双曲线及其标准方程

1、平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数(大于大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆 强调强调:(1)平面内平面内(2)常数大于常数大于F1F2. 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的的距离的距离的差的绝对值距离的差的绝对值等等于常数于常数 ( 小于小于F1F2 )的点的轨迹的点的轨迹双曲线双曲线两个定点两个定点F1，F2椭圆的椭圆的焦点焦点两焦点间的距离两焦点间的距离椭圆的椭圆的焦距焦距双曲线的定义双曲线的定义：注意注意: (1)距离之差的绝对值距离之差的绝对值. (两支两支 图像图像 ) 问题问题:(2)常数小于常数小于F1F2.

2、椭圆方程的建立椭圆方程的建立步骤一：建立直角坐标系步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤二：设动点坐标步骤三：列等式步骤三：列等式步骤四：代入坐标步骤四：代入坐标步骤五：化简方程步骤五：化简方程 设双曲线的两个焦点分别为设双曲线的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为，它们之间的距离为2c，双曲线上，双曲线上任意一点任意一点 P到到F1，F2 的距离之差的的距离之差的绝对值为绝对值为2a(2c2a)F1F2oxyP 以以F1，F2所在直所在直线为线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立直角坐标系建立直角坐标系xOy，则则F1，F2的坐标分别的坐标分别

3、为为(c，0)，(c，0)步骤一：建立直角坐标系步骤一：建立直角坐标系yxF1F2oP步骤二：设动点坐标步骤二：设动点坐标设双曲线上任意一点设双曲线上任意一点P的坐标为的坐标为(x,y) ，步骤三：列等式步骤三：列等式步骤四：代入坐标步骤四：代入坐标2222()()2x cyx cya即：即： 根据双曲线定义知：根据双曲线定义知：PF1-PF22a，步骤五：化简方程步骤五：化简方程因为因为c2-a20,所以令所以令c2-a2=b2(b0)得得化简化简,得得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)b2x2-a2y2=a2b2两边除以两边除以a2b2,得得22221(0,0)xyabab

4、想一想一想想如果焦点在如果焦点在y 轴上（如右图），轴上（如右图），此时双曲线的方程是什么？此时双曲线的方程是什么？222210yxabab222210yxabab222210yxabab22221(0,0)yxabab上式也是双曲线的标准方程上式也是双曲线的标准方程xyF1F21、焦点在、焦点在x轴上：轴上：2、焦点在、焦点在y 轴上：轴上：222210,0yxabab222210,0 xyababxyF1F2oPxF1F2yoP（1）与方程有关的三个数）与方程有关的三个数a,b,c中，中， c为最大，且满足为最大，且满足b2c2a2（2）双曲线的焦点位置可由方程中）双曲线的焦点位置可由方程

5、中x2与与y2的分母的系数的正负来确定，焦点的分母的系数的正负来确定，焦点在系数为正的项所对应的坐标轴上在系数为正的项所对应的坐标轴上练练 习习1已知双曲线的方程为已知双曲线的方程为 ，则则a=_，b=_，c=_，焦点，焦点坐标为坐标为_，焦距等于，焦距等于_221259xy2已知双曲线的方程为已知双曲线的方程为 ，则则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为焦点坐标为_，焦距等于焦距等于_22154xy1.若常数要等于若常数要等于F1F2 ,则图形是什么则图形是什么?2.若常数要大于若常数要大于F1F2 ,能画出图形吗能画出图形吗?3.定点定点F1、F2 与动点与动点M 不在同一平面上不在同一平面

6、上,能否得能否得到双曲线到双曲线?(强调强调”在平面内在平面内”)4. MF1与与MF2哪个大？（当哪个大？（当M在双曲线右支上时，在双曲线右支上时，MF1MF2；当点；当点M在双曲线左支上时，在双曲线左支上时，MF1MF2）5点点M与定点与定点F1、F2距离的差是否就是距离的差是否就是MF1-MF2？求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程例例1(1)(1) a=4, b=3或221169xy221169yx(2) b=1, c=4焦点在焦点在y轴上轴上221151xy解:解:（3 3）2 5a 焦点在焦点在y轴上。轴上。经过点经过点A（2，-5),解解:设双曲线的方

7、程为设双曲线的方程为:222120yxb又因为经过点又因为经过点A（2，-5），代入），代入得得:b2=16所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为:2212016yx，例例2:已知双曲线两个焦点分别为，已知双曲线两个焦点分别为，F1(-5，0)、F2(5，0) ，双曲线上一点到，双曲线上一点到F 1,F2距离差的距离差的绝对值等于绝对值等于6，求双曲线的标准方程，求双曲线的标准方程 思考思考：如果把这里的数字如果把这里的数字6改为改为12,10其他条件不变，其他条件不变，会出现什么情况？会出现什么情况？课堂训练：课堂训练：1 焦点的坐标是焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点，并且经过

8、点A(2, -5).求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.2. 已知双曲线上一点已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等到它的一个焦点的距离等于于1,求求M到另一个焦点的距离。到另一个焦点的距离。3. 已知双曲线过点（已知双曲线过点（3，2），且与椭圆），且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，求双曲线的方程。有相同的焦点，求双曲线的方程。4. 已知方程已知方程 表示双曲线表示双曲线,求求k的取值范围的取值范围. 22121xykk回回 顾顾 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababF1F2oxF1F2yo(C2=a2+b2)方程建立的过程：方程建立的过程：建立直角坐标系建立直角坐标系设坐标设坐标列等式列等式代坐标代坐标化简方程化简方程 根据已知