x02-9高阶导数与泰勒公式ppt课件

1、2-9 2-9 高阶导数和高阶微分。高阶导数和高阶微分。 泰勒公式泰勒公式一、一、 高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导

2、数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf高阶微分设函数y=f(x)在区间a,b)内有微分 dy=d(f(x)=f (x)dx若导函数f (x)在点a,b) 可微分则称： d2y =d(dy)=df(x)dx = f” (x) (dx)2 = f ” (x) dx2 为函数y=f(x)在点x的二阶微分。.)(2222dxxfddxyd或dn

3、y = f (n) (x) (dx)n = f (n) (x) dxn为函数y=f(x)在点x的n阶微分.)(nnnndxxfddxyd或例例1 1.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例2 2ydyRxynn,),()(求设解解1 xy)(1 xy2)1( x( )(1)(1)(1)nnynxn 则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 因而，因而，n次多项式的次多项式的n+1阶导数

4、必为零。阶导数必为零。(1)(1)nnnd ynxdx 例例3 3( )1,.nyyabx设求解解21()ybabx 23( 1)( 2)()ybabx( )1!()()nnnnybabx 例例4 4.),1ln()(nyxy求求设设 解解11(1)1yxx 2( 1)(1)yx 3( 1)( 2)(1)yx )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()(

5、)3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式形式与牛顿二项公式相似：形式与牛顿二项公式相似：nkkknknnbaCba0)(例例1 1.,)20(22yexyx求求设设 解解0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx202219218220 19220 22222!xxxexexe)9520(22220 xxex)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuv

6、u 例例2 2.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx有时在求导前，应对函数作适当变换。有时在求导前，应对函数作适当变换。.,21)(2nyxxy求求 解解 解解例例3 3)2111(31 xxy.,cos)(2nyxy求求 xxxy2sinsincos2 )2)1(2sin(21)( nxynn例例4 4.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)

7、cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn缺乏缺乏:问题问题:寻寻找找多多项项式式函函数数)(xP, ,使使得得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误误差差 )()()(xPxfxRnn 问题的提出问题的提出例例如如, , 当当

8、x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln(二.泰勒公式. 求 n 次近似多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0

9、)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202012301020300( )()()().()nnnP xaa xxa xxa xxa xx)()(00 xfxPn.)()(0)(0)(xfxPnnn)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn .!)(,.,! 2)( ),( ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解得( )20000000()()( )()()()().()2!nnnfxfxP xf xfxxxxxxxn( )( )( )nnf xP xR x泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理1 1( )200000000(

10、)( )( )( )( )()()()() 2!nnnf xfxf xf xf x x xx xx xo x xn 如果函数如果函数f(x)在含有在含有x0具有直到具有直到n阶的导数阶的导数,则在则在x0点有点有展开式：展开式： o(x-x0)n为佩亚诺余项为佩亚诺余项Peano) 上式为带佩亚诺余项的上式为带佩亚诺余项的n阶泰勒公式阶泰勒公式 X0=0 麦克劳林(Maclaurin)公式:( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn( )( )( )nnRxf xP x00001,( )()()()()nf xf xfxxxo xx003023000000

11、030( )3, lim()()()( ) ()()()()() 2!3!lim()nxxxxRxnxxfxfxf xf xfxxxxxxxxx020000020()( )()()()() 2!lim3()xxfxfxfxfxxxxxxx00000( ) ()()()lim6()xxfxfxfxxxxx0000( )()()lim06()6xxfxfxfxxx泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理2 2( )200000000()()( )()()()()()(, )2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxRxxn(1)1000( )(, )()()(1)!nnnfR

12、x xxxxxn在 与 之间或或 01 (1)10000()(, )()(1)!nnnfxxxRxxxxn拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项证证: :11010( )()(1)()nnRxxnx在 与 之间0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn( )20000000( )( )( )()()( ) ()()()().() 2!nnnnRxf xP xfxfxf xf xfxxxxxxxn2201120()()(1)()nnRxn nx在 与 之间0()nR x0()nR x(1)(1)( )( )nnnRxf

13、x, 0)()1( xPnn )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式函数展开为n 阶马克劳林公式的步骤：1求 n阶导数f(n)(x) (2)求n阶导数在x0=0处的值 f(n)(0) (3)计算(1)1()( )(1)!nnnfxR xxn例例1. 写出写出f (x)=ex的的n阶麦克劳

14、林公式阶麦克劳林公式.解：解：xnexfxfxfxf )(.)()()()1(由1)0(.)0()0()0(0)( effffn得所以 21111.2!(1)!xxnneexxxxnn !.! 212nxxxenx2111.()2!xnnexxxo xn ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn2xe求的马克劳林展式。)(! 212nnxxonxxxe 解解)(!)(! 2122422nnxxonxxxe )(!)1(! 212242nnnxonxxx 间接展开法间接展开法例例2. 求求f (x)=sinx展开到展开到n阶的麦克劳林公阶的麦克劳林公式式解

15、：因为解：因为).2sin()0();2sin()()()(nfnxxfnn, 0)0( , 1)0( , 0)0(fff所以,.,0)0(, 1)0( )4(ffmmmRmxxxxxx212)1(753)!12() 1(.! 7! 5! 3sin212sin(21)2(01)(21)!mmxmRxm35721(1)21sin.( 1)()3!5!7!(21)!mmmxxxxxxo xm 35721(1)sin.( 1)3!5!7!(21)!mmxxxxxxm ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn! 3sin3xxx|!5)25sin(|54xxR误

16、差) 10(! 5|5x!5!3sin53xxxx|!7)27sin(|76xxR误差) 10(! 7|7xm=2m=3oyxy = x! 5! 353xxxyy =sin x!33xxyxysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .3. ( )ln(1). ( 1)f xxx 例nnnxn

17、xf)1 ()!1() 1()(1)(由)!1() 1()0(1)(nfnn则2341ln(1).( 1)( )234nnnxxxxxxR xn 得2341ln(1).( 1)()234nnnxxxxxxo xn 得(1)111()( 1)( )(1)!(1)(1)nnnnnnfxR xxxnnx2341ln(1).( 1)234nnxxxxxxn ( )20(0)(0)( )(0)(0).()2!nnnfff xffxxxxn1111ln(2)1.2349 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式2111.()2!xnnexxxo xn 例例4 按按(x-4)的幂展开多项式的幂展开多项式

18、 f(x)=x4-5x3+x2-3x+4( )(4)( )0(5)(4)56;(4)21(4)74(4)66(4)24nfxnfffff 由(4)234(4)(4)(4)( )(4)(4)(4)(4)(4)(4)02!3!4!ffff xffxxxx 23746624( )56 21(4)(4)(4)(4)02!3!4!nf xxxxx 432(4)11(4)37(4)21(4) 56xxxx 利用泰勒公式计算极限利用泰勒公式计算极限例例10ln(1)sinlim1xxxxex )(! 3sin33xoxxx)(2)1ln(22xoxxx)(! 2122xoxxex)(2sin)1ln(22x

19、oxxx1)(2)(2lim1sin)1ln(lim222200 xoxxoxxexxxxx例例 2 2 计计算算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式利用泰勒公式证明题：利用泰勒公式证明题：例例(P148)：设：设f(x)在在(a,b)上具有二阶导数，且上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点使：使：证明：证明：)()()(4)(2afbfbaf),2()

20、2)(21)()2()2,()2)(21)()2(222121bbababfbfbafbaaabafafbaf)()()(8)()()()()(81)()(:221212afbfabffffabafbf于是得取)(, )(max)(21fff)()()(4)(2afbfbaf例例 2 设设f(x)在在-1，1上三次可导，且上三次可导，且f(-1)=0,f(1)=1,f(0)=0证明：存在证明：存在-1x01使使f”(x0) 3证明：利用证明：利用Talyor公式公式f(1)=f(0)+f(0) + 1/2 f”(0)+1/6 f”(1), 0 11f(-1)=f(0)-f(0)+ 1/2 f”(0)- 1/6 f”(2), 0 20,f(x0)为极小值为极小值同理同理( )0()0,nfx20000