2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. （5 分）已知集合A=1,0,1, 6,B= x|x>0,xC R,贝 UAn B=.2. （5分）已知复数（a+2i ） （1+i ）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是3. （5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是.4. （5分）函数y=的定义域是 .5. （5分）已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是 .6. （5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同

2、学中至少有1名女同学的概率是 .27. （5分）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x2-义一=1 （b>0）经过点（3, 4）,则该 b2双曲线的渐近线方程是.8. （5分）已知数列an （nCN*）是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5+a8= 0, 4=27,则S8的值是.9. （5分）如图，长方体 ABCD ABGD的体积是120, E为CC的中点，则三棱锥 E- BCD 的体积是.10. (5分)在平面直角坐标系 xOy中，P是曲线y=x+ (x>0)上的一个动点，则点 P到直线x+y= 0的距离的最小值是 .11. (5分)在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=l

3、nx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e, - 1) (e为自然对数的底数)，则点A的坐标是BE= 2EA A% CE交于点 Q若12. (5分)如图，在ABCf, D是BC的中点，E在边AB上,ab? ac= 痴?应，则 空的值是AC13.，则 sin (2a +-的值是14. (5分)设f (x), g (x)是定义在R上的两个周期函数,f (x)的周期为4, g (x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当xC (0, 2时，f (x)g (x)=其中k>0.若在区间(09上，关于x的方程f (x)=g (x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是、解答题：本大题共 6小题，共计

4、90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (14分)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c.(1)若 a=3c, b=6，cosB=,求 c 的值；(2)若显凶=组，求sin (B+L)的值.a 2b216. (14分)如图，在直三棱柱 ABC- A1B1G中，D, E分别为BC AC的中点，AB= BC求证：(1) AB1/平面 DEC;(2) BEELGE.c2217. (14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 3一+i= 1 (a>b>0)的焦点为2 ,2a b22Fl (-1, 0), F2 (1, 0)

5、.过F2作x轴的垂线l ,在x轴的上万，1与圆F2：(X-1) +y=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BB交椭圆C于点E,连结 DF.已知 DF=.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.18. (16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路1,湖上有桥AB (A讹圆O的直径).规划在公路1上选两个点P, Q并修建两段直线型道路 PB, QA规划要求：线段 PB, QA上的所有点到点 O的距离均不少工 圆O的半径.已知点 A,B到直线1的距离分别为 AC和BD(C, D为垂足)，测得AB= 10, AC= 6, BD= 12

6、(单位： 百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路 PB和QA的长度均为d (单位：百米)，求当d最小时，P、Q两点间的距离.19. (16 分)设函数 f (x) = (x-a) (x-b) (x-c)a,b,ce R, f'(x)为 f (x)的导函数.(1)若 a= b= c, f (4) = 8,求 a 的值；(2)若awb, b=c,且f (x)和f ' (x)的零点均在集合 - 3, 1, 3中，求f (x)的极小值；(3)若a=0, 0<b<1,

7、c=1,且f (x)的极大值为M求证：M.2720. (16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ Mb数列”.(1)已知等比数列an (nCN)满足：a2a4=a5, a3 - 4a2+4a1= 0,求证：数歹U an为"M-数列”；一一，一.*(2)已知数列bn (nCN)满足：b1=1,其中Sn为数列bn的前nSn bn项和.求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“ M-数列” cn (nC N),对任意正整数k,当kwm时，都有 ck< bkW ck+1成立，求 m的最大值.【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做

8、，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2 :矩阵与变换(本小题满分10分)一 3 r21. (10分)已知矩阵 A=._2 2_(1)求 A2;(2)求矩阵A的特征值.B.选彳4-4 :坐标系与参数方程(本小题满分10分)22. (10分)在极坐标系中，已知两点A (3,千)，B(6,三),直线1的方程为p sin(0 + 一)= 3.(1)求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离.C.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分0分)23. 设 xC R,解不等式 | x|+|2 x- 1| >2.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共

9、计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24. (10 分)设(1+x) n= a0+aix+a2x2+anxn, n>4, nC N*.已知 a32 = 2a2a4.(1)求n的值；(2)设(1+JW n=a+bx/3,其中 a, bCN*,求 a2-3b2的值.25. (10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集人=(0,0),(1,0),(2,0),，(n,0) , B= (0, 1),(n, 1) , ?n = (0, 2), (1, 2), (2, 2),(n, 2) , n N*.令 M=AUB U?n.从集合 M中任取两个不同的点，用随

10、机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数 n (n>3),求概率P (X< n)(用n表示).一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上.1 【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：丁 A= -1, 0, 1, 6, B= x|x>0, xCR,.An B= - 1, 0, 1, 6 nx|x>0, xe R=1 , 6.故答案为： 1 ， 6【点评】本题考查交集及其运算，是基础题2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 求的 a 值【解答】解： ( a

11、+2i) (1+i) = (a2) + (a+2) i 的实部为 0,a - 2= 0,即 a= 2.故答案为： 2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x= 1, S= 0S= 0.5不满足条件x>4,执行循环体，x = 2, S= 1.5不满足条件x>4,执行循环体，x = 3, S= 3不满足条件x>4,执行循环体，x = 4, S= 5此时，满足条件x>4,退

12、出循环，输出 S的值为5.故答案为： 5【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案【解答】解：由7+6xx2R0,彳导x2-6x- 7<0,解得：-1WxW7.，函数y= Jt46x_.2的定义域是1，7 -故答案为：-1, 7.【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题.5【分析】先求出一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10的平均数，由此能求出该组数据的方差.【解答】解：一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10的平均数为：工=L

13、 (6+7+8+8+9+10) = 8,6该组数据的方差为：§=L (68) 2+ (78) 2+ (88) 2+ (8 8) 2+ (98) 2+ (108) 2造.故答案为:【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6【分析】基本事件总数 n=c. = 10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事 件个数mc；C；+C=7,由此能求出选出的 2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n=c>10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数

14、：mC 洌| 博二7,n 10故答案为:7To，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 p=.【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，考查数形结合思想，是基础题.7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解：二.双曲线 X2-4=1 (b>0)经过点(3, 4),b2底二 I,解得 b2= 2,即 b=V2.b2又a=1, .该双曲线的渐近线方程是y= ±四诽故答案为：y=【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.8【分析】设等差数列an的首项为d,公差为d,由已知列关

15、于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得&的值.【解答】解：设等差数列an的首项为公差为d,'（勺+d） （a +娟）+丁 _则 gxg,解得 1.廿"=6X（5）+15X2=16.故答案为：16.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前 n项和，是基础题.9【分析】推导出 y, =ABX BO DD=120,三棱锥 E-BCD的体积： V bc产AiiLL1- D 1U1 L11X S瓦口 XE xgxBCXDC XCE = /iyX ABX BO DD,由此能求出结果.【解答】解：.长方体 ABC» A1B1CD的体积

16、是120, E为CC的中点，V收Df %RAB< BCX DD=120，三棱锥E- BCD勺体积：忧一BC- -匕一 工二.=二 .亍：.印一”【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础 知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.10【分析】利用导数求平行于 x+y=0的直线与曲线y= x+1 (x>0)的切点，再由点到直线的距离公式求点 P到直线x+y = 0的距离的最小值.【解答】解：由y = x/L (x>0),得y' = 1 白,设斜率为-1的直线与曲线y=x+9 (x>0)切于(x(o, x X°

17、K。由 1一解得(x0>。).孙，曲线y= x+1 (x>0)上，点P (也，为力)至U直线x+y=0的距离最小，K最小值为'"父”二小V2故答案为：4.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题.11【分析】设 A (选，lnx0),利用导数求得曲线在 A处的切线方程，代入已知点的坐标求解xo即可.【解答】解：设 A (xo, lnx 0),由y = lnx ,得y'=,=一,则该曲线在点 A处的切线方程为口及口y - 1nx 0= (x-K n),1ro切线经过点(-e, T)-l-lnx(j = -1

18、ff0.A点坐标为(e, 1).故答案为：(e, 1).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题.12【分析】首先算出a(5=-a5,然后用而、 AC表示出AO、 EC,£ I,正=,前5进一步可得结果.1*- I X. 1【解答】解：设AO= x AD= (AB + AC),结合标?菠=延亚得A0= AE+ECi= AE+ EC=AE+(AC-AE)=（）宜办菽=上匹法+ 而3广卜_卜3T=k J=-15=-（而+正），?+菽而资2筋=元-AE= - -|AB+AC,而菽/+/唇簿【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及

19、计算，考查计算能力.13.【分析】由已知求得tan a ,分类利用万能公式求得sin2 a , cos2 a的值，展开两角和的正弦求sin （2a +-7TT）的值.【解答】解：由t&nQ tT tan(tsnU得5Tt an 口 +1 air- n1 -t an G t arr.tanU (1-tanGl)1+tanCl9二y,解得tanJ当tana = 2 时,sin2 a2tw 口Iftan2 口a = 2 或 tan4一,cos2 5sin(2 a +7T7当 tan a一时，sin232-tanaIfta n2 CI,COs2 a91-tan CL _4 l+tan2Ct&#

20、39;sin(2a+=si或QC口苧3s2。5共=鲁亭亭当率.综上，sin (2a+L)的值是亚. 410故答案为：返.10【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式 的应用，是基础题.14【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案.【解答】解：作出函数 f (x)与g (x)的图象如图，由图可知，函数 f (x)与 g(x) = - ="(1vxW2, 3vxW4, 5<x< 6, 7vxW8)仅有2个实数根；要使关于x的方程f (x) =g (x)有8个不同的实数根，则 f 以)=71-(i-L) xC (0, 2与

21、g (x) = k (x+2), xC (0, 1的图象有 2 个不同交点,由(1, 0)到直线kx-y+2k=0的距离为1,得驰=1 解得k=坐(k>0), k/k+1&两点(-2, 0), (1, 1)连线的斜率k=J-,七k平即k的取值范围为二，返).34故答案为：二，学).【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15【分析】（1）由余弦定理得:cosB=,由此能求出c的值.（2）由01n=。口思，利用正弦定理得 2s

22、in B cosB,再由sin 2B+cos2B 1,能求出sin Ba 2b二昱,cosB电晶,由此利用诱导公式能求出sin （B+-）的值.552【解答】解：（1）二.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.a=3c, b=6,cos B=由余弦定理得:cos B=a-10c2-22ac3'解得c=.sinA cosB2b，由正弦定理得:sinA sinB cosB2b2sin B= cos B,sin 2B+cos2B= 1,.sinBW, cos B= ",55 .sin （a）=cos B.25【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦

23、定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.【分析】（1）推导出DEE/ AR AB/ A1B1,从而DE/ A1B1,由此能证明 AB/平面DEC.（2）推导出BEX AA, BEX AC从而BE1平面ACg,由此能证明 BE! GE.【解答】证明：（1）二.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，D, E分别为BC AC的中点，DE/ AB AB/ AB, . DE/ AB,.D日平面DEC, AB?平面DEC,解：(2)二.在直三棱柱 ABO ABC中，E是AC的中点，AB= BC. BE!AA, BE!AC又 AAAAC= A, BE

24、!平面 ACCV. CiE?平面 ACCAi,BE! CiE.【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.17【分析】(1)由题意得到FiD/ BE,然后求AD再由AD= DF=求得a,则椭圆方程可2求；3_(2)求出D的坐标，得到=knm =,写出BE的方程，与椭圆方程联立即可 SF2 DF 24求得点E的坐标.【解答】解：(1)如图，: F2A= F2B,F2AB= / F2BA,. F£= 2a= F2D+DA= F2D+F1D, AD= FQ,则/ DAF= / DFA,.Z DFA

25、= / F2BA 则 FiD/ BE,2. 2. c=i,b2=a2- i,则椭圆方程为+二一二1，a2 3-12-12_i2 .取 x=i,得 丫二三- 则 AD= 2a-=-v aa a又 DF =与，二冬，解得 a=2 (a>0).2 a 222，椭圆c的标准方程为 q-pg丁二1；网(2)由(i)知，D (i,Fi ( i, 0),3_."吗二L 春贝U B& y=/-i), 3一、，.12联立 | 22 ，得 21x 18x39=0.j JU 3 1解得Xi= - 1或y =Li (舍). . 即点E的坐标为(-1, -DF / BF2【点评】本题考查直线与圆

26、，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明 是解答该题的关键，是中档题.18.【分析】(1)设BD与圆O交于M连接AM以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则 A (0, 6), B ( 8, 12), D ( 8, 0)设点P(X1, 0), PBL AB,运用两直线垂直的条彳斜率之积为-1,求得P的坐标，可得所求值;(2)当QALAB时，QA上的所有点到原点 O的距离不小于圆的半径，设此时Q (X2, 0),运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求得Q的坐标，即可得到结论；(3)设P (a, 0), Q (b, 0),则aw - 17, b>- ,结合条件，可得 b的最小值，由

27、 ri-a两点的距离公式，计算可得PQ【解答】解：设 BD与圆O交于M连接AMAB为圆O的直径，可得 AML BM即有 DM= AC= 6, B阵 6, A阵 8,以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则 A (0, -6),B(- 8, - 12),D(- 8,0)(1)设点 P (x1，0), PB±AB则 kBp?kAB= - 1gp0-(-12) ?-&-(-12) = " i.町-(-8) 0-一8)解得 xi=- 17,所以 P(- 17, 0), PB=V(TT+g)2+(0+2)2 = 15;(2)当QALAB时，QA上的所有点到原点 O的距离不

28、小于圆的半径，设此时Q(X2, 0),则 kQ"kAB= - 1,即 0一(-6) ?-6-1-lp = 1,解得 X2=一里，Q(一2，0),k2-00-(-8)22由-17v- 8<-，在此范围内，不能满足PB, QA上所有点到 O的距离不小于圆的半2径，所以P, Q中不能有点选在 D点；(3)设 P (a, 0), Q (b, 0),则 a< 17, b>- , pB"= ( a+8) 2+144 >225,2QA= b2+36>225,贝U b>3/21，当 d 最小时，PQ= 17+3721 .【点评】本题考查直线和圆的位置关系

29、，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档 题.19【分析】(1)由a= b = c,可得 f(x)= ( x - a)3,根据 f (4) = 8,可得(4- a)3=8,解得a.(2) ab,b= c,设 f (x) = ( x a) (x b)2.令 f(x) =( x a) (x b)2= 0,解得 x= a,或 x = b. f' ( x) = ( x - b) (3x -b - 2a).令 f '( x) =0,解得x= b,或x=乙3tb .根据f (x)和f' ( x)的零点均

30、在集合 A=-3, 1, 3中，通过分类讨J论可得：只有 a= 3, b = - 3,可得= J = 1CA,可彳导:f (x) = (x-3) (x+3) 332.利用导数研究其单调性可得x=1时，函数f (x)取得极小值.(3) a= 0, 0 V b< 1, c= 1, f (x) = x (x - b) (xT). f (x) = 3x2 - ( 2b+2) x+b. >0.令 f' (x) =3x2- (2b+2) x+b=0.解得：x = ，产+1 3. x1<x2,可得x = x1时，f (x)取得极大值为 M通过计算化简即可证明结论.【解答】解：(1)

31、 a = b= c,f (x) = ( x- a) 3,f (4) =8,( 4-a) 3=8,，4-a=2,解得 a= 2.(2) awb, b=c,设 f (x) = ( x - a) (x - b) 2.令 f (x) = ( x - a) (x - b) 2= 0,解得 x = a,或 x= b.2a+bf' ( x) = (x-b) 2+2 (x-a) (x-b) = (x-b) (3x-b-2a).令 f ' (x) =0,解得 x= b,或 x =.f (x)和f' (x)的零点均在集合 A=-3, 1, 3中,a= 12a+b3 |2-3-|-?A,舍去

32、.-L?A,舍去.3a=一3, b=3,则2a+b 6-1-3a= 3b=1,则2a+b36£_3 -=-1 ?A,舍去.?A,舍去.a= 1b=3,则2a+b 5?A舍去.a= 32"b"I-6-3因此 a= 3, b= 3,可得：f (x) = (x-3) (x+3) 2.f (x) =3x- ( - 3) (x-1).可得x=1时，函数f (x)取得极小值，f ( 1) = - 2 X 42= - 32.(3)证明：a=0, 0vbw 1c= 1,f (x) = x (x b) (x 1).f (x) = (x b) (x 1)2+x (x1) +x (xb

33、) = 3x ( 2b+2) x+b.解得:Xl+X2 =可得f'(b+i) 2- i2b= 4b2- 4b+4= 4 也_ 2.2(x) = 3x - ( 2b+2) X+b= 0.X_ - LXi 2b+2XlX2 =X2 =+3 >3.Xi<X2,X = X1 时,(Xi)f （X）取得极大值为M(2b+2) Xi+b=0,可得:2= (2b+2) Xi - b,3M= f=(X1 一 b)(X； - Xi) = ( Xi - b)(2b+2)勺-b-Xi) = (2b - i)2.2 - 2bXi+b (2b+2)勺-b-Zb%+卜勺=七(-26'+21&g

34、t;-2)叼+1>"+1>(Xi) = Xi (Xi b) (Xi T)2 2b +2b- 2= - 2.M在 XiC (0,二上单调递减,Meg、M Me.27+ b2+b) =b45b-2"zF427【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.20.【分析】（i）设等比数列an的公比为q,然后根据a2a4= a5, a3-4a2+4ai= 0列方程求解，在根据新定义判断即可;（2）求出b2, b3, b4猜想bn,然后用数学归纳法证明;（3）设cn的公比为q,将问题转化为卜普

35、1前法皆然亦，然后构造函数f（X）=g （x）=号843）， xkT分别求解其最大值和最小值，最后解不等式写上乎，即可.3 Kl-1【解答】解：（i）设等比数列an的公比为q,则由 a2a4=a5, a3 4a2+4ai=0,得f 2 4_4aiq=2曰 i q - q2a q -43q+42二0.数列an首项为1且公比为正数即数列an为“ MF数列”；(2)如=1, -L=JL-_,当 n=1 时，二上L, b2= 2, S 2 b b b 2当 n=2 时，-L=一一.b3= 3,S 2 b+b2 b 2 bj当 n=3 时，=.- 44, . b4 = 41猜想bn=n,下面用数学归纳法

36、证明;(i)当 n= 1 时，bi= 1,满足 bn= n,(ii )假设n=k时，结论成立，即 bk=k,则n=k+1时,由工一,得Sk好肌+1+故n=k+1时结论成立，*根据(i) (ii )可知，bn=n对任意的nCN都成立.故数列 bn的通项公式为 bn= n；设cn的公比为q,， , ， . . * » 一 、 »存在“Mb数列” cn (nCN),对任意正整数 k,当kwm时，都有CkW bkW Ck+i成立,一 k 1k . ,、即q < k<对kwm恒成立,当k=1时，q>1,当k=2时, V2«S,当k>3,两边取对数可得

37、，产，晔对kw m有解,k k-1当x>3时，f' (x) <0,此时f (x)递增,.M4 I oh. 14 i ln3. .当 k > 3 时，L J=-L k.濡 3-Inx令g (x)=号43)，贝d-，令巾&)二12T田则/二弩， 二J当 x'3 时，？(x) v 0,即 g' (x) v 0,1. g (x)在3 , +00)上单调递减，即k>3时，里L1上HL,则Lk-1 m-1ln3 / Inm下面求解不等式里1<血，3m-1化简，得 3lnm - ( m- 1) ln 3< 0,令 h (m=3lnm (m1

38、) ln 3,则 h' (M = - - In 3, m由 k>3得 m>3, h' (n) < 0, h (nj)在3 , +0°)上单调递减,又由于 h (5) = 3ln 5 41n 3= In 125 In 81 >0, h (6) = 31n 6 5ln 3= In 216 In 243V0,存在 mC （ 5, 6）使得 h （m0）= 0,1 1，m的最大值为5,此时qC §3 , §4 .【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题

39、，属难题.【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2 :矩阵与变换（本小题满分10分）21 【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（X）= a '=入25入+4,解方程f （入）=0|-2 A-2即可.【解答】解：（1） A？ 1 L2 2112 2|_2 2J""L10 6（2）矩阵A的特征多项式为:f（X） =人心 1=入25 入 +4,-2 人-2令f （入）=0,则由方程入之5入+4=0,得入=1或

40、入=4,，矩阵A的特征值为1或4.【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力， 属基础题.B.选彳4- 4-4 :坐标系与参数方程（本小题满分10分） 22【分析】（1）设极点为Q则由余弦定理可得 小:0”+0咚2皿比8也皿，解出AR（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算 B到直线l的距离.【解答】解：（1）设极点为 Q则在 OA升，由余弦定理，得A= oA+oB 2OA0BcosZA0B|,AB= 商+值产-八犷后皿（）;（2）由直线1的方程psin （。JL） =3,知4直线l过（3盘，三），倾斜角为四24又B （也2L）,.二点B到直线l的距离为-）=2,【

41、点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题.C.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分0分）23.【分析】对|x|+|2 x-1|去绝对值，然后分别解不等式即可.【解答】解:| x|+|2 x 1| ="12 a-3"+12 .| x|+|2 x- 1| >2,-k+1>2或J k1,或0<z<y1.x> 1 或 x e ?或 xv -,3，不等式的解集为x|xv-工或x>1.3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2, a3, a4,结合组合数公式，解方程可得n的值；（2）方法一、运