21大学大学应用概率与统计ppt课件

1、随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第二章第二章 n离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律n正态分布正态分布n连续型随机变量及其分布律连续型随机变量及其分布律n随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间的子集；针对等能够古典概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量随机变量 P28P28n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随

2、机试验的结果可直接用数值来表示. .例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，n 但可数量化但可数量化10X=正面向上=反面向上 例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用其结果是用 “正面向上和正面向上和“反面向上反面向上” 来表示的来表示的 P28可规定可规定: 用用1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上” 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系继续继续随机变量的定义随机变量的定义 1) 它是一个变量，它的取值随试验结

3、果而改变 2随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件n随机变量随机变量 P28P28n随机变量的两个特征随机变量的两个特征: :设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上的随机变量。的随机变量。( )X( )XX前往前往某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数X.X.在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X X 的可能取值为的可能取值为 0,+ 0,+

4、) )X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，11上的全体实数。上的全体实数。用随机变量表示事件用随机变量表示事件n若若X X是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SR R，那么，那么n n XSXS可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数, ,那么那么 “ “出现偶数点出现偶数点可表示为：可表示为：X=2X=2 X=4 X=4 X=6X=6 “ “出现的点数小于出现的点数小于可表示为：可表示为：X4X4或或XX33n E中的

5、事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示.随机变量的类型随机变量的类型 P29P29n 离散型离散型n 非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随机变量的所有取值是有限个或可列个随机变量的取值有无穷多个，且不可列随机变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型其中连续型随机变量是一种重要类型 称此式为离散型随机变量称此式为离散型随机变量 X的的 分布律列或概率分布分布律列或概率分布kkpxXP 设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率为的概率为X12,nx xxkxkp即即随机变量随机

6、变量X X的概率分布全面表达了的概率分布全面表达了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各个值的概率情况值以及取各个值的概率情况 p1 ， p2 ， pk P x1， x2， xk， X离散随机变量分布律的表示法离散随机变量分布律的表示法 P29n 公式法公式法kkpxXPn 表格法表格法1)01,2,kpk12)1kkp性质性质 例例2 2、 设设X X的分布律的分布律为为求求 P0X2=2/3 例例3 3、 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意抽取件次品，从中任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次表示取得的次品数，求随机变量品数，求随机变

7、量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品的概率。的概率。解：解：X的可能取值为的可能取值为 0，1，2 实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了件的方式变了设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为2() ,1,2,3,3kP Xkbk试确定常数试确定常数b.例例4、12111,.0| 1limnnniiniiaa aqaqaa引理：若为等比数列，且满足，则12b 11aq1(1)lim1nnaqq几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布 1p p P 0 1 X 则称则称X服从参数为服从参数为p 的两点分布

8、或的两点分布或(0-1)分布分布如：上抛一枚硬币，新生儿性别的判别，如：上抛一枚硬币，新生儿性别的判别， 检验产品是否合格等等。检验产品是否合格等等。 例例6、设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，并且用数随机抽取一球，并且用数“1 1代表取得红球，代表取得红球，“0 0代表取得白球代表取得白球10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为其概率分布为即即X X服从两点分布。服从两点分布。 7/10 3/10 P 0 1 X(1)0,1, 2.,;kknknP XknkCpp其中其中0 p 0, 则称则称X服从参数为服从参数为的泊松分

9、布的泊松分布XP()n定义定义交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数X;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目医院在一天内的急症病人数医院在一天内的急症病人数n 实际问题中若干随机现象是服从或近似服从实际问题中若干随机现象是服从或近似服从n PoissonPoisson分布的分布的例例9 9、已知某商店某种商品每月的销、已知某商店某种商品每月的销售数售数X X服从服从解解 每月销售某种商品每月销售某种商品X X

10、件，月底进货件，月底进货a a件件010010 =0.95!akkakP XaP Xkek的泊松分布，为了以的泊松分布，为了以95%以上的把握保证以上的把握保证不会供不应求，问商店在月底至少要进某种商品不会供不应求，问商店在月底至少要进某种商品多少件？多少件？10a=15 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求求1 1每分钟内恰好接到每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2每分钟不超过每分钟不超过4 4次的概率次的概率例例1010、至少要聘用多少个服务员，才能使得每分钟至少要聘用多少个服

11、务员，才能使得每分钟没有顾客等待服务的概率不小于没有顾客等待服务的概率不小于80%呢呢解解 设每分钟接到设每分钟接到X X次呼唤次呼唤至少至少6人人ekppCkknkkn!)1 (二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似P32The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街, ,出事故率为出事故率为0.020.02，独立重，独立重复上街复上街400400次，求出事故至少两次的概率次，求出事故至少两次的概率. .(400, 0.02)XBn 结果表明，随着实验次数的增多，结果表明，随着实验次数的增多，n

12、 小概率事件总会发生的！小概率事件总会发生的！ 例例1111、 解解思索：出事故率为思索：出事故率为0.002，至少发生两次事故的概率为多少至少发生两次事故的概率为多少随机变量的分布函数随机变量的分布函数 P34P34 设设X X为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数则对任意实数x x，称函数，称函数为随机变量为随机变量X X的分布函数的分布函数表示随机变量表示随机变量X X落在区间（落在区间（，x)x)内内的概率的概率定义域为定义域为 (,)；值域为值域为,。n分布函数的定义分布函数的定义( )F xP Xx 引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。P34nPX

13、b=F(b)nPaXb=F(b) - F(a)nPXb=1 PXb=1 - F(b)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)分布函数的性质分布函数的性质n F(x)是单调不减函数是单调不减函数 P34n 0 F(x) 1, 0 F(x) 1, 且且 P35 P35 ()lim ( )0,()lim ( ) 1xxFF xFF x 12xx若12()()F xF x()FP X 不可能事件不可能事件()FP X 必然事件必然事件分布函数分布函数 F(x)F(x)的图形的图形nF(x)是单调不减函数是单调不减函数21(1) ( )1F xx是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的