刚体力学学习

1、例例6-3 质量为质量为m的空间站的空间站 沿半径为沿半径为 r的圆周绕月运动的圆周绕月运动.在圆轨道在圆轨道P点向前发射一质量点向前发射一质量m1的物体以使空间站在月球表面登陆。的物体以使空间站在月球表面登陆。求求m1的发射速度的发射速度v1(已知月球质量已知月球质量mm半径半径Rm)月球月球p空间站发射空间站发射m1的物体的物体,轨道切线方向动量守恒轨道切线方向动量守恒01 11202mmvmvmm vmmvmrr空而G空间站在空间站在新椭圆轨道，对月球中心点角动量守恒新椭圆轨道，对月球中心点角动量守恒11Rmmm v rmm v R空空间站在空间站在新椭圆轨道，机械能守恒新椭圆轨道，机械

2、能守恒1122111122mmRmmm mmm mmm vGmm vGrR空212MmEmvGr例例6-2 人造卫星绕地球作圆周运动，受空气摩擦阻力，卫星人造卫星绕地球作圆周运动，受空气摩擦阻力，卫星速度和轨道半径如何变化？速度和轨道半径如何变化？22MvmGmrr卫星受空气摩擦阻力，阻力的元功卫星受空气摩擦阻力，阻力的元功2212000fMmAdEmvGrMmmvdvGdrmvdvrdvdr 22MM2vGvdvGdrrr 质点系动量质点系动量y方向分量守恒方向分量守恒012ymvmvmv 011111011cossin2cossin3xyyxyxLmvkmrvmLijv ivjmLvmLv

3、kvvv xBryA1v1v2v绳伸直时，质点绳伸直时，质点A对固定点对固定点B角动量守恒角动量守恒11211111121231sin22xxyyvvvvvvvvvvvv4 4一圆锥摆的摆线长为一圆锥摆的摆线长为 L，摆锤的质量为，摆锤的质量为 m ，圆锥的半顶，圆锥的半顶角为角为。试求当摆锤从图中位置。试求当摆锤从图中位置 A 沿圆周匀速运动到位置沿圆周匀速运动到位置 B 的过程中张力的冲量。的过程中张力的冲量。解：设绳中张力为解：设绳中张力为 ，摆锤的运动周期为，摆锤的运动周期为 。FT对摆锤应用牛顿第二定律：对摆锤应用牛顿第二定律：其中，其中，sinRl 又知：又知：02 Rv Tcos

4、Fmg竖直方向：竖直方向：20sinvFmR水平方向：水平方向：4从从 到到 位置应用对摆锤应用动量定理：位置应用对摆锤应用动量定理：AB00()mgFmvmvIIii即即 022FTmgmvkIi解得：解得：g2 sincoscosFlmmlgIik57.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 第七章第七章 刚体力学刚体力学 7.1.2 刚体绕固定轴的转动刚体绕固定轴的转动 7.1.1 刚体的平动刚体的平动 7.1.3 角速度矢量角速度矢量 7.1.4 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体刚体是受力时不改变形状和体积的物体是受力时不改变形状和体积的物体. 是理是理 想模型想模型.特点特点(1)是一个

5、质点组（刚体可以看成由许多质点是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元组成，每一个质点叫做刚体的一个质元.）(2)组内任意两点间的距离保持不变组内任意两点间的距离保持不变.第七章第七章 刚体力学刚体力学 7.1.1 刚体的平动刚体的平动 Ojririjr平动平动刚体运动时刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的刚体内任一直线恒保持平行的 运动运动.7.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 动画演示动画演示trtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向质质元元表表示示质质元元图图中中jirijijijrrr 为为恒恒矢矢量

6、量由由平平动动定定义义ijr取参考点取参考点O 结论：结论：刚体平动时刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹度及相同的轨迹.可用一个质点的运动代替刚体的运可用一个质点的运动代替刚体的运动动.Ojririjrtrtrijdddd ijvv ijaa 2222ddddtrtrij ,的的矢矢量量指指向向质质元元表表示示质质元元图图中中jirijijijrrr 为为恒恒矢矢量量由由平平动动定定义义ijr取参考点取参考点O 结论：结论：刚体平动时刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹度及相同的轨迹.可用一个质点的运

7、动代替刚体的运可用一个质点的运动代替刚体的运动动.Ojririjr转动：转动：刚体运动时刚体运动时,其上各质元其上各质元都绕同一直线作圆周运动都绕同一直线作圆周运动.这种这种运动称运动称转动转动.该直线称为转轴该直线称为转轴.若若转轴不动，称转轴不动，称定轴转动定轴转动.7.1.2刚体绕固定轴的转动刚体绕固定轴的转动 OO(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面转动平面)做圆周运动做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线其圆心都在一条固定不动的直线(转轴转轴)上上. (2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时

8、间内所转过的角度都相同的角度都相同.因而因而用角量描述刚体的运动用角量描述刚体的运动.1.定轴转动特征定轴转动特征 xO p 称称角位置或角坐标角位置或角坐标.规定逆时针转向规定逆时针转向 为正为正.2. 定轴转动的描述定轴转动的描述 (1) 角坐标角坐标 刚体定轴转动刚体定轴转动的运动学方程的运动学方程 (2) 角位移角位移 为为 t时间内刚体所转过的角度时间内刚体所转过的角度. = (t) xOp(3) 角速度角速度 tttddlim0 在定轴转动中在定轴转动中,转向只可能有两转向只可能有两个方向个方向.取逆时针转动取逆时针转动 0，顺顺时针转动时针转动 0.rad/s30602nn 每分

9、转每分转n转转 角速度角速度 xO P(t)P(t+ t ) + (4) 角加速度角加速度 tttddlim0 可正可负可正可负, 当当 与与 同号时同号时,转动加快转动加快,异号时减慢异号时减慢. 角加速度角加速度2021tt 匀变速转动匀变速转动 =常量常量 ）（02022 t 0与质点匀变速直线运动公式相对应与质点匀变速直线运动公式相对应.tt d)(d tt d)(d ttt00d)( ttt00d)( (5)刚体定轴转动运动方程刚体定轴转动运动方程匀速转动匀速转动 =常量常量 t 0(6) 角量与线量的关系角量与线量的关系线量线量质点做圆周运动的位移质点做圆周运动的位移r、速度、速度

10、v、加速度、加速度a 角量角量描述刚体转动整体运动的描述刚体转动整体运动的rs rrva22n ra t rv 注注: r 的原点必须在转轴上的原点必须在转轴上. 弧长弧长 线速度线速度 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 ，r sOtexy角量与线量的矢量关系式为角量与线量的矢量关系式为 rv rta ddt )(nra )(ddntrrtaaa OP rrv rta ddt )(nra 7.1.3角速度矢量角速度矢量 O 角速度是矢量，其方向沿转角速度是矢量，其方向沿转轴且与刚体转动方向成右手螺旋轴且与刚体转动方向成右手螺旋系统系统. 若刚体同时参与两个轴的转动，若刚体同时参与两个

11、轴的转动，则合成角速度按平行四边形法则进则合成角速度按平行四边形法则进行合成行合成.O 2 1 AAA注：注：角速度总是与无限小角位移角速度总是与无限小角位移相联系相联系,无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量,所以所以角速度也是矢量角速度也是矢量.而有限角位移不而有限角位移不是矢量是矢量.角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为 k j i zyx k j i zyx txxdd 其中其中 tyydd tzzdd 刚体作定轴转动，令转轴与刚体作定轴转动，令转轴与 z 轴重合，轴重合， 有有k z k z 0 yx 7.1.4刚体的平面运动刚体的平面运

12、动 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体内所有的点都平行于某一平刚体内所有的点都平行于某一平面而运动面而运动. 如车轮滚动等如车轮滚动等.动画演示动画演示1.刚体的平面运动特点：刚体的平面运动特点： (1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在 一个平面上一个平面上.(3)刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同况都相同.(2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直转轴总是保持平行，并与固定平面垂直.(4)可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形来代表刚体图

13、形来代表刚体.2. 平面运动的方程平面运动的方程 刚体平面运动刚体平面运动 = B点平动点平动 + 绕绕B点轴转动点轴转动 建立坐标系建立坐标系Oxyz，使平面图形在，使平面图形在Oxyz面内面内, z轴轴与屏幕垂直与屏幕垂直. 在平面上任取一点在平面上任取一点B，称为基点，以基点，称为基点，以基点B为原为原点建各坐标轴平行于点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系的动坐标系Bx y z .BBrBBr AAA A122 jtyitxtrBBB)()()( )(t Oxyx y 点点的的位位矢矢点点相相对对是是BAr 3. 平面运动的刚体上任意一点的速度平面运动的刚体上任意一点的速度 平面上平面上

14、A点相对于点相对于Oxyz系的位置矢量系的位置矢量 rrrB vvtrtrtrvBB dddddd刚体绕过基点的角速度刚体绕过基点的角速度 rv rvvB 4.无滑滚动无滑滚动(纯滚动纯滚动)条件条件 (1)有滑动滚动和无滑动滚动有滑动滚动和无滑动滚动 有滑滚动有滑滚动接触面之间有相对滑动的滚动接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大摩擦力不够大). 无滑滚动无滑滚动接触面之间无相对滑动的滚动接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够摩擦力足够 大大) 也称纯滚动也称纯滚动. 无滑滚动条件无滑滚动条件: rvzcy razcy rvvc 当边缘上一点当边缘上一点P与支承面接触的瞬时，与支承面接触的

15、瞬时，0 v证证 以圆柱体中心轴线上一点以圆柱体中心轴线上一点C为基点为基点,则边缘上一点则边缘上一点 rvzcy 0 rvc AxyOCr cvvr cvvr cvP实际上实际上,当柱体绕中心转动当柱体绕中心转动,其中心轴前进的距离其中心轴前进的距离 ryc rvc rac rryC2 r微分微分 7.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理7.2.1 刚体的质心刚体的质心 7.2.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理7.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理7.2.1 刚体的质心刚体的质心 在在O-xyz坐标中，质点系的质心坐标为坐标中，质点系的质

16、心坐标为 iiicmxmx iiicmymy iiicmzmz对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体, VVcmmxxdd VVcmmyydd VVcmmzzdd刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体. VVcVVxxdd 引入体密度引入体密度 VVcVVyydd VVcVVzzdd 均质物体均质物体 VVxxVc dVVyyVc dVVzzVc d例题例题1求质量均匀，半径为求质量均匀，半径为R的半球的质心位置的半球的质心位置.解解 设半球的密度为设半球的密度为 ，将半球分割成许多厚为，将半球分割成许多厚为dx的圆的圆片，任取其一片，任取其一xxR

17、xyVd)(dd222 R83 3/2d)(3022RxxRxR 33323421RRV VVxxVc d由对称性得由对称性得 0 cczyxROyzyxxd例题例题2 在半径为在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板的小圆板,大小圆板相切大小圆板相切,如图所示如图所示.求余下部分的质心求余下部分的质心.xyO解解 由对称性，由对称性，yc= 0 余下部分余下部分0 cx2141Rm 2/1Rxc 2243Rm 2222432410RxRRRc 62Rxc 2Rm 设平板面密度为设平板面密度为 ,大圆板大圆板小圆板小圆板7.2.2 刚体的动量和质

18、心运动定理刚体的动量和质心运动定理刚体动量刚体动量 cvmp 质心运动定律质心运动定律cciamtvmF dd质心加速度质心加速度刚体的总质量刚体的总质量刚体所受的外力矢量和刚体所受的外力矢量和例题例题3一圆盘形均质飞轮质量为一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为，半径为r=0.15m,转速为转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动飞轮作匀速转动.飞轮质心飞轮质心距转轴距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重

19、力对该压力的动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的影响）影响）.rad/s 9 .41rad/s301416. 340030 n 解解 根据质心运动定理根据质心运动定理N 8 . 8N001. 09 .410 . 522 dmF 7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理7.3.4 刚体的重心刚体的重心7.3.5 典型例子典型例子7.3 刚体定轴转动的角

20、动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量1.转轴为对称轴转轴为对称轴 zm1m2Or1r2 2r1r L1L2L如图如图,对对O点点 k 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos222111vmrvmrL 22mr rrr 21rvv 21故总角动量故总角动量 2.转轴为非对称轴转轴为非对称轴 zm1m2O 2 12r 1r L1L2Lk 如图如图, 对对O点同样有点同样有 1111vmrL 2222vmrL 1111vmrL 2222vmrL 2

21、1LLL 总角动量与转轴成总角动量与转轴成 角角. 刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量与角速度方向相同与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹角成一定夹角.7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量iiiivmrL 质点系对点的角动量质点系对点的角动量 设刚体绕设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影轴的投影 iizzLL iiirm )(2ziizrv 2iizrmI刚体对

22、刚体对 z 轴转动惯量轴转动惯量 刚体对刚体对 z 轴角动量轴角动量 zzzIL 转动惯量是转动惯性的量度转动惯量是转动惯性的量度. 22ML mkg 单单位位：1.转动惯量转动惯量 质量连续质量连续分布的刚体分布的刚体 VmSmlmmrJddddddd2 体体面面线线其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体分别为质量的线密度、面密度和体密度密度.转轴的位置转轴的位置; 质量分布质量分布. 总质量；总质量；转动惯量的决定因素：转动惯量的决定因素：(1) 转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直 取质元：取质元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 转轴过棒一端与棒垂直转

23、轴过棒一端与棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 例例1: 1: 匀质细杆的匀质细杆的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm J例例1求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量转动惯量 .解解242121mRhR xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒圆筒 )(212221RRmI 圆环圆环I=mR2 RmO O 圆柱圆柱 221mRI LRR2R12121mlI 细圆棒细圆棒lR圆球圆球 252m

24、RI 球壳球壳 R232mRI 3. 回转半径回转半径 任何转动惯量均有任何转动惯量均有 I = mk2 k称为回转半径称为回转半径 Rk52 圆球圆球Rk21 圆柱圆柱质量相同的刚体，质量相同的刚体，I ，k (1)平行轴定理平行轴定理 ABCdxmi i i i iiCmI2 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对AiiAmI2 由图由图 iiiidd cos2222 iiAmI2 )cos2(22iiiiddm dmdmmiiiiii2cos22 iiiiixmm cos故：故： 2mdIIcA 平行轴定理平行轴定理 0 cmx4.反映转动惯量性质的定理反映转动惯量性质的

25、定理 (2)垂直轴定理（正交轴定理）垂直轴定理（正交轴定理）mi ixyz yixiOzxyIII(3)可叠加原理可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加体对同一转轴的转动惯量之叠加.LR例例 质量为质量为m半径为半径为R长为长为l的实圆柱体对中心直径的实圆柱体对中心直径的转动惯量的转动惯量取取x-x+dx处质量处质量dm的薄盘的薄盘2222222222222211241+x411+xdx+x4411412xzzlzlmmd

26、mdvR dxdxR lldIdmRdIdmRdIdmRdmmmIdmRdmRdxllmRml由垂直轴定理又由平行轴定理7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理zzzizIttLM dddd iizzLLzziiiIrm )(2刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式角动量定理微分形式 0dzzzzzIItM 角动量定理积分形式角动量定理积分形式 刚体定轴转动刚体定轴转动 I = 常量常量zzizIM 刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理说明：说明：地地位位相相当当与与amFIM )1(式式中中各各量量对对同同一一转转轴轴)2(.

27、00 , ,3转转动动第第一一定定律律恒恒量量，若若则则常常量量）（ MMI IM 注意：注意：1. 1. 隔离法分析研究对象，建立坐标系。隔离法分析研究对象，建立坐标系。2. 2. 对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。3. 3. 列出辅助方程。列出辅助方程。七七、转动定律的应用转动定律的应用（重点）（重点） 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 选定转轴正方向选定转轴正方向, , 以确定力矩、角加速度、角速度的正负。以确定力矩、角加速度、角速度的正负。 当系统中既有转动物体，又有平动物体时当系统中既有转动物体

28、，又有平动物体时, , 用隔离法解题。用隔离法解题。 对转动物体用转动定律建立方程对转动物体用转动定律建立方程, , 对平动物体则用牛顿定律对平动物体则用牛顿定律 建立方程。建立方程。解解: : 隔离法隔离法 列出运动方程列出运动方程 amTgm111 Ra 从以上各式解得从以上各式解得 2/21f21221f21mmmRMgmmRJmmRMgmma T2T1m1gm2gm2m1a辅助方程：辅助方程： amgmT222 f21 JMRTRT :1 m :2 m: m T1T2RmO fM m2m1aRm例例 4 4:已知已知, 1m, 2mT.a,R,m,m1张张力力加加速速度度求求定定滑滑轮

29、轮:,m2 一一、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 (一一)质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量 m , 力力 F转动惯量转动惯量 J , , 力矩力矩 M力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能转动势能转动势能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动牛顿定律牛顿定律

30、转动定律转动定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pk EE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pk EE tJJtM000d 00 JJ 7.3.4 刚体的重心刚体的重心重心重心刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那重力作用线都要通过的那 一点一点. 如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为可视为转轴转轴.

31、因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为零轴合力矩为零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxWWzWziic gmWii 则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量质心是质量中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用线通过的那一点用线通过的那一点.WxWxiic WyWyiic 若取若取例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图的放水弧形闸门，可绕图中左方支点转动，总质量为中左方支点转动，总质量为m,质心在距转轴质心在距转轴 处，处

32、，闸门及钢架对质点的总转动惯量为闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度为重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力.297mRI R32图图(a) （1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力和支点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图图(b)需拉力是

33、多少？需拉力是多少？TF W图图(b) xyONFTFW图图(a) 解解（1）以弧形闸门及钢架）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示. 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy，camWFF NT向向x及及y轴投影得轴投影得 根据转动定理根据转动定理xcxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起动时起动时根据质心运动定理根据质心运动定理 即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.mg9067T

34、F W图图(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得：TF mgF1011T 比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.mamgF T例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，

35、线的另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t ,求待测物体的转动求待测物体的转动惯量惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变的长度不变.hII0rm解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究对象，作为研究对象，受力分析如图受力分析如图.xyONF1TF2TFWmaFmg 2T )(01TIIrF 2T1TFF ra 221gth 022)12(IhgtmrI ddddz

36、izzzzLMIItt角动量定理微分形式角动量定理微分形式 0dzzzzzzzM td III角动量定理积分形式角动量定理积分形式 例例P236 7-8o1o2211111011 122222202221111012222201 1221212FRdtIIImRFR dtIIIm RIIRRIIRR7.4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.1力矩的功力矩的功 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 ddrFdsFA对有限角位移对有限角位移 dd00 zMrFA作用于刚体的外力的功，可用外作用于刚体的外力的功，可用外力

37、对转轴的力矩力对转轴的力矩 所做的功来计算所做的功来计算.力矩的功率：力矩的功率：zzzMtMtAP dddd7.4.1力矩的功力矩的功 刚体中刚体中P点在力点在力 的作用下位移的作用下位移 则则力元功力元功 FrdFOzrF F dzFPr 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆其动能为所有质点作圆周运动动能的总和周运动动能的总和.2k21 zIE 2kk21iiivmEE 2221 iirm 22)(21 iirm2k21iiivmE 任意质元的动能为：任意质元的动能为：1. 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能

38、 刚体的动能刚体的动能 2. 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 2022121 zziIIAA 外外外外 zzIM d0iziMA外外外外 ddd tIz 0d zI 作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于刚体绕定轴转动动能的改变量于刚体绕定轴转动动能的改变量. dzI不变质点系不变质点系,内力做功之和为零内力做功之和为零7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 cmgyE p 刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相同的重力势能相同. iigymEpgymii)( mgymmii)

39、( 刚体的重力势能刚体的重力势能 例题例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为，半径为R，重锤质量为重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率高度时的速率v，不计阻力，不计阻力，不计绳的质量及伸长不计绳的质量及伸长.1m2mhR解解 方法方法1. 利用质点和刚体转利用质点和刚体转动的动能定理求解动的动能定理求解.22T221vmhFghm 2212T4121 RmIRF 由质点动能定理由质点动能定理 由刚体动能定理由刚体动能定理 约束关系约束关系 Rv hR

40、 联立得联立得 21222mmghmv 方法方法2. 利用质点系动能定理求解利用质点系动能定理求解 将转动柱体、下落物体视作质点系将转动柱体、下落物体视作质点系 由质点系动能定理由质点系动能定理 221222222)21(21212121 RmvmIvmghm 约束关系约束关系 Rv hR 联立得联立得 21222mmghmv 例题例题2均质杆的质量为均质杆的质量为m，长为，长为l,一端为光滑的支点一端为光滑的支点.最最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v

41、；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.ONFnete解解(1)由机械能守恒得由机械能守恒得221 Imghc lhc21 231mlI 联立得联立得 glv3 CEp=0W(2)根据质心运动定理根据质心运动定理 camWF NNttt000ccFmaMa分量式分量式 ccrvmmgF2Nn 例：质量为例：质量为M ，长长 l 的匀质细杆一端悬挂于光滑的的匀质细杆一端悬挂于光滑的O点点，质量为质量为 m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度 v 从从 A 点射入杆并陷入其中点射入杆并陷入其中，使杆使杆转动的最大角度为转动的最大角度为 30。已知已

42、知 OA = l，求求：子弹入射速度子弹入射速度。 )31(22lmMllmv 杆摆动过程仅重力矩做功，杆摆动过程仅重力矩做功，系统机械能守恒系统机械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 联立联立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg解：两个物理过程解：两个物理过程 子弹以子弹以 v 射入杆内与杆获得共同角速度射入杆内与杆获得共同角速度 的过程，的过程，系统角动量守恒系统角动量守恒： p241 p241 例例7-11 7-11 ：222011()33MlMlml环环mm与杆与杆系统在环从系统在环从A A到到

43、B B 的过程的过程系统机械能守恒系统机械能守恒：2222201 11 11()()2 32 32sinMlMlmvlvBA 环环mm与杆与杆系统在环从系统在环从A A到到B B 的过程，的过程，系统系统角动量守恒角动量守恒：7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度汽车轮的受力汽车的极限速度 7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学

44、7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 平面运动平面运动 = 平动平动+定轴转动定轴转动 1.求质心的运动求质心的运动 根据质心运动定律根据质心运动定律 ciamF cxixmaF cyiymaFm 刚体的质量刚体的质量. 所有外力的矢量和所有外力的矢量和, iF刚体作平面运动，受力必是平面力刚体作平面运动，受力必是平面力 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式 (7.5.1)2. 刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系选质心坐标系 Cxyz ,设设z为过质心而垂直于固为过质心而垂直于固定平面的轴定平面

45、的轴. 在质心系中在质心系中tLMMzidd 惯惯外外 M外外i 外力对质心的力矩外力对质心的力矩,又又 M惯惯= 0 M惯惯 惯性力对质心力矩惯性力对质心力矩. zzczzcziItItLM d)(ddd外外zzciIM 外外 即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律动定律. 式式(7.5.1)和和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动称刚体平面运动的基本动力学方程力学方程.(7.5.2)7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 1.作用于刚体上力的两种效果作用于刚体上力的两种效果 滑移矢量滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点施于刚体的力的特点

46、 作用力通过质心，对质心轴上的作用力通过质心，对质心轴上的力矩为零，使刚体产生平动力矩为零，使刚体产生平动. 力作质心轴的力矩使刚体产力作质心轴的力矩使刚体产生角加速度生角加速度. 施于刚体的某个点的力施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去决不可以随便移到另一点去.AFBF(2) 施于刚体的力是滑移矢量施于刚体的力是滑移矢量 右图中右图中,施于施于A点的力点的力F 可用施于可用施于B点的力点的力F 代替代替,即力可沿作用线滑移即力可沿作用线滑移.ABC作用于刚体的力的三要素：作用于刚体的力的三要素： FFF大小、方向和作用线大小、方向和作用线. 2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:

47、大小相等方向相反彼此平行的一对力大小相等方向相反彼此平行的一对力. 21FF 2211FrFrM 力偶力偶121)(Frr 112Fr 大小大小 FdrM sin12力偶力偶与参考点的选择无关与参考点的选择无关. Odm1m22r12r1r2F1F 一般作用于刚体的力等效一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩质心轴的力矩. 7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 22k2121 ccImvE 动能动能 动能定理动能定理 )2121(2

48、2 ccImvA 外外222121 cccImvmghE 机机械械 如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力作功，则系统的机械能也守恒作功，则系统的机械能也守恒.例题例题1如图，固定斜面倾角为如图，固定斜面倾角为 ，质量为，质量为 m 半径为半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力及斜面作用于柱体的摩擦力F .x yOCx y 解解NFFW根据质心运动定理根据质心运动定理camFWF Ny 轴上投影轴上投影cmaFW sin对质心轴的转动定理对质

49、心轴的转动定理 Rac sin31 sin32mgFgac 221mRIFR 无滑滚动无滑滚动 例题例题2质量为质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动停止转动. 前后轮相距前后轮相距L，与地面的摩擦因数为，与地面的摩擦因数为 .汽车质汽车质心离地面高度为心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对求前后车轮对地面的压力地面的压力.OCxyx y 1F2F1NF2NF解解 汽车受力如图汽车受力如图. camFFFFW 2N1N02N1N WFFy 轴投影轴投影2N21N1 FFFF 0)()(1N2N21 lFlLFhF

50、F对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理根据质心运动定理根据质心运动定理LhlmgFLhlLmgF/ )(/ )(2N1N 由上面方程可解出由上面方程可解出根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下.例题例题3 在例题在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落高度心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率时，圆柱体质心的速率.x yOCx y NFFW解解 因为是无滑滚动，静摩因为是无滑滚动，静摩擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W做功，机械能守恒做功，机械能守恒.2224121 mRmvc Rvc ghvc332 222)21(2121 mRmvmghc 无滑滚动条件无滑滚动条件例例7-15质量为质量为m, 长为长为