数乘向量及坐标运算

1、第38课 数乘向量及坐标运算考试目标主词填空1.实数与向量的积a与a同向的充要条件是>0.a与a反向的充要条件是<0.·(a+b)=a+b·(a-b)=a-b设a=(x,y),则a=(x,y).2.向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2,ab(a0,b0)x1y2-x2y1=0.3.三点共线的充要条件A、B、C三点共线存在R,使=.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数1,2,使a=1e1+2e2.题型示例点津归纳【例1】设e

2、1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k值.【解前点津】因A、B、D三点共线，故存在实数,使=由此等式可得关于,k的方程组，从而可求得k值.【规范解答】由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因A、B、D三点共线，故存在实数,使=,所以2e1+ke2=(e1-e2)=2且k=-4,k=-8.【解后归纳】利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.例2题图【例2】一艘船以5km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.【解前点津】用向量分别表

3、示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.【规范解答】如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度，AOC=30°,|=5 km/h.OACB为矩形，|=|·cot30°=|·cot30°=5=8.66(km/h),|=10km/h.所以，水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h.【解后归纳】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.【例3】(1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以构成一个三角形(每个向量的始

4、点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.【解前点津】利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.【规范解答】(1)充分性:a+b+c=0,a+b=-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:向量a、b、c可以构成一个三角形，不妨设在ABC中,=a,=b,=c,根据多边形法则,+=0,a+b+c=0.例3题图(2)如图，D、E、F分别是ABC中三边的中点，因为=+=+,=+=+,=+=+BC.将上述三式相加得,+=(+)=·0=0.【解

5、后归纳】熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”，是必须具备的一项“基本功”.【例4】用向量法证明:三角形三中线交于一点.【解前点津】在ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明与共线.例4题图【规范解答】=+,=+,=(+)+(+)又=+,=+,两式相减得:+=(+)即(+)=(+)代入消去+得=(+)+(+)=(+)=+,=+,2=(+)比较得=2,C、G、F在一条直线上，故G在中线AF上.【解后归纳】证明“线共点”或“点共线”问题，常转化为向量共线的问题.对应训练分阶提升一、基础夯实1.设e1,e2是同一平面内的两个

6、非零向量，则有()A.e1e2B.|e1|=|e2|C.同一平面内的任一向量a,都有a=e1+e2(,R) D.若e1与e2不共线，则同一平面内的任一向量a,都存在实数,使a=e1+e22.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共线的非零向量，则a+b与c=6e1-2e2的关系是()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.若a,b不共线,且a+b=0(,R),则()A.·=1B.·=-1 C.=0D.,不确定

7、5.已知a,b不共线，且c=1a+2b(1,2R),若c,b共线,则1=()A.2B.1C.-1D.06.若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则()A.= B.=()C.=2D.=()7.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为 ()A.(x-2,y+1)B.(x+2,y-1) C.(-2-x,1-y)D.(x+2,y+1)8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于()A.(7,1)B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)9.已知点B的坐标为(m,n),的坐标为(i,j),则点A的坐标为( )A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n

8、) C.(m+i,n+j)D.(m+n,i+j) 二、思维激活10.已知平行四边形ABCD的顶点:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)则第四个顶点D的坐标是.11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=a+b,则=,=.12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)(a-3b),则实数k=.13.已知=i-2j,=i+m·j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若A、B、C三点共线，则实数m=.三、能力提高14.在平行四边形ABCD中.(1)设对角线=a,=b,求:,;(2)设边和的中点为M、N,且=p,=q,求,.15.

9、设a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求点A的坐标.16.用向量证明:平行四边形对角线互相平分.17.在平行六面体ABCD-EFGH中,证明:+=2.第17题图第2课数乘向量及坐标运算习题解答1.D直接使用平面向量基本定理.2.Ba+b=3e1-e2=·c.3.A由条件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3.4.C5.D令c=x·b则由x·b=1a+2b得x=2且1=0.第6题图解6.B如图所示:=7.C,所以,=-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y).8.B-3a-2b-3(3,-1)-

10、2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(-7,-1).9.A=-=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j).10.设D(x,y),=,(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6).由得:故D点坐标是(1,5).11.由(7,-4)=(3,-2)+·(-2,1)得:7=3-2,且-4=-2+解之:=1,=-2.12.ka+b=k·(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),10·(2k+2)=-4(k-3)k=-.13.因,=(1,m)故由得-2=m即m=-2.14.(1)如图(1)，记平行四边形ABCD的对角线交点为0,因平行四边形对角线互相平分，所以:第14题图解（1）=+=a-b;=+=b+a;=+=-a+b;第14题图解(2)=+=-b-a.(2)如图(2)所示,=+=+q-=+q又=+=-+(-p)+=-p解构成的方程组得:=q-p,=q-p.15.设A(x,y),则=(1-x,-y)代入a=3b-2c得:(1-x,-y)=3(-3,4)-2(-1,1),故.16.如图，AC与BD是平行四