电磁感应物理竞赛(1)

1、专题十三法拉第电磁感应定律专题十三法拉第电磁感应定律tttttN 21磁通匝链数或全磁通磁通匝链数或全磁通: =1+2+N tN(当1=2=N=时 )通量法则通量法则解解：1、23)(242220ahaIB大tbahaBcos)(2I4S2222023小大小tbahaItsin)(24-2222023小小tbahaIisin)(2R4R2222023小小2、载流线圈在磁场中受安培力矩为：、载流线圈在磁场中受安培力矩为：3、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。、现在很难求，利用互感应部分就容易求了。BmM则外加力矩则外加力矩大小小BmMtbahaIRM22222220sin)()(24123小

2、)cos(),(kxtBtxB0kB, 0解法二：通量法则解法二：通量法则tldrkrtBsdBd)cos(0dxxldrkrtBd)cos(0)()cos(0krtdkrtklBdxx)sin()(sin0kxtdxktklB)cos(0krtBB)cos()()cos()(0kxtdxktkvklBdtdtE)cos()()cos()(0kxtdxktkvkRlBREtiltdxBtiltxBtitf),()(),()()(2220)cos()cos()()(kdkxtkxtRvklbtf当当kd=(2n+1)，即即 当当kd=2n，即，即 lBv)(LlBv)( 长为长为L的导体棒在磁场

3、中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，的导体棒在磁场中作切割磁感应线运动而产生的动生电动势，ll dBvd)(Ll dBv)(FLBvqFEKK非静电力的场强为：非静电力的场强为：导体上导体上l 一段的电动势为：一段的电动势为：或或等于其上各等于其上各 上的电动势的代数和，即上的电动势的代数和，即BvqFK专题十四专题十四动生电动势动生电动势非静电力：非静电力：或或解解例：例：iiiiiiiirrkrrkrrBv2niiiniirrk12132233)()(33)(rrrrrrrr)(31332rrrrr331331323031311331)()()(31)(31akrrrrrrkrrknn

4、inii RakRI33(1)(2)(3)(4)iiiAirkIrrBIfiiiAiirkIrrfM23131312131)(31kIarrkIrrkIMMniiiniiiniiRakM962mgaM21MMfamgRakf2195(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)例例( (2727决决) ) 如图如图(a)(a)所示所示, ,十二根均匀的导线杆联成一边长为十二根均匀的导线杆联成一边长为l l的刚性正方的刚性正方体体, ,每根导线杆的电阻均为每根导线杆的电阻均为R R, ,该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcdabcd 面垂直的转动轴作匀速

5、转动，角速度为面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为。己知磁感应强度大小。己知磁感应强度大小为为B B, ,方向与转动轴垂直方向与转动轴垂直, ,忽略电路的自感。当正方体转动到如图忽略电路的自感。当正方体转动到如图(b)(b)所示所示的位置的位置( (对角线对角线dbdb与磁场方向夹角为与磁场方向夹角为) )时，求时，求1 1、通过导线、通过导线 baba、adad、bcbc和和cdcd 的电流强度。的电流强度。2 2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。解：解：1 1、设、设t t 时刻线圈如图时刻线圈如图(b)(b)所示，则所示，则sin22)(21Bll

6、Bvccaacos2222Blddbb(1)(1)(2)(2)根据电路的对称性可知根据电路的对称性可知1IIIIIcdcdbaba2IIIIIbcbcadad(3)(3)根据根据基尔霍夫第一定律，有基尔霍夫第一定律，有21IIIIccaa21IIIIddbb(4)(4)(5)(5)根据根据基尔霍夫第二定律，有基尔霍夫第二定律，有1211RIRIRIRIbbaa1222RIRIRIRIaadd(7)(7)(6)(6)根据根据(1)(7)(1)(7)解得解得)sin(cos8221RBlIIIcdba)sin(cos8222RBlIIIbcad(9)(9)(8)(8)2 2、当正方体转动到任意位置

7、当正方体转动到任意位置( (对角线对角线dbdb与磁场夹角为任意与磁场夹角为任意) )时，时，通过通过aaaa、cccc、bbbb、dddd的电流的电流sin422RBlIIIbaadaasin422RBlIIIcdbccccos422RBlIIIbcbabbcos422RBlIIIcdaddd(13)(13)(12)(12)(11)(11)(10)(10)为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即aaccaaBlIFFbbddbbBlIIFcos222sin222lFlFMbbaaRlBM242专题十五感生

8、电动势和感生电场专题十五感生电动势和感生电场( (涡旋电场涡旋电场) )(BvEqFSttBlEK感生电动势的非静电力？感生电动势的非静电力？StB感生电动势计算公式：感生电动势计算公式： 磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或磁场随量间变化时能在周围空间激发电场。称这种电场为感生电场或涡旋电场，用涡旋电场，用 表示。表示。KESdtBS或或1 1、感生电动势、感生电动势kr2krR22(rR)(rR)KEkSkS(rR)( rR)SdtBl dESLKrStBlESLK或或 长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场长圆柱形均匀磁场区的涡旋电场显然有显然有 解解P 点在磁场区域内，点

9、在磁场区域内，xkRkxRkSAP22sin21OAP1P 点在磁场区域外点在磁场区域外,:2Rx :2Rx )2(sin212cos2)sin21(22OCDOAC2kRRRRkSSkAP）扇形)1 (2122kRAP)sin(sin2RRx)sin(cos21)2()sin()2(sin4RxRxRcos2)2(sin2)2(RxRxRxRx)2(tanxRx)2(arctan)2arctan1 (2122xRxkRAP20rr/)(0t0解解 注意到注意到 21)(iiiiiirrrrrr例例iiiiiiirrrrrSq0204222iiiiiirrrrrS2)(22t0iiiirrqI

10、022202iiiiirrkrIkBiiiiiiiirrrrrrrr11111221120)(2aaaakB2021120)(2aaaaakBS20r20211202021120)(2)(2aaaaaktaaaaaktE)()(402221212303020taRaaaakBIaF02aBIxBIxBIfy2021120)(2aaRaaakREI322rIakBmCLCRElE2（1）)11(4)(4)(221222122132iimiiimiiiimiiirrIakrrrIakrrrrIakSBRIkarrIakmRiiimSi221224)11(4（2）（3）切断电流，磁场消失，磁鑀改变量

11、：切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：由（由（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）得）得ttRIkaEmC222涡旋电场沿顺时针方向涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场，涡旋电场对对4个电荷作用力的合力为零，合力个电荷作用力的合力为零，合力矩矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。不为零，小球带动圆盘转动。tRqIakRqELmC284（4）（5）4 4个小球的冲量矩为个小球的冲量矩为RqIaktLm28（6）设小球的转动角速度为设小球的转动角速度为，则由角动量定理得，则由角动量定理得RqIakmRmvRm2284)(4（7）322mRqIakm（8）金属小球转动时受金属小球转动时受 B B0 0 的

12、磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为ImRBqakRBqfmB202202（9）任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小为任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小为22224)221 ()224(RqkRqRqqkfeee（10）设圆盘设圆盘稳定转动后稳定转动后，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为 f ,f ,则则RmfffeB2ImRqakRqkImRqakfmem2222225242224)221 (2（11）专题十六自感应互感应专题十六自感应互感应（1）、自感系数

13、）、自感系数:LIIL（2）、自感电动势）、自感电动势:tILtLIt)(VnL20例例:质量为质量为m 的导体棒横跨在宽度为的导体棒横跨在宽度为l l 的倾斜的倾斜光滑平行金属导轨上光滑平行金属导轨上( (如图如图),),若开关若开关依次接通依次接通1 1、2 2、3 3，不计，不计导体导体棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒棒和导轨的电阻，当从静止释放导体棒后，求在三种情况下稳定运动的状态。后，求在三种情况下稳定运动的状态。解解: （1）接通）接通R ，导体棒受力为，导体棒受力为lBRvBlmgFsin1、自感、自感应应:稳定运动条件：稳定运动条件：sin22lBmgRvv稳定lBtvBlC

14、mgFsin棒匀速运动速度：棒匀速运动速度：（2）接通）接通C ，流过电容器的电流为，流过电容器的电流为0sinlBRvBlmgFtvBlCtCi导体棒受力为：导体棒受力为：棒的运动方程为：棒的运动方程为：maCalBmgF22sin导体棒作匀加速运动的加速度为：导体棒作匀加速运动的加速度为：ClBmmga22sin（3）接通）接通L ，电感电压、电流关系为：，电感电压、电流关系为：tiLvBlxLBltvLBlixLBli （初值为零）（初值为零）将坐标原点移至将坐标原点移至A点，导体棒下滑至距点，导体棒下滑至距A点点 x 处时受力为处时受力为xLlBmgF22sin)sin(22maxLl

15、BmgF棒的运动方程为：棒的运动方程为：22sinlBmgLAx受力为零时受力为零时2222)(sinxLlBxALlBmgF导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为导体棒作简谐振动，频率、振幅和运动方程分别为mLBl22sinlBmgLA 1)2cos(tTAx)sin(22maxLlBmgFmLlB22222sinlBmgLxpsin2222gxmLlBdtxd)cos(tAxh0, 0,0vxt时故故22sin)cos(lBmgLtAx22sincoslBmgLA22sin)cos(lBmgLtAx)sin(tAv0sinA22sinlBmgLABlmLT22 1)2cos(tTAx

16、证明以上结果证明以上结果令令例例 图图 OxyOxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x x0 0的一侧，存的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于在匀强磁场，磁场方向垂直于OxyOxy平面向里，磁感应强度的大小为平面向里，磁感应强度的大小为B B在在x x0 0的一侧，一边长分别为的一侧，一边长分别为l l1 1、和、和l l2 2的刚性矩形超导线框位于桌的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与面上，框内无电流，框的一对边与x x轴平行线框的质量为轴平行线框的质量为m m，自感为，自感为L L现让超导线框沿现让超导线框沿x x轴方向以初速度轴方

17、向以初速度v v0 0进人磁场区域试定量地讨论进人磁场区域试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度线框以后可能发生的运动情况及与初速度v v0 0大小的关系（假定线框在大小的关系（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）运动过程中始终保持超导状态）tiLEL框的初速度框的初速度v0较小，简谐振动，有较小，简谐振动，有 振动的振幅振动的振幅 ：例例运动方程为：运动方程为： 半个周期后，线框退出磁场区，将以速度半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动。因为在这向左匀速运动。因为在这种情况下种情况下xm的最大值是的最大值是l1，故有，故有发生第种情况要求：发生第种情况要求： 当当时

18、运动方程不变，线框刚全部进入磁场的时刻为时运动方程不变，线框刚全部进入磁场的时刻为t1线框全部进入磁场区域后匀速前进，由线框全部进入磁场区域后匀速前进，由 求得运动速度：求得运动速度：LIzBrLIBrZ)21 (02020（1 1）002000, 0, 00LIBrIIrzt时，（3 3）（4 4）（2 2）由于超导圆环磁通保持不变，故有，即由于超导圆环磁通保持不变，故有，即0020020)21 (LIBrLIzBr0由（由（3 3）式解得）式解得00202)(IzBrLzI（6 6）（7 7）（5 5）0000200002)2(2)()(FkzrIzBrLrBrzIzBFrA0200040

19、202224IrBFrBLk 式中式中作用在圆环上的合力为作用在圆环上的合力为)()()()(0FmgkzzFzFzFgA设圆环平衡位置在设圆环平衡位置在 z z0 0 处，则处，则0)()(000FmgkzzF4020220200004)2(rBLIrBmgkFmgz（1010）（9 9）（8 8）mLrBmk2002圆环圆环 t t 时刻的坐标为时刻的坐标为)cos()(00tAztz0)0(0)0( tvtzz由是给初始条件得由是给初始条件得0sin.0cos000AAz（1111）（1212）0.00zA 1)2cos(4)2() 1(coscos)(2004020220200000t

20、mLrBrBLIrBmgtztzztz（1414）（1313）2 2、将（、将（1313）式代入（）式代入（4 4）式得）式得2002000200020002000200200020000202)2cos()2( 1)2)cos(2( 1)2cos(2)2()(2)(rBmgtmLrBIrBmgItmLrBIrBmgItmLrBrBLIrBmgItzBrLtI例例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置一圆柱形小永久磁棒竖直放置( (如图如图) ) ，在其正上方离棒中心，在其正上方离棒中心1 1 m m处处的的磁感应强度为磁感应强度为B B。, ,一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，一超导圆形

21、小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，设线圈的半径为设线圈的半径为a，质量为，质量为m，自感为，自感为L，线圈只能上下运动，线圈只能上下运动求平衡时线圈离棒中心的高度求平衡时线圈离棒中心的高度Z0已知已知aZ0; (2) 求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用Z0表示）表示）.30304224ZmrmB4200mB30ZBB NS30ZBBZ0IRdtd0常量解解：(1) 小磁棒看成一小线圈磁矩，则小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的磁场可表示为处的磁场可表示为 当线圈平衡在当线圈平衡在 Z0处时，设线圈中的电流为处时，设线圈中的电流为I0，则有，则有 (1)(2)0ZB02300LIa30200LZaBI(3)(4)ZaBaZZBaZBrZZ2)()(22ZBaBZZZZBZZBr23)(06230304023ZaBBr(5)用磁场的高斯定理求用磁场的高斯定理求Br:0 SdBmgazBIr2)