三角函数的图像与性质

1、一、三角函数图像的作法一、三角函数图像的作法几何几何法法五点五点法法图像图像变换变换法法二、三角函数图像的性质二、三角函数图像的性质三、解三角不等式（数形结合）三、解三角不等式（数形结合）四、四、f(x)= Asin( x+ ) 的性质的性质五五、课后练习课后练习2oxy-11-1-1oA作法: (1) 等分3232656734233561126(2) 作正弦线(3) 平移61P1M/1p(4) 连线一、三角函数图像的作法一、三角函数图像的作法1.几何法几何法 y=sinx 作图步骤作图步骤:oxy11PAM正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM正切线正切线ATT0相位相位 相位相位2 相位相位 相

2、位相位23 相位相位22o46246xy-1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在， 与y=sinx,x0,2的图象相同2,4,0,2,2,0,4,2正弦函数Rxxy,sin的图像正弦曲线余弦函数y=cosx2=sin(x+ ) 由由y=sinx左移左移2y=cosxy=sinxy=cosx余弦曲线正正, 余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线轴的直线, 对称中心为图象与对称中心为图象与 x 轴的交点轴的交点正弦函数正弦函数.余弦函数的图像和性质余弦函数的图像和性质作函数作函数 的简图的简图解:列表描点作图-2

3、223211-xyo-022322.五点法作函数五点法作函数 y=Asin( x+ ) 的图像的步骤的图像的步骤:(1)令相位令相位 x+ =0, , , , 2 , 解出相应的解出相应的 x 的值的值;23 2 (2)求求(1)中中 x 对应的对应的 y 的值的值, 并描出相应五点并描出相应五点;1)321sin(xy321xx1)321sin(xy32-334373101 2 1 1 0 (3)用光滑的曲线连结用光滑的曲线连结(2)中五点中五点.32-33437310由由y y= =s si in nx x 到到y y= =A As si in n( ( x x+ + ) )的的图图象象变

4、变换换步步骤骤步骤步骤1步骤步骤2步骤步骤3步骤步骤4步骤步骤5画画出出y y = =s si in nx x在在 0 0，2 2 上上的的简简图图得得到到y =sin(x+ )y =sin(x+ )在在某某周周期期内内的的简简图图得得到到y y = = s si in n( ( x x+ + ) )在在某某周周期期内内的的简简图图得得到到y y = = A As si in n( ( x x+ + ) )在在某某周周期期内内的的简简图图得得到到y y = = A As si in n( ( x x+ + ) )在在R R上上的的图图象象沿沿x轴轴 平行移动平行移动横坐标横坐标 伸长或缩短伸长

5、或缩短纵坐标纵坐标 伸长或缩短伸长或缩短沿沿x轴轴 扩展扩展横坐标向左横坐标向左 ( 0) 或向右或向右( cosx.x| +2k x 0 0, , 0 0) )在在简简谐谐运运动动中中的的相相关关概概念念 : :( (1 1) )A A2 2( (2 2) )T T = =1 1( (3 3) )f f = = =T T2 2( (4 4) ) x x + +( (5 5) )振振 幅幅周周期期频率率相相位位初初相相四四.23ysin(x) 1.周期性周期性: y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是的最小正周期都是 2 ; f(x)= Asin( x+ ) 和和 f(x)=Acos(

6、x+ )的最小正周期都是的最小正周期都是 T= . f(x)=Atan( x+ )的最小正周期都是的最小正周期都是 T= f(x)= |Asin( x+ )| ,f(x)=|Acos( x+ )|的最小正周期都是的最小正周期都是 T= （即取绝对值后周期减半），（即取绝对值后周期减半），f(x)=|Atan( x+ )|的最小正周期是的最小正周期是 T= （即取绝对值后周期不变）（即取绝对值后周期不变）。| | 2 f(x)= Asin( x+ ) , f(x)=Acos( x+ )和和f(x)=Atan( x+ )的性质的性质| | 五五 .| | | | 注：较复杂的三角函数要注：较复杂的

7、三角函数要先化简先化简，再利用公式求周期；有时，再利用公式求周期；有时可用可用数形结合数形结合或或定义法定义法求周期求周期P93,1下列函数中周期为下列函数中周期为 的是（的是（ ）2 2 x 4 x A.y=sin , B.y=sin2x C.y=cos D.y=cos4xD2.f(x)=sin2x-的周期是（的周期是（ ）2.研究研究 f(x)= Asin( x+ ) 性质的方法：类比研究性质的方法：类比研究y=sinx的性质，的性质，只需将只需将 x+看成看成 x，但在求，但在求 f(x)=Asin( x+ ) 的单调区间时，的单调区间时，要特别注意要特别注意A和和的符号，通过诱导公式先

8、将的符号，通过诱导公式先将化正。化正。1234xylog cos()如如1 ： ； 的单调增区间。的单调增区间。 2.求函数求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x 的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值,并写出该函数在并写出该函数在 0, 上的单调增区间上的单调增区间.解解: y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x =(sin2x- -cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x- -cos2x 6 =2sin(2x- - ) 故该函数的最小正周期是故该函数的最小正周期是 , 最小值是最小值是 - -2.3 在在 0

9、, 上的单调增区间是上的单调增区间是 0, 和和 , . 65 由由 2k - - 2x- - 2k + (k Z) 得得: 2 2 6 k - - xk + (k Z). 3 6 令令 k=0, 1 即得函数即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x 3.奇偶性：奇偶性：再如再如f(x)= Asin( x+ ) 为奇函数为奇函数 =k (k Z)解法一：解法一：解法二：解法二： zkkf0sin00f(x)= Asin( x+ ) 为偶函数为偶函数 =k + (k Z)2 f(x)= Acos( x+ ) 为奇函数为奇函数 =k + (k Z)2 =k (k Z)f(

10、x)= Acos( x+ ) 为偶函数为偶函数 zkkxAxAxAxAxAxAxAxAxfxf20cos0sin, 0cossin2,sincoscossinsincoscossin,sinsin? zkkAf21sin0 zkkxAxosAxAxAxAxAxAxAxfxf0sin0cos, 0sinc2,sincoscossinsincoscossin,sinsin? P94例例4.已知函数已知函数 f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶上的偶函数函数, 其图象关于点其图象关于点 M( , 0) 对称对称, 且在区间且在区间 0, 上是单调上是单调函数函数, 求求 和

11、和 的值的值.43 2 答案答案观察得到：可类比正弦曲线观察得到：可类比正弦曲线和余弦曲线的奇偶性，和余弦曲线的奇偶性，奇变偶不变奇变偶不变解解: f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, f(0)=1cos =0. 又又0 , = .2 f(x) 的的图象关于点图象关于点 M 对称对称, f(x)=cos x. =k + (k Z). 43 2 = (k Z). 4k+2 3f(x)=cos x 在区间在区间 0, 上是减函数上是减函数. 0, f( ) =0. 43 2 必有必有 , 即即 00, 即即 2sin(x- - )0 得得: 4 2k +

12、x2k + , k Z4 45 x | 2k + x0, 0, x R) 在一个周期内在一个周期内的图象如图所示的图象如图所示:23 2 -25 27 2 oxy2 求直线求直线 y= 3 与函数与函数 f(x) 图象的所有交点的坐标图象的所有交点的坐标. 27 解解: 根据图象得根据图象得 A=2, T= - -(- - )=4 , 2 = .12y=2sin( x+ ). 1212由由 (- - )+ = 2k 得得 = . 2 4 y=2sin( x+ ). 124 由由 3=2sin( x+ ) 得得 124 32sin( x+ )= . 124 x+ =2k + 或或 2k + (k

13、 Z). 124 32 3 x=4k + 或或 4k + (k Z).65 6 6 65 故所有交点坐标为故所有交点坐标为 (4k + , 3 ) 或或 (4k + , 3 ) (k Z). 3.设函数设函数 f(x)=a b, 其中向量其中向量 a=(2cosx, 1), b=(cosx, 3 sin2x), x R. (1)若若 f(x)=1- - 3 且且 x - - , , 求求 x ; (2)若函数若函数 y=2sin2x 的图象按向量的图象按向量 c=(m, n)(|m| ) 平移后得到函数平移后得到函数 y=f(x) 的图象的图象, 求实数求实数 m, n 的值的值.3 3 2 解解: (1)依题意依题意 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ ). 6 由由 1+2sin(2x+ )=1- - 3 得得: 6 sin(2x+ )=- - . 6 32x - - , , 2x+ - - , . 3 3 2 6 65 2x+ =- - . 6 3 x=- - . 4 由由(1)知知 f(x)=2sin2(x+ )+1. 12 12 m=- - , n=1. |m|0, 0, 0 0 时时, 有有