第五章可压缩流体的一元流动

1、第五章可压缩流体的一元流动 1 热力学基本方程 2 绝热流动的能量方程 3 微弱扰动波的传播音速 4 一元等熵的气流流动的基本关系 5 一元等熵气流在变截面管道中的 流动1.热力学基本方程对完全气体式中R0-通用气体常数 RO=8314.3 J/kgk R-气体常数,与气体种类有关 M-气体分子量一.状态方程及状态参数: 状态参数 p、v、t、e(u)、h、s0RpvRTpTM或二.热力学第一定律:三.比热:能量守恒原理: 进入系统的能量 - 离开系统的能量 = 系统中储能的增加。进入系统的能量加热dq 离开系统的能量对外作功pdv. 系统内能量的增加de.故能量方程为 热一定律 定义:单位质

2、量气体温度升高1k所需的热量称比热.有定容比热和定压比热之分.dqpdvde定容比热: 当讨论定比热积分此式有代入热一定律 当定容时()vvdecdTvec Tdqdepdv()vvdqcdT0dv 对定压比热：代入热一定律 其中 有：由状态方程 求导pvRT()pdvpRdTp constp constpdedvcpdTdT()ppdqcdTdqdepdv定义： 为比热比则有故而pvccRpvcc1pcR11vcR()vvdecdT四.焓 h、熵 s焓定义: 对理想气体:熵定义:-1 pheepvpvcTRhcTTdqdsT将dq代入:vdedvdTdvdspcRTTTv积分得熵差：dqde

3、pdv-1 积分得:222111lnlnvTsscRT2211lnlnpTpcRTp2211lnlnvppccp对等墒过程： pconst对任意两等墒过程的参数有：1122pp11122pTpT111122TT 2 绝热流动的能量方程1.连续性方程： 2.动量方程：3.运动方程：微分形式：uAconst()()()0uvwxyz21()FQ VV 1fpa一元流连续性方程:4.能量方程：对不可压流体，能量方程是Br-eq.，对可压缩流体，能量方程中各项的能量种类不同，但仍满能量守恒原理，仅是形式不同。如图：取系统， 其体积为， 表面积为 A， n是dA外法线。dAdAdQdQdEn ndWdW

4、由能量守恒：单位时间进入系统的总能量-单位时间离开系统的总能量=单位时间内系统内总能量的变化即dQdEdwdtdtdtE表示系统的能量，有内能和动能。2()2uEed 2()2ue单位质量的能量nAddv dAdtt由第三章导出的物理量对时间的导数通式0W表示对外做功，有重力、表面力做功。对气体可忽略重力做功。表面力包括粘性力和压力。如取控制体如图，使控制面与壁面重合，此时壁面上速度为零，粘性力做功为零。但此处粘性力最大。在此22()()22nAdEuuedev dAdtt对定常问题：2()2nAdEuev dAdtpzypdA故Q表示进入（出）系统的热量。绝热在两个端面上粘性力与流动方向垂直

5、，做功也为零。故只需讨论压力做功。作用在微元面积上的压力为 ，压力做功为npv dA0dQ nAdwpv dAdtdQdEdwdtdtdt2()2nAuev dAnApv dA2()2nAupev dA2()02nAupev dA如图取一元管流，流动只在两端面发生，故有：112211221112221212()()22nnAAupupev dAev dA积分：并代入连续性方程：221122121222upupeeuAconst有：能量方程有以下几种形式：22puc Tconst212uRTconst22uhconst212puconst2212cuconst22pueconst3 微弱扰动波的

6、传播 音速一.弱扰动的一维传播(等熵波)：音速: 微小扰动波在气体中的传播速度 以 c（m/s）表示.pTpdpdTdT0v vuucmnmnpTpdpdTdTcvcuvc动量方程：连解上两式略去小量有：由连续性方程: ()()vAdcu A22()()()pAp dp Adc u Ac Adpcd二.音速公式:0,dddc c，大的流体 小,该种流体易压缩小的流体c大该种流体不易压缩为不可压流体。音速可作为表征流体压缩性的参数。由于活塞运动是个微量，故 p、T、等参数的变化很小，因而每个压缩过程可看成是绝热、可逆过程，即等熵过程。对于等墒过程：pconst两边取对数求导有：dppdpRTdp

7、cRTd由cRT对空气：1.420.1cT c是当时当地音速。287R 定义:VMc可用M将流动分类:1M 1M亚音速流超音速流跨音速流高超音速流三、马赫数 M马赫数是一无因次数。与雷诺数相似，有其物理含义: 惯性力/弹性力1M 1M 四.弱扰动在空间的传播.扰动波在静止空气中的传播有四种情况:1.扰动源不动 u=0 此时扰动波以c向空间各向传播,其波面是空间球面。2.扰动源以小于当地音速的速度 （uc运动扰动源总跑在扰动波的前面，扰动波只能在下游的马赫锥内传播。马赫锥的半顶角称马赫角。由图可知：1sincuM 结论: 当气流速度 u0，扰动波全平面传播,为同心球面。 当气流速度uc，扰动波只

8、能在顺流的马赫锥内传播.不能在马赫锥外传播,更不能逆流传播。 如将扰动源固定,将气流以u绕扰动源流动.以上四种情况仍存在.4一元等熵的气流流动的基本关系一.滞止状态: 是指速度等熵地降为零的状态，其参数用角标“0”表示。能量方程：202uhh这时对应的焓值达到最大值，称驻点焓对应的参数称驻点参数。流场中其它点的参数称静参数。等墒流时驻点参数沿程不变。如图滞止状态可以是流场中真实存在的也可是假象的，作为一个参考状态。由绝热能量方程:202ppuc Tc T等墒流00oTpp1p200102ppp2220211112221pTuuuTc TcRT 由等墒关系：有2011()2TMf MT 2110

9、01( )(1)( )2pTMf MpT 11211001( )(1)()2TMf MT 二临界状态: 当 u 等于当地音速时（u=c，M=1）的状态称之.其参数用下标 “* ”表示。 由上面导出的总静参数比公式可导出总参数与临界参数的关系: 11*02()11*02()1pp*02()1TT当一定，临界参数与总参数之比为常数，故临界参数可作为参考状态。问题：音速 C 与 C* 有何区别？如空气：1.4引入速度系数：定义：*uc*00.8333TT*00.6339*00.5283pp当0T，不可能而*uucRT不会为零，是有限值*T222222222*22200*1211 ()2uu cRTT

10、MMcc cRTTTTMTMMT与M的关系：时，uuMcRTM 当1M 亚音速流跨音速流超音速流11由于( )Mf0()pfp0( )TfT0()f1M 1M 1三.最大速度状态温度降到绝对零度T0，速度达到最大 uumax 的状态称之。此状态下h=0这种状态实际上是达不到的，但也可作为参考状态。由2max022ppuuc Tc Tg有max02puc T 例：空气在管道中作绝热非等熵流， 截面1处 在截面2上， 求两截面的 空气512 10app 1300TK1146um s2280um s520.956 10app0102?pp1.41003.pcJ kgK716.vcJ kgK5一元等熵

11、气流在变截面管道中的流动一.气流参数与管道面积的变化关系：0ddudAuAuAconst连续性方程：两边取对数求导：一元运动微分方程为：1xxdpfadxxuuautx1dudpudxdx或dpudu 讨论2222211()dddpdpududpccududuMcuu d忽略质量力，定常：代入连续性方程：（a）（b）222222211(1)(1)1dudAMuAMdpdMddAMAMdTdAMTAAMpA0ddudAuA有：同理可导出：由此组关系式可知 、 、 与 的变化趋势相同，故仅讨论前两式dd TdAdpddT1）当 M1 亚音速流，由（a）式可知 dA与 du异号。由（b）式可知 dA

12、 与 dp 同号，这与不可压缩流动规律相同。dAdudpdAdudp亚音速收缩管亚音速扩压管222(1)1dudAMuAMdpdAMpA11M 21MM收缩管扩压管M1 超音速流，由（a）式可知 dA 与 du 同号。由（b）式可知 dA 与 dp 异号。这与不可压缩流动规律不同。dAdpdudAdudp超音速扩压管超音速增速管222(1)1dudAMuAMdpdAMpA扩压管2121ppuu11M 21MM增速管2121uuppM13）当 M=1，由（a）式可知 dA=0,面积变化到最小，称喉部。此处流动为音速流。由此可知亚音速在收缩管中加速，不可能达到超音速。超音速在收缩管中减速不可能降到

13、亚音速。要使亚音速流变成超音速或使超音速变成亚音速，只能在缩放喷管中达到。缩放喷管也叫 拉伐尔喷管。拉伐尔管扩压管二.任意两截面上面积与 M 之间的关系：由连续性方程：2111 11222122Auu Au AAu而111122()TT121111 1112222222MRTuM cMTuM cMTMRT111122(1)211111122222ATMTMTATMTMT而2201122021112112MTTTTTTM任意两断面面积比与 M的关系：12(1)22212121112112MAMAMM11*1MAA ，当 12(1)2*1112112MAAM上式为任意断面和临界断面比与 M的关系，

14、已制成曲线。由曲线可知：当 M1时，M增大A增大，超音速的扩大管。对一个固定的 有两个 M数，若是亚音速取 M1。*AA*AA三.收缩喷管的计算：1.求流量Q如图：已知总参数及出口断面压力 p 或 T ,面积 A，求流量000pT000pTpu Q= uA 由求流量由能量方程：20100022()21ppppuc Tc Tpuc TTc Tp1100021opppQAc Tpp110*21ppp*ppmax ，Q Q即出口处压力时达到 00max000,00pQppQpQQdQdp，；，。如果 压力在 之间有一个最大值 这个压力可令得到0max*112(1)2*02()1Qu AApmaxQ。

15、与滞止参数有关由流量表达式可知流量与出口处的压力有关2.变工况分析：设出口处的背压为pe(环境压力），出口压力为p当 1)000pTppe000eppppQ 时， 管内无流动 2） 管内亚音速流，pe的变化会影响到管内，此时*0eeepppppp3）*max,eeeppppppQQ, 此时 1M 在喷管出口处达到音速 max0,QQQ但 000pTppe4）*max,1eeeppppppQQM，。， 此时喷管出口处的压力不会再降低，气流在管外继续膨胀此时 背压对流动无影响，此种现象称壅塞。由以上分析可知：在收缩管中流量的计算首先要判别出口处是否达到音速，即判别背压是否达到临界压力 。*max*

16、maxeeeppppQQppppQQ 若则则111122400280,0.52,200.aeapKpTK MAMQ ppKp2 ,=0.001m ,例:空气等墒流动,已知求 , , ,背压 1122四.缩放管拉伐尔管的计算此种喷管用来产生超音速流。它由收缩段、喉部、扩大段三部分组成。在正常工况下，气流在收缩段加速，到喉部达到音速，在扩大段继续加速至出口达到超音速。整个流动过程是等墒流动。1.流量的计算当管中是亚音速流时，拉伐尔管就是文吐里管，喉部 ，流量 或由前面喷管流量公式计算：1tM 1100021opppQAc Tppmax,QQQuA当管出口为超音速流动时，*tAA*1tMM，此时流量

17、与喷管最大0max*112(1)2*02()1Qu AAp流量计算公式相同。2.变工况分析1）2）0,10,0tpppMdAupdA，当管中为亚音速流 在段在段，00,ppM，当出口压力 管中无流动 曲线up此时相当于文吐里管的流动。曲线03)当出口 p 使喉部达到音速*31,ttMMppuppp，此时在收缩段仍是在喉部达到音速喉部之后，流动有两种可能：亚音速流、超音速流。取决于出口压力时得亚音速流，相当于文吐里管流，曲线 的大小。当出口压力为当出口压力为 时，（ ）得超音速流，称拉伐尔管流。曲线 。将 称为设计工况的出口压力。要想达到超音速流动，必需要满足 此压力，出口压力大于 或小于 都为非设计工况。 4p4p4p4p43pp34344ppppppppp 结论：出口压 为文吐里管流为拉伐尔管流在扩大段产生激波在出口外产生膨胀波产生激波是非等墒流，其余均为等墒流。例：6200510,350,0.0019.3 10,0.6,abattpp TKAmppMA。出口,背压 喉部 求喉部面积 例：505021.33,462 /,28 10,773 ,7 108.5/aaRJ kg K ppTKppQkg s。,出口压力 试设计一种喷管，使其