条件概率与独立性PPT学习教案

1、会计学1条件概率与独立性条件概率与独立性第1页/共95页 事件A的概率：已知事件B发生的条件下，事件A的概率：vvAAPA样本点数样本点数)()()(BPABPvvvvBABBABvBvABBAP样本点数样本点数)|(第2页/共95页P(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA样本点数样本点数)(BABvBvABBAP样本点数样本点数)|(方法1： 用原样本空间计算条件概率方法2：用新样本空间B计算条件概率第3页/共95页说明： 条件概率也是概率 条件概率满足概率性质：利用条件概率的定义，推出P(AB)与P(A) 的大小关系。ABP(A B)P(A)P(AB)P(A)ABAP(A B)P(A)P

2、(B)P(B)BAP(A B)P(A)P(AB)P(B)ABBP(A B)1P(A)P(B)P(B) AB0P(A B)P(A)P(AB)P()P(A)P(A B)0P(B)P(B) 若第4页/共95页条件概率的性质条件概率的性质1、非负性、非负性 对任一事件B，必有P(B|A) 02、规范性、规范性 3、可加性、可加性1)()(1)(AAPAPABPBA特别地，则若1121)()(,kkkknABPABPBBB则件，为一列两两互不相容事，若常用P(B A)1P(B A)第5页/共95页一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大（假定一个小孩是男还是女是等

3、可能的）？解解 样本空间=(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) A=已知有一个是女孩=(男,女)，(女,男)，(女,女) B=另一个也是女孩=(女，女)则314/34/1)()()(APABPABP第6页/共95页P(AB)P(B)0.4P(B|A)0.5P(A)P(A)0.8第7页/共95页11691210261221012211C C6 93P(A )P10 95P6 51P(A A )P10 93P(A A )5P(A |A )P(A )9第8页/共95页215P(A |A )9第9页/共95页第10页/共95页121312n12n 11231212n 1n111212n 11

4、2n 1n P(A )P(A |A )P(A |A A )P(A |A AA)P(A A A )P(A A )P(A AAA )P(A )P(A )P(A A )P(A AA)P(A AAA )第11页/共95页一批产品的次品率为，正品中一等品率为75，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解解72. 075. 096. 0)()()()(75. 0)(,96. 0)(,04. 0)(BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故则取到正品取到次品，取到一等品第12页/共95页1213121334333318第13页/共95页1122P(B )0.92 P(B )0.93

5、 P(B |B )0.85第14页/共95页11221221221122P(B B )P(B (B )P(BB B )P(B)P(B B )P(B )P(B )P(B |B )0.930.08 0.850.862 第15页/共95页对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是；通过第一项而通不过第二项试验的概率是；通过了前两项试验却不能通过最后一项试验的概率是。求该产品未能通过破坏性试验的概率。解：解：设A为题设所求事件，Ai=产品未能通过第i项破坏性试验 i=1,2,3 显然A=A1A2A3123121312P(A) 1 P(A) 1 P(AA A )1 P(A )

6、P(A A )P(A AA )1 0.7 0.8 0.90.496 故 121312121312P(A )0.3P(A A )0.2P(A A A )0.1P(A )0.7P(A A )0.8P(A A A )0.9第16页/共95页例例9 一批零件共100个，次品率为1。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解解9890)(999)(10010)()(. 3 , 2 , 1213121321AAAPAAPAPAAAPiiAi显然则所求概率为，次取出的零件是次品第设123121312P A A AP AP A AP A A A109900.008410099

7、98第17页/共95页 一个人依次进行四次考试，他第一次考试及格的概率为p(0p0，A与B独立 P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B|A) 由A、B独立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(A)0，P(B|A)=P(B) (2) (2) P(B)0， A与B独立 P(A|B)=P(A) P(AB)=P(B)P(A|B) 由A、B独立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(B)0，P(A|B)=P(A)第46页/共95页A, B; A, B; A, B; A, B P ABP AABP AP ABP AP A P BP A 1 P BP A P B又A 、B第47页/共95页 BP

8、APBAPBA相互独立，、 P ABP BABP BP ABP BP AABP BP AP ABP BP AP A P BP BP A1P BP BP A P BP B 1P AP B P A又 相互独立。、所以BA BPAPBAPBA相互独立，、 P ABP AABP AP ABP AP A P BP A 1 P BP A P B又相互独立。、所以BA第48页/共95页 BPAPBAPBA相互独立，、 P ABP AABP AP ABP AP BAB又 APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP11所以，A、B事件相互独立。第49页/共95页ABABABBB或第5

9、0页/共95页 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，求敌机被击中的概率。 记。敌机被击中，乙击中敌机，甲击中敌机 P CP ABP AP BP ABP AP BP A P B0.60.50.60.50.8第51页/共95页2nC3nCnnC第52页/共95页设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为，现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于的概率击中来犯的敌机（可以认为各门高射炮的射击相互独立）？ 设需要设置的高射炮数为n 令Ai=第i门炮击中敌机 (i=1,2,n) A=敌机被击中 则有 A=A1A2An 求n使得 P(

10、A)=P(A1A2An第53页/共95页12n12n12nn即得P(A)1P(A1P AAA1P A AA1P(A P(A )P(A )10.40.99 ) = lg 0.012n5.026lg 0.40.3979故至少需要设置6门高射炮。第54页/共95页第55页/共95页第56页/共95页)2( )1)(1 (1 )(1)(1 1)()(1 ) (1)(1)(1nnnnrrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR第57页/共95页iiiiiii2iiP(C )P(AB )1 P(AB )1 P(A B ) 1 P(A )P(B )1 (1 r)r(2r) 212n12nnnRP(C CC

11、)P(C )P(C )P(C ) r (2r)f (r)f (r)0第58页/共95页第59页/共95页第60页/共95页D = 至多只有 1 台机需要照管 P(D ) = P(AB C) + P(A BC) + P(ABC) + P(A B C) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.876P(D) = 1 - P(D) = 1 - 0.876 = 0.124第61页/共95页第62页/共95页 n n重伯努利重伯努利( ( Bernoulli )Bernoulli )试验试验 如果每次试验的可能结

12、果只有两种，即只有两个可能事件A与，且 P(A)=p，P()=1-p=q则这n重独立试验又称为n重伯努利( Bernoulli )试验，或称伯努利概型。 第63页/共95页试验试验11电脑故障电脑故障 某电脑公司售出200台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=p，n=200的伯努利试验问题。其中p是电脑故障率。试验试验22疾病发生疾病发生 某疾病的发生率为。当卫生部门要对一个拥有5000名员工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用p= 的n重伯努利试验模型，其中n=5000。第64页/共95页试验试验3产品抽样产品抽样 在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n次(每次取一件产品

13、)，那么这n次试验就不是重复独立试验(此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等)。 但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是重复独立试验。第65页/共95页 在实际问题中，完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似满足条件，此时，可用 n重独立试验来近似处理。例如，以抽样问题为例，当产品数量很大时，相对来说，抽取的产品件数n很小，即使所作的是无放回抽取，我们可以近似地当作有放回抽取，近似地把它看成是n重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。第66页/共95页2235C 0.8 (10.8)第67页/共95页第68页/共95页kkn

14、-knnP (k) = C p q (q1 pP(A),k = 0,1,2,n) 式中knC 也作b(k,n,p)可表。第69页/共95页再由试验结果的独立性得 P(A1A2Akk+1n) =P(A1)P(A2)P(Ak)P(k+1)P(n) =pk(1 - p)n-k =pkqn-k n重贝努利试验中出现k 次的方式就是至n的n个自然数中取出 k个数的一种组合，即共有 个事件。而这些事件是两两互斥的，故 （k=0,1,2,n) kknknnP (k)C p qknC第70页/共95页注：注：1)1)由于上式刚好是二项式(p+q)n的展开式中第k+1项 的系数，故我们把它称为二项概率公式。 显

15、然： 2) 也被记作b(k,n,p) nnnkkn knnk 0k 0PkC p qpq1kkn knC p q第71页/共95页 例例2626 某车间有台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为1/3，求任意时刻车间里有台车床处于停车状态的概率。解解 把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验，试验结果只有停车或开车两种可能，且各车床的停车或开车是相互独立的，故我们可用二项概率公式计算，得 212-22121211P2= C1 -0.127233 第72页/共95页97. 0)8 . 01 (8 . 0)(k10(1

16、06101010610106kkkkkkCkPP个人被治愈”）人中恰好有“第73页/共95页 这个结果说明：这个结果说明： 服用此药，人中至少有人被治愈的可能性是很大的。 反之，没有人以上被治愈的事很少会发生（概率为 ）。 如果我们做一次这样的试验，结果没有人以上被治愈，我们应当对此药的“治愈率为 ”的说法表示怀疑。 小概率事件不可能在一次试验中发生的原理是假设检验的理论根据。第74页/共95页第75页/共95页444488P(B )= P(4)= C p (1-p)第76页/共95页作业：作业：P33363、6、12、15、20、22第77页/共95页P(B|A)0.98 P(B|A)0.9

17、9 P(A)0.03第78页/共95页P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99第79页/共95页第80页/共95页第81页/共95页P(A|C)0.04 P(A|C)0.06112233P(C)P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )120112117 0.77423253 16322第82页/

18、共95页P(AC)P(C)P(A|C)P(C|A)P(A)P(A)0.7742 (1 0.04) 0.98210.7568P(A)P(C)P(A|C)P(C)P(A|C) 0.7742 (1 0.04)0.2258 0.060.7568第83页/共95页作业讲解作业讲解4. 解解相互独立。与CBABAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPBCACCBA)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(第84页/共95页5. 解解3 . 04 . 02001506 . 0100)()(4 . 0)(6 . 0)()()()(

19、1)(1)()(3 , 2 , 12131211213121321321yxyxyAAAPxAAPAPAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAPiiAAi则设次击中目标射手第射手击中目标832. 07 . 06 . 04 . 01)(7 . 0)(6 . 0)(3 . 0)(4 . 0)(2131221312APAAAPAAPAAAPAAP第85页/共95页6. 解解A=点数之和为偶数 B=点数之和等于818536/1836/5)()()()()()4 , 4()3 , 5()5 , 3( , )2 , 6( , )6 , 2(18APBPAPABPABPBrA，第86页/共95页7. 解解

20、设Ai=第i人破译出密码 i=1,2,3123123123123111P(A ),P(A ),P(A )534P(AAA )1 P(A A A )1 P(A )P(A )P(A )42315340.6 第87页/共95页8. 解解10110/110/110/13443, 4)()()() 1 (221121PPPPAPABPABP)4 , 3(),3 , 4(),2 , 5(),5 , 2(),1 , 6(),6 , 1(761100/6100/17100/1)()()()2(2121其中PBPABPBAP第88页/共95页13. 解解A=产品为正品B=产品经检验为正品0545. 005. 09 . 095. 001. 0)()()()()() 1 (99. 0)(9 . 0)(95. 0)(APABPAPABPBPABPABPAP1743. 00545. 095. 001. 0)()()()()()()2(BPAPABPBPBAPBAP第89页/共95页15 . 解解 A=被诊断患有肺癌 B=确实患有肺癌P(A)P(A B)P(B)P(A B)P(B)0.98 0.030.01 0.970.0391P(A B)P(B)P(AB)P(B A)P(A)P(A)0.98 0.030.75190.0391P(A B)P(B)P(AB)P(B A)P(A)P(A)0.02