐标面上的应力分量的关系如下该点的三个坐标面上的应力分量的关系如下式所示式所示 nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxiijjlp或或该式就是应力边界条件方程该式就是应力边界条件方程 2022-4-2713应力边界条件的种类 o 自由表面自由表面 一般情况下，在工件的自由表面上，既一般情况下，在工件的自由表面上，既没有正应力，也没有切应力作用。没有正应力，也没有切应力作用。 自由表面自由表面2022-4-2714o 工件与工具的接触表面工件与工具的接触表面 在此边界上，既有压缩正应力的作用，在此边界上，既有压缩正应力的作用，也

8、有摩擦应力的作用。也有摩擦应力的作用。 接触表面接触表面2022-4-2715o 变形区与非变形区的分界面变形区与非变形区的分界面 在此界面上作用的应力，可能来自两区在此界面上作用的应力，可能来自两区本身的相互作用，也可能来自特意加的外力本身的相互作用，也可能来自特意加的外力作用。作用。 刚塑性交界面刚塑性交界面2022-4-2716金属塑性加工中的接触摩擦 o 在金属塑性加工过程中，由于变形金属与工在金属塑性加工过程中，由于变形金属与工具之间存在正压力及相对滑动（或相对滑动具之间存在正压力及相对滑动（或相对滑动趋势），这就在二者之间产生摩擦力作用。趋势），这就在二者之间产生摩擦力作用。这种接

9、触摩擦力，不仅是变形力学计算的主这种接触摩擦力，不仅是变形力学计算的主要参数或接触边界条件之一，而且有时甚至要参数或接触边界条件之一，而且有时甚至是能否成型的关键因素。是能否成型的关键因素。 2022-4-2717库仑摩擦定律 fPT nff或或TPfnf式中式中 摩擦力摩擦力正压力正压力摩擦切应力（单位摩擦力）摩擦切应力（单位摩擦力）压缩正应力压缩正应力摩擦系数摩擦系数2022-4-2718o 由于摩擦系数受应力状态的影响，而且很难由于摩擦系数受应力状态的影响，而且很难测准。因此，许多研究者建议采用如下的摩测准。因此，许多研究者建议采用如下的摩擦关系擦关系 mkffkm0 . 10m式中式中

10、 摩擦切应力摩擦切应力接触层工件的屈服切应力接触层工件的屈服切应力摩擦因子摩擦因子2022-4-2719第五章 变形力学方程主要内容主要内容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服条件屈服条件 o 应力应变关系方程应力应变关系方程 o 等效应力、等效应变等效应力、等效应变 o 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形 2022-4-27205.2 屈服条件屈服条件影响金属屈服的主要因素影响金属屈服的主要因素 o 在外力作用下，金属由弹性状态过渡到塑性在外力作用下，金属由弹性状态过渡到塑性状态，主要取决于变形金属的状态，主要取决于变形金属的机械性能机械性能、变变形条件形

11、条件和所受的和所受的应力状态应力状态。o 金属本身的机械性能是决定金属屈服的内因金属本身的机械性能是决定金属屈服的内因o 变形条件和应力状态是金属屈服的外因。变形条件和应力状态是金属屈服的外因。 2022-4-2721sTij2022-4-2722o 由这三种因素合成的作用，金属屈服的表达式由这三种因素合成的作用，金属屈服的表达式为为o 在同样的变形条件下，采用同一种金属材料，在同样的变形条件下，采用同一种金属材料，那么屈服就只与应力状态有关了那么屈服就只与应力状态有关了o 式中式中 f 又称为屈服函数。又称为屈服函数。 时，材料屈时，材料屈服服ijijijsTfy,ijfyCfij2022-

12、4-2723123单向拉伸材料屈服时，有单向拉伸材料屈服时，有Cfsij1?ijf改变应力状态时，改变应力状态时，2022-4-2724o 在复杂应力状态下，各应力分量同简单应力在复杂应力状态下，各应力分量同简单应力状态下试验确定的状态下试验确定的 或或 具有什么样的关具有什么样的关系时，金属才能屈服？系时，金属才能屈服？o 这个关系就是屈服条件（又称塑性条件、屈这个关系就是屈服条件（又称塑性条件、屈服准则、塑性方程）。服准则、塑性方程）。sk2022-4-2725实际金属材料的屈服条件是相当复杂的。因此实际金属材料的屈服条件是相当复杂的。因此对金属材料要做如下简化：对金属材料要做如下简化：o

13、 金属是各向同性的均质体；金属是各向同性的均质体；o 假定金属具有明显的屈服极限；假定金属具有明显的屈服极限；o 无包辛格效应；无包辛格效应；o 金属的屈服不受静水压力的影响。金属的屈服不受静水压力的影响。 2022-4-27265.2.1 Tresca最大切应力理论最大切应力理论 o 对同一种金属材料，在同样变形条件下，无对同一种金属材料，在同样变形条件下，无论什么应力状态，也不管坐标轴如何选取，论什么应力状态，也不管坐标轴如何选取，只要最大切应力只要最大切应力 达到某个临界值，则材达到某个临界值，则材料由弹性状态向塑性状态转变，即发生屈服料由弹性状态向塑性状态转变，即发生屈服 maxC23

14、1max2022-4-2727o 由于金属的屈服是一物理现象，对于不同的由于金属的屈服是一物理现象，对于不同的应力状态，常数应力状态，常数 C 应相同，所以可以由一些应相同，所以可以由一些简单应力状态确定之。简单应力状态确定之。 o 单向拉伸时，单向拉伸时， ， Css220231max即即s31s10232022-4-2728o 薄壁管扭转时，薄壁管扭转时， ， 屈服时屈服时所以屈服条件为所以屈服条件为 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy31k2312 2sskk或由于常数由于常数 C 一定，有一定，有2022-4-2729o 最大切应力理论的屈服函数为最大切应力理论的屈服函数为 2

15、31ijf当当kfsij2231时，金属屈服时，金属屈服2022-4-27305.2.2 Mises屈服条件屈服条件 o 对同一种金属材料，在同样变形条件下，无对同一种金属材料，在同样变形条件下，无论什么应力状态，也不管坐标轴如何选取，论什么应力状态，也不管坐标轴如何选取，只要偏差应力张量第二不变量只要偏差应力张量第二不变量 达到某个达到某个临界值，则材料由弹性状态向塑性状态转变，临界值，则材料由弹性状态向塑性状态转变，即发生屈服。即发生屈服。 2I常数2222zxyzxyxzzyyxI2022-4-2731o 经过变换经过变换o 取主坐标系时取主坐标系时 常数222222261zxyzxyx

16、zzyyxI常数213232221261I其中的常数由简单实验确定其中的常数由简单实验确定2022-4-2732o 单向拉伸时，单向拉伸时， ， 则则s1023221323222123161sI22132322212s或或o 薄壁管扭转时，薄壁管扭转时， 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy312k常数屈服时屈服时则2022-4-2733o 因此因此Mises屈服条件为屈服条件为或或 22222222626kszxyzxyxzzyyx 2221323222162kssk由由Mises屈服条件得到屈服条件得到 与与 的关系为的关系为 3 3sskk或2022-4-2734o Mises屈服

17、条件的屈服条件的屈服函数为屈服函数为o 对于屈服函数对于屈服函数 ，此时材料处于屈服，此时材料处于屈服状态，当状态，当 时，材料处于弹性状态，时，材料处于弹性状态，而对于而对于 ，破坏了屈服条件。，破坏了屈服条件。21323222161ijfCfijCfijCfij2022-4-2735Mises屈服条件的物理解释屈服条件的物理解释 o 由单位体积内形状改变的弹性能达到一定值由单位体积内形状改变的弹性能达到一定值时发生屈服，即时发生屈服，即 Cuijij21也可以导出也可以导出Mises屈服条件。故屈服条件。故Mises屈服条件屈服条件也称为也称为形变能定值定理形变能定值定理。 2022-4-

18、2736屈服条件的几何解释屈服条件的几何解释 o 方程方程 为一与坐标轴成等倾斜的圆柱面，而为一与坐标轴成等倾斜的圆柱面，而则为主坐标系下的一与主坐标轴成等倾斜的圆则为主坐标系下的一与主坐标轴成等倾斜的圆柱面。柱面。2221323222162ks2222axzzyyx2022-4-2737oNrPn 1 1 2 2 3 3柱面上一点就表示变形体处于某一应力屈服状态。柱面上一点就表示变形体处于某一应力屈服状态。 2022-4-2738P点坐标为点坐标为 ，而，而 321、2322212oPoPmoN331321on on 为一与坐标轴成等倾斜的轴线，则为一与坐标轴成等倾斜的轴线，则 在在onon

19、上上的投影的投影2022-4-2739232123222122231oNoPPN21323222131232221mmm2322211332213322212321222mmmm221223222122232022-4-2740o 把把Mises屈服条件代入上式，则屈服条件代入上式，则 kPNs232即圆柱面的半径为即圆柱面的半径为 krs2322022-4-2741o 因为静水压力对屈服没有影响，仅偏差应力因为静水压力对屈服没有影响，仅偏差应力分量与屈服有关，所以分量与屈服有关，所以 大小对屈服没有大小对屈服没有影响，仅影响，仅 与屈服有关。可以令与屈服有关。可以令 ，则完全可以由通过原点且

20、垂直于圆柱轴线的则完全可以由通过原点且垂直于圆柱轴线的平面表示屈服。该平面平面表示屈服。该平面称为称为 平面平面，该平面，该平面与圆柱面的交线称为与圆柱面的交线称为屈服曲线屈服曲线。 oNPN0oN2022-4-2742Mises屈服条件在屈服条件在 平面上的屈服曲线为圆，平面上的屈服曲线为圆，Tresca屈服屈服条件在条件在 平面上的屈服曲线为该圆的内接正六边形。平面上的屈服曲线为该圆的内接正六边形。 1 1 2 2 3 3ABCDO2022-4-2743on 1 1 2 2 3 3oNrPn 1 1 2 2 3 32022-4-2744屈服条件总结 o Mises屈服条件在主应力坐标空间是

21、一个无屈服条件在主应力坐标空间是一个无限长的圆柱面，其轴线与坐标轴成等倾斜，限长的圆柱面，其轴线与坐标轴成等倾斜，其半径其半径 。这个柱面称。这个柱面称为屈服曲面。为屈服曲面。 kPNrs2322022-4-2745o 因为静水压力对屈服没有影响，所以因为静水压力对屈服没有影响，所以 大大小对屈服没有影响。可以令小对屈服没有影响。可以令 即得，即得，o 该平面称为该平面称为 平面，该平面与圆柱面的交线平面，该平面与圆柱面的交线称为屈服曲线。称为屈服曲线。 oN0oN03212022-4-2746o 表示一点应力状态的任一点表示一点应力状态的任一点 （ ），），若处在屈服曲面以内，则该点处于弹性

22、状态；若处在屈服曲面以内，则该点处于弹性状态；若处在屈服曲面上，则该点处于塑性状态。若处在屈服曲面上，则该点处于塑性状态。若材料经过预变形，则由于加工硬化，屈服若材料经过预变形，则由于加工硬化，屈服极限增大，屈服曲面半径增大。屈服时点依极限增大，屈服曲面半径增大。屈服时点依然在曲面上。故实际应力状态不可能落在屈然在曲面上。故实际应力状态不可能落在屈服曲面外。服曲面外。 P321、2022-4-2747o 在在 平面上，平面上，Tresca屈服条件为屈服条件为Mises屈服条屈服条件的内接正六边形。当已知件的内接正六边形。当已知 时，时，平面上的屈服曲线只有平面上的屈服曲线只有AB段，其余都是虚

23、段，其余都是虚构的。构的。 3212022-4-2748屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证 PMM x x xy xy泰勒和奎奈实验结果泰勒和奎奈实验结果1Tresca；2MisesP00.10.20.30.40.50.60.20.40.60.81.0钢钢铜铜铝铝 x / s xy / s122022-4-2749第五章 变形力学方程主要内容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服条件 o 应力应变关系方程 o 等效应力、等效应变 o 平面变形和轴对称变形 2022-4-27505.3 应力应变关系方程o 塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，塑性变形时应力与应变的关系称为本构

24、关系，其数学表达式称为其数学表达式称为本构方程本构方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,2022-4-27515.3.1 弹性变形时的应力应变关系弹性变形时的应力应变关系弹性变形的特点弹性变形的特点o 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合全量应变主轴重合o 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关无关），应力与应变之间存在统一的单值关系系o 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于泊松比小于0.52

25、022-4-2752o 虎克定律虎克定律o 广义虎克定律广义虎克定律E：弹性模量：弹性模量v：泊松比：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-4-2753zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1则则xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-4-2754o 同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以广义虎克定律可写成求和约定的形式所以广义虎克定律可写成求和约定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克罗内克儿记号克罗内克儿记号 2022

26、-4-2755o 弹性变形的比列及差比形式弹性变形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-4-2756广义虎克定律的矩阵形式广义虎克定律的矩阵形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-4-27575.3.2 塑性变形时的应力应变关系塑性变形时的应力应变关系塑性变形的特点塑性变形的特点o 体积不变，泊松比体积不变，泊松比v=0.5v=0.5o 应力、应变为非线性关系应力、应变

27、为非线性关系 o 全量应变与应力主轴不一定重全量应变与应力主轴不一定重合合 o 塑性变化不可逆塑性变化不可逆无单值一无单值一一对应关系一对应关系与加载路径有与加载路径有关关 o 对于应变硬化材料，卸载后的对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高屈服应力比初始屈服应力高2022-4-2758应变增量与小变形及大变形的关系应变增量与小变形及大变形的关系o 应变增量应变增量 与小变形与小变形 数值大小处于同一数值大小处于同一数量级，都属于无穷小量；数量级，都属于无穷小量；o 大变形是对应变增量进行积分获得的大变形是对应变增量进行积分获得的ddd2022-4-2759塑性变形时应力与应变的关

28、系塑性变形时应力与应变的关系o 增量理论增量理论 PrantlReuss理论理论 LevyMises理论理论 o 全量理论全量理论 Hencky小变形理论小变形理论 2022-4-2760PrantlReuss理论理论基本观点基本观点o o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系塑性应变增量塑性应变增量主轴与应力主轴一致主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量与该与该瞬时瞬时相应的各偏差应力分量成比例相应的各偏差应力分量成比例2022-4-2761数学表达式数学表达式 dddddddzxpzxyzpyzx

29、ypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-4-2762对对PR理论的解释理论的解释 o 应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在某一方向加载某一方向加载 ，则在该方向必产生，则在该方向必产生o 应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应变增量与应力在数学上联系起来变增量与应力在数学上联系起来 o 是一个非零非负的瞬时比例系数，是一个非零非负的瞬时比例系数， 时，时，表示弹性变形，表示弹性变形， 时，无实际情况与其时，无实际情况与其对应。对应。11dd0d0d2022-4-2763PrantlReuss方程方程o

30、总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-4-2764ddGdijijij21 该式称为该式称为PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差变形增量与偏差应力之间的关系偏差变形增量与偏差应力之间的关系 2022-4-2765适用范围适用范围 o 该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性与弹性变形处于同数量级，

31、而不能忽略弹性变形。变形。2022-4-2766LevyMises理论理论o 基本观点基本观点o o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系应变增量应变增量主轴与应力主轴一致主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，在任意加载瞬间，应变增量应变增量各分量与该各分量与该瞬时瞬时相应的各偏差应力分量成比例相应的各偏差应力分量成比例塑性塑性2022-4-2767数学表达式数学表达式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd2022-4-2768对对LM理论的说明理论的说明o 与与PrantlReuss理论相比，理论相比， LevyMise

32、s理理论只适用于大塑性变形问题；论只适用于大塑性变形问题；o 又称为又称为LevyMises流动法则流动法则；o 同样用于应变速率同样用于应变速率 ijijijijddtddtd2022-4-2769)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-4-2770全量理论全量理论 o 全量理论建立了全应变与应力的关系。其中全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较由影响的是比较由影响的是Hencky小变形理论。小变形理论。2022-4-2771加载条件加载条件 o 简单加载简单加载 在加载过程中

33、，应力张量各分量按同样的在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即比例增加，也称为比例加载。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，则，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 o 复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。 2022-4-2772Hencky小变形理论小变形理论基本观点基本观点o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系 塑性应变塑性应变主轴与应力主轴一致。主轴与应力主轴一致。o 应力与应变的分配关系

34、应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，在任意加载瞬间，塑性应变塑性应变各分量与该各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例。瞬时相应的各偏差应力分量成比例。 2022-4-2773数学表达式数学表达式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-4-2774o 总的变形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-4-2775小变形理论用于大变形小变形理论用于大变形o 对于大塑性变形，仅用于对于大塑性变形，仅用于简单加载条件简单加载条件，此，此时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。对数变形计算主应变。

35、o 取主轴时：取主轴时： 1122332121221221221或或2022-4-2776o 因此因此1313323221212022-4-2777第五章 变形力学方程主要内容主要内容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服条件屈服条件 o 应力应变关系方程应力应变关系方程 o 等效应力、等效应变等效应力、等效应变 o 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形 2022-4-27785.4 等效应力、等效应变等效应力、等效应变o 把把 s看成经过某一变形程度看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈服极下的单向应力状态的屈服极限限,则可称则可称 s为为变形抗力变形抗力。

36、ABCD o 如图所示，拉伸变形到如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到点，然后卸载到D点，如点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为限，统称为金属变形抗力金属变形抗力。 2022-4-2

37、7795.4.1 等效应力等效应力o s是单向拉伸是单向拉伸的情况下得到的情况下得到的，那么对于的，那么对于复杂应力状态，复杂应力状态， s与什么对应？与什么对应？ 1232022-4-2780o 由由Mises屈服条件屈服条件2221323222162ks可以改写为可以改写为s213232221212022-4-2781o 若令若令se21323222121e则金属屈服时有则金属屈服时有则为则为等效应力等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。，等效于单向拉伸时的应力状态。 e2022-4-2782o 对于单向拉伸对于单向拉伸s1时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态s1时，金属进入塑性状态时

38、，金属进入塑性状态同样同样，复杂应力状态时，复杂应力状态时，se时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态se时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态2022-4-2783o 在一般应力状态下，等效应力为在一般应力状态下，等效应力为 2222222621 3zxyzxyxzzyyxeI当材料屈服时有当材料屈服时有 kse3其中其中 s，为单向应力状态下获得的屈服极限，为单向应力状态下获得的屈服极限 2022-4-27845.4.2 等效应变等效应变o 在简单应力状态下，我们可以得到一条应在简单应力状态下，我们可以得到一条应力力应变关系曲线，若知道了变形程度，则应变关系曲线，若知道了变形程度，则其

39、所对应的应力，从该曲线上也可以得到。其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。o 那么可以说，对同一金属在同样的变形温那么可以说，对同一金属在同样的变形温度度变形速度条件下，等效应力取决于变形变形速度条件下，等效应力取决于变形程度。如果这样的话，一般应力状态是否存程度。如果这样的话，一般应力状态是否存在这一应力在这一应力应变关系曲线？应变关系曲线？ 2022-4-2785o 金属的加工硬化程度取决于金属内的变形潜金属的加工硬化程度取决于金属内的变形潜能，一般应力状态和简单应力状态在加工硬能，一般应力状态和简单应力状态在加工硬化程度上等效，意味着两者的变形潜能相同。化程度上等效，意味着两者的变形潜能

40、相同。变形潜能取决于塑性变形功耗。变形潜能取决于塑性变形功耗。o 可以认为，如果一般应力状态和简单应力状可以认为，如果一般应力状态和简单应力状态的塑性变形功耗相等，则两者在加工硬化态的塑性变形功耗相等，则两者在加工硬化程度上等效。程度上等效。 2022-4-2786o 取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单位取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单位体积内的塑性变形功为体积内的塑性变形功为 332211ddddAp按矢量积有按矢量积有 cosdddAp 由增量理论，塑性应变增量主轴与偏差应力主轴重合由增量理论，塑性应变增量主轴与偏差应力主轴重合 ddAp2022-4-2787o 由由Mises由屈服

41、条件的几何解释，屈服轨迹由屈服条件的几何解释，屈服轨迹半径半径 2322212PN21323222131矢量矢量 的模的模 ePN32312132322212022-4-2788o 而矢量而矢量 的模的模 232221dddddeepddA令令则找到则找到 23222132dddde21323222192ddddddddApe322022-4-2789 此式表示的应变增量此式表示的应变增量 就是主轴时的就是主轴时的等效应变增量等效应变增量ed21323222192ddddddde比例加载时，即比例加载时，即 eedddd3322112322212132322213292ee为等效应变为等效应变

42、 2022-4-279021323222192ddddddde等式两边分别除以变形时间等式两边分别除以变形时间dt，则得到，则得到21323222192e2022-4-27915.4.3 等效应变与等效应力的关系等效应变与等效应力的关系o 由由LevyMises流动法则，流动法则， ijijdd21323222192ddddddde代入代入213232221292dde213232221292d2022-4-2792o 得到得到eedd32eedd23或或此式即为等效应变增量此式即为等效应变增量与等效应力的关系与等效应力的关系 则则LevyMises流动法则可以写成流动法则可以写成 ijeei

43、jdd232022-4-2793o 这样，由于引入等效应变增量这样，由于引入等效应变增量 与等效应与等效应力力 ，则本构方程中的比例系数，则本构方程中的比例系数 便可以便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体数确定，从而也就可以求出应变增量的具体数值。值。 eded2022-4-27945.4.4 曲线曲线变形抗力曲线变形抗力曲线o 不论是一般应力状态还是简单应力状态作出不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的的 曲线，就是曲线，就是 曲线，此曲线也叫曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。来做金属变形抗力曲线。 eeeese2022-4-2795o 单向拉伸单